K1∪Um的补图的色等价类

（）Ｆ （ ６ 表示 Ｃ 的一个顶点和Ｄ 一 的 １ ５ ｎ ） ３ ２ 度顶点粘接得到的图；
（ ） 表示 由 ｅ一 的两个 １ 点分 别与 两个 的 ２度 点粘 接得 到 的 图， ６ Ｕ ｎ４ 度 显然 Ｕ ＝ Ｉ＿１ ， １ ５． １ ． １
令 ｆＩ ） ， ； ｚ ６
（）Ｒ（ ） ２ Ｇ ＝０，当且仅当 Ｇ是 ，ｎＤ！ Ｉ ｆ Ｃ ， 『 Ｉ３； 或 ｆ ：
，
维普资讯
（ 称为图 Ｇ的伴随多项式 ，这里 （ ） Ｇ） ＝ｔ ｔ－１（ （ ）ｔ一２ … （ ＋１ ． ） 一 ） 注 ：ＲＫ ｒ ａｅ ．ｏｆ ｇ 定义了图 Ｇ的（一多项式 ｃ（ ， ｈ Ｇ ｏ） ｃ Ｇ） ｈ ） Ｉ ｒ Ｇ） （ ， 和 ｒ 的关系是 （ （） （ Ｇ，Ｉ＝ ）
伴 随等价 ．Ｇ 和 Ｈ 色等 价 当且 仅 当 Ｇ 和 日 伴 随等价 ．用 Ｇ ，ＥＧ） 别表 示 图 Ｇ 的顶 点集 和边 ） （ 分
’
集 （） （） （） ｌＧｌ设Ｇ 具 顶 的 ，Ｇ 示Ｇ 补图 个Ｇ ； Ｇ ＝ Ｇｌ Ｇ ： （） ， ， 是 有个 点 图 表 的 ， 的
距离分别为 ｌ Ｚ １的 ，阶树 ， ＝｛ １ ｎ １ ， ， ｄ （ ｂ ｃ ｄ ） Ｉ２３ ｚ ， ． ｝ ６ ， 表示从 ｃ ’ 长路的两
个 １ 点 分别 引 出长 为 ， ｄ， 的路 且具 有两 个 ３度 点 四个 １ 点 的树 ； 度 ｂ和 ｅ长 度 （ ） Ｄｎ 示 一 的一个 ｌ度 点和 Ｋ３ ３ 表 ２ 的一 个顶 点粘 接得 到 的图 ；
不并交记为 ｎ ，ｈＧ ＝Ｘ （ｈ Ｇ，） Ｇ （ ，） Ｃ ） （ ，其中ｈ Ｇ，） ｔａ Ｇ ａ 的常数项非零．为了方便，用，Ｇ 和 （ ｚ ） （
ａ ） ｈ Ｇ 分别代替，Ｇ，） ａ Ｇ，） 用 ，ｆｆ １ ，ｈ １ｚ １ ，ｆ １ｚ １ 分别代替， ｆ ） （ ｚ 和ｈ ； ｚ１ ３ ａ ３ ｌ ￣ｚ ３ （ （ （， ， ） （， ， ） （， ，） ｚ ２ ， （ ， ， 如 ｌ ） （ （ ｆ３ ， （ ｆ， ） 其中ｆ Ｇ ￣ ，ｆ ２ｆ ， ２） ３
收稿 日期 ：２ ０ —９０ ０ ６０ —４
作者简介 ：：￣（９ ４ ） Ｅ １７ 一 ，男，安徽寿县人 ，硕 士研 究生，研究方 向：图论与组合
维普资讯
２
（） ４ ＝ｘ４ 一ｅ，其 中 ｅ ∈ｘ４ ；
温州大学学报 ・自然科学￣（０７第 ２ 卷第 ４ ２０ ） ８ 期
（ ）Ｃ （ｍ，ｍ， ，ｍ） ７ ｎｅｌＩ … Ｉ 表示Ｃ！ ＇ ＇ 『 的顶点和 的一个 １ 度顶点粘接得到的图， 其中ｍ ２， ｉ
，
ｉ ， ， ， ｔ ｎ，显然 （＇ ＝Ｄ ＋ ． ＝１ … ｆ ２ ， Ｉ ） ｍ２ ｍ
１预备知 识
ｖ－１ ｖ－１
