一类二次函数零点存在性的简捷证法及其探究

ｋ：
分析
ｍ
‘ （） ｘ 一 ｘ １， 直 线 Ａ 的 斜 率 ． ＝３ ２ 一 ‘ Ｍ
： ｍ２一 一 １
．
问题转 化为 判 断关于 ６的
２ — ３
方程 ３ ２ ＝ｍ 一 ６ 一 ｂ ｍ在 区间 （， ） ０ ｍ 内是否 有解 的问
题 ． ｇｘ ＝３ ｘ ｍ ＋ ， 问题又 转化 为 ｇｘ 设 （） ｘ 一２ — ｍ 则 （） 在 区 间 （ ｍ） ０， 内是 否存 在 零 点 的 问题 ．但 是 在 探 求 和 ｋ时 ，若设 “ （ｏ＝ｋ（） ，不 能得 到想 要得 到 ｇＸ） ｇ０” 的 和 ｋ（ 程 略） 过 ，于 是调整 如 下 ：
有零 点 ．所 以命题 得证 ．
探究 ２在类似的问题中，区间（ ， ）ｍ＞ ） ０ ｍ （ ０ 或
（ ０ （ ０ 的三等分点是否都能奏效？ ｍ，）ｍ＜ ）
内找到一个 ， ｆＸ） （ 或 ｆｘ） （） ＜ ） 使 （ ＝ ０ ｏ ） （ ＝ （ ０ ｏ ｋ
呢？
事 实 上 ，我们 可 以 用待 定 系数 法找 到它 们（ 以例
ｇ０ｇ ＝ Ｔｍ ＋ ） ＜ ． （ （ ） 一 － ２ ｍ ２ ０ （
≠０时 ， （） 在 （， ｘ ：０ ０
） 少 至 －
ｍ ＋ｌ
ｍ ＋ ２
＋ 一 ａ ２ 一 下 ＋ ｂ＝ （ ３
） 整理 得 ：
，
３～ — ２ ＝
解
或
有 一解 ．
综上 所述 ，方 程 ｆ ｘ ＝０ （，） （） 在 ０ １内恒有 解 ．
（ ＋ 一 口 （ ＋ｋ １ ＝。， 得 ． ） ＋ －） ６
，
是 ／ 在 （，） 的一 个 零点 ；当 ３ ＋ ｂ≠０ ， （） ０ ２ 内 ａ ２ 时 ＿０ （） （） （ ） 厂 ） ＜０， 在 ０， 内有一 个零 点 ，综上 所 （ 述 ， 厂ｘ 在 （ ，） （） ０ ２ 内至 少有 一个 零点 ．
ｊ
ｊ
Ｊ
０，所 以用 区 间的另一 个 三等 分点和 区间另一 个端 点相 结合 ，也 能顺 利解 决 问题 ．于是 又可 证 明如下 ： 证法 二 ・／（） 一 ． ：ｂ 日， 厂（ ） ・ ０ ２＝ 一
（
＋
ｍ ｌ ＋
０，
ｍ ＋
解 ‘厂（ ＝ ｘ 一 ｘ １ ． ） ３。 ２ 一 ，直线 Ａ 的斜率 ｋ 。 － Ｍ ＝
ｆｍ － （） Ｉ
— —
当
＋
＿０ ， 时 厂
， ０ 而 ＜
ｚ
一 一
：
１ ． ，．问题转化为判断关于 ６的方 ．
３ ６
福建 中学数学
２ １ 年第 ８ ０１ 期
程 ３ ｂ ｂ 一２ ＝ｍ 一ｍ在 区 间 （， ）内 是 否 有 解 的 Ｉ ０ｍ ＇ ． － Ｊ
零点 ， （ ，ｍ） （ 而 ０ ０ ２
，
题 ． ｇ ＝ ｘ 一 ｘ ｍ ＋ 则问题又转化为 ｇ 设 （ ３ ２ — ｍ， ） （ ）
在 区间 （ ， ） ０ ｍ 内是否存 在 零点 的 问题 ． 。
３２ 一 — ２
， ● ● 、 ● Ｌ ● ● ● ●
一
ｍ ＋２ ｍ ＋ ２ ｍ ＋ １
（
＋
） ０ （ 略 ） 下 ．
’ …
尼
３ ｌ 去 ） 所 以 厂 ：一 （） 厂（） （ ） ＝— ａ ２ ） ≤。 ． （ ） 。 ， 。厂 ＝一（ｌ ＋ ｂ２
探究 ４当区间含有参变量时 ，如何找到这样 的 和． ｉ ｝ 呢？
例 ４ 已知 函数 ｆ ｘ ＝Ｘ 一 ＋１ （） Ｘ 一 的图象 上两点 ＡＯ １， Ｍ（ （ ）ｍ＞０ ，试 判 断 ：在 （， ） （ ，） ｍ， ）（ ） ０ ｍ 内 是 否存 在一 个 实数 ｂ，使得 函数 ｆｘ 的 图象在 Ｘ＝ｂ （）