定 … 设Ｇ 具 个 点 图若 （， ＝ Ｇ（ ，多 式 （， ＝ 义１ 是 有ｖ 顶 的 ， Ｐ ∑ （） ） 则 项 Ｇ ） ∑ ）
，
，
ｈ（ ） ａ 的最小实根， Ｇ 未说明的 术语和记号均参见文献【 ・ １ 】
下 面定 义一 些 记号 ：
（ 和 别 示 个 点的 和 ，Ｘ＝ Ｉ≥｝ ／＝ Ｉ ｝ １ ） 分 表 顶 路 圈 ｛ ， ３；７ ｛ ， ； ｚ ｚ ２
（） ２
，
ｆ３ ｚ ｚ ｚ表示 只有 一个 ３度 点 ，三个 １度 点且 唯一 ３度 点到三 个 １ 顶 点 的 ２ ， １ ２ ３ ， ｆ 度
引理 １ 设 Ｇ有 ｋ 个连通分支Ｇｌ ２…， ， ， ， 则有： Ｇ
ｈ ， ＝－ （， ， ｍ ）∑ Ｇ ， １ （ Ｉ Ｒ（ ＝ （） （＝， Ｇ ） Ｉ ） Ｇ ｆ ２
引理 ２ ［ 设 Ｇ是 连通 图，则 ：
（ ）Ｒ（ ） １ １ Ｇ ≤ ，等号成立当且仅当Ｇ是Ｐ（ ≥２ 或 ； ｎｎ ）
关键 词：伴 随多项式； 色等价； 最小根
中图分类号：Ｏ１７５ ５． 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ —３ ５２ ０ ）４０ ０ —７ ０ ６０ ７ （０ ７０ —０ １ ０
本文所考虑的图都是有限、无向的简单图．Ｐ（ ） Ｇ， 表示图 Ｇ 的色多项式 ，ｈＧ，） （ Ｘ 表示图 Ｇ的伴随多项式…．若 Ｐ Ｇ， ＝Ｐ 日， ） 称 Ｇ与 Ｈ色等价；若 ｈＧ， ） （ Ｘ ，称 Ｇ与 日 （ ） （ ， （ Ｘ ＝ｈＨ，）
维普资讯
第２ ８卷第 ４期
Ｖｏ ８ Ｎｏ４ ｌ ， ２
温 州 大 学 学 报 ・ 然 科 学 版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｅ ｚ ｏ ｉｅ ｓ ｙ・ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ ｏ Ｗ ｔ Ｓ
ｏ ’ Ｇ） ．Ｇ Ｘ （ ，这里 （ ） Ｇ 的色数 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ｇ 是
定义 ２ Ｒ … ｃ ： Ｇ
｛［］ ＋； （，Ｌ Ｇ 一三； ） 兰 一 三
［ 一）［ ］Ｇ ］（２ｃ［ 一 －２ ］ｃ ｂ ］一 ￣ ｂ Ｇ Ｇ
ｃ ｃ 一 Ｇ ： Ｇ
称为 图 Ｇ 的特征 标 ．文献 【】 ３中用 （ 表 示 ． Ｇ）
２０ ０ ７年 ８月
Ａｕ ， ０ ７ ｇ ２０
１ ｍ的补 图的色等价 类 Ｕ ｕ
王 波
（ 青海 师范大学数学系，青海西宁
摘
８０ ０ ） １０ ８
要 ：应用 图的伴随多项式理论 ，完整地刻 画了与 Ｋ 的补 图有相 同 色划分的 图，其 中 表 示 １ Ｕ
由 Ｐ 一的两个 ｌ 点分 别与两个 Ｐ 的 ２ 点粘接得 到的 图． ｍ 度 ３ 度