ｇ Ｏ ＝一 （） ｍ ＋ｍ，设 ｇｘｍ ＝ｋ （） （ｏ ） ｇ ０ ，
Ｏ
或
但用本文所讲研究的方法，可以跨过第 （）问，直 １ 接证 明第 （）问 ． ２
＝
证 由 ＋ ＿＋ ０ 得 明 — 『 ： ，
） ｘ ＋ｑ ＂ ＝ｐ ２ ｑ 一 ：ｐ ２ ｘ ｘ＋ ｘ
・ ． ．
处 的切 线平 行于 直线 ？
＝
０，进 而得 到 问题 的解决 ．再举 例如 下 ： 例 ３ 二 次函数 ｆ（） ｘ ＋ ＋ｒ 的实 数 Ｐ， ， ｘ ＝ｐ 中 ｑ ， 足 — ＋ 满 ＋ ：０，其 中 ｍ＞０．
（）求证： （ ） ０ １ ÷ ＜；
（）方程 ｆ（） 在 （ ，） ２ ｘ ：０ ０ １内恒 有解 ． 本 题 是一道 经 典老 题 ，问题 （ ）的设置 主 要是 １ 为 了方 便利 用分 类 讨论 的 思想 方法 去证 明问 题 （） ２，
３ ４
福建中学数学
２ １ 年第 ８ ０１ 期
一
类二次函数零点存在性 的简捷证法及其探 究
袁守义 江苏省常州市第一 中学 （ １０３ ２ ３０ ）
３ ａ＞２ ｃ＞２ ｂ， 求 证 ：
例 １ 已知函数 ｆ ｘ ＝ ｘ ＋ ＋ ｂ ａ （ ｂ （） ａ （— ） ａ， ｘ， 是不 同时为零的常数） ，导函数 ＿（） 厂 ，求证 ：函数 Ｙ＝ｆ（） （１０ 内至 少有一 个 零点 ． 在 一 ，）
一
ｂ－ ａ
— 一
，
证法 二 ’ （ ： ａ ２ ． ２ Ｔ＋ｂ 。 ）５ ｆ
・ ・ ・
ｊ
ｊ
，
） ＋２ ＝一５ 广ｂ ａ
，
． ． ．
， ） ， ） （ －（ ２ ０， 一
：
一
０．
ｊ
ｊ
厂） ＝言ａ２ （略・ （ 一５ ｂ ０下 ） 吉 ） （＋） 。
值 得注意的 这 是， 里的詈 都不是区 ０２ 和寺 间（ ） ，
／ 一１ （ ）
２ ａ－ｂ
，
（）函数 ／ 在 （ ，） ２ （） ０ ２ 内至 少有 一个 零点 ；
（） 。Ｘ是厂 的两个零点， Ｉ一 ３设 ，２ （ ） 则 Ｉ
＜ — — ．
４
本 的 （问 同 ， ／）一 将 母ｃ 题 第２ 形 例１ （＝ 昙 字 消 ） 由 １
０
．
根 据 题 意 ，在 本 例 的证 明 中 ，可 以省 略用 待 定 系 数法 探索 出 Ｘ ： ｏ
ｍ ＋
或 ：
， ＋
的过程 ． 如何 但
于是 ，笔者认 为 ，对于含 参数 的二次函数在 区 舍
间 （， （ ０ ） ＞０ （ （ Ｏ（ ） 或 ｍ，） ＜０ ） 上 的零 点存 在 性 ） 的证 明 问题 ，可 以通 过 待 定 系 数法 ，尝 试 在 区 间 内
（ ） ＞０ 一 ＜ ＜一３； １ 且 ３
本题是苏北四市 ２０－００学年度高三第二次 ０９２１
模拟考试最后一大题 的第（） ．对于这类问题 ，文 ２题 ［】 １的作 者 用二 分 法结 合分 类 讨论 的思 想给 出 了很 好 的证 明．在该作者给 出的证法 中，有一种引起 了笔 者的注意 ，证明过程大致如下 ： 证 明 ‘厂（ ． ‘ ＝３ｘ ＋ ＋ 一 ．厂（ １＝２ — ａ ２ ６ ａ，・ ） ａ ｂ， ． 一
零点 ．所以命题得证 ． 应该说 ，这种 证法 简单 快捷 ， 人赏 心 阅 目！文 让
［】 １的作者 将 这种 证 法 的得 到 归功于 尝 试 三分 法 的结 果 ．笔 者在 此基 础 上也 将 这 类 问题 的 这种 证 法作 了
一
证 法 一 ・／０ ＝ Ｔ ＋ ｂ ． （ 一ａ ２ ’ ） ３
去 ，得 （） ：似ｚ 一３ ２ ＋ — ＋ｂ ａ
一
从 而 ／（ ） （ １：一 ２ － ） ０ ， 厂， ） Ｔ ａ ｂｚ 一 一 （
．
，
对 第（） ２小题 ，利 用
：一下
（） １的结果 ，可 以通 过其 它 方法 完成 证 明 ，但 本人 想 仿照例 ｌ 求得证 明 ． 过尝 试 ， （） （） ｌｏ／ 、 经 － ０－ 、厂 ） （） 厂 厂 （
舍 去
ｐ一
ｇ，
即 ：３
卜
＋
ｍ 十 Ｚ
一２ ｏ ｍ ＋ ｘｍ— ｍ＝一 ｍ ＋ ”， ｋ 勋
） ，
） ＝
ｍ ＋
＋
．
ｍ ＋ ｌ
ｍ ＋ ｌ
方法一 厂 （
ｍ ＋
一
（
ｍ ＋
）＋ （ ２ｑ
ｍ ＋
） 一
ｍ ＋
ｐ
则ｏ－解 ｛小 ， ３１ 得 ＝ ｘ ２ｋ －
・
，
／ ＝ ａ ２ （） Ｔ ＋ ｂ ３
，
些 探究 ．
ｆ Ｏ厂 ＝一 ３ ｂ２ 。 （） （ ） —ａ （ ＋２ ）
．
．
．
探究 １本题 中，区间的另外一个三等分点是否 也能奏效？
由于 厂 （ ） ２＝ 一
一
所 以当 ３ ２ ＋ ６＝。 ， 时
ｂ－ａ
— 一
／ （） 一 （） ） ＝６ 口， ０厂 （ ２ ０ 一
当ｂ ａ 一２ ：０时 ，则 Ｙ＝ｆ（） （１０至 少 有 一 在 一 ，）
个零点一 ÷；当ｂ ２ ≠ 时，ｆ（ 在（１一 ） 一ａ ０ ） 一， 内至 １
ｊ ｊ
少 有 一 个 零点 ，所 以 Ｙ＝厂（） （１０ 至 少有 一 个 在 一 ，）
／（） ） ２／（ 和 （） （） 不能 得 到想 要 的结果 ．这表 ２． 都 厂 明在 这类 问题 中 ，如例 １那样 用 区 间的三 等分 点和 区间端 点 搭配 的方法 不 具 有一 般 性 ．但 在 探索 的过 程 中 ，却得 到 意外 的结 果 ：
例 ２设函数ｆｘ＝ｘ＋ ＋ ，且／１ 一 （ ａ ｃ ） （ ＝ 昙， ）
２ １ 年第 ８ ０１ 期
福建中学数学
所 以方程 ｆ ｘ ＝０ （ １内恒 有解 ； （） 在 ０， ） 当 — ＋
ｍ ＋２
３ ５
２中 的 为 例 ，例 ｌ中的 一 、 一 和例 ２ 中的 请 读 者 自己尝试） ． 设 ｆＸ） ｆＯ 对 任 意 的 ａ， ｂ均 成 立 ， 即 ： （ｏ＝ｋ（）
一
方法二 （
ｍ ＋
（
ｍ ＋
ｇ （
ｍ ＋
） 一
ｍ ＋
ｐ
一 — 口＝一 — （— ＋ ＿ ） — — ｌ ＝ ） — — 一 ，所 ，１， — ） 。所以 １）（ ）Ｉ ／— ） ＝ ：
ｍ ＋１ ｍ ＋２ ｍ ＋ ２ ｍ ＋ １ … … … ｍ ＋２
，
） 所 以 ｇ 在 区 间 （ ） ， （） ０， 内
至少 有一 个零 点 ． 上所述 ， （， ） 综 在 ０ ｍ 内存 在一 个 实 数 ｂ，使得 函数 ｆ ｘ 的 图象 在 ＝ｂ 的切 线平 行于 （） 处
直线 Ａ ． Ｍ
方法一 。ｇ。 ＝一 ＋ ， ｇ ） — － ． （） ２ 。 （ ＝一－ ２ ｍ ｍ ４
当ｂ 口 一 是ｆ（ 的一个零点； ≠ 时， ＝ 时， ÷ ） 当ｂ 口 ｊ
ｆ（） 一 ０内有零点， 在（÷，） 所以Ｙ＝ ） 一 ，） ｆ（ 在（１０内
． ）
的三等分点 ，那么怎么才能找到这样 的“ 特殊” 值呢？ 探究 ３对于这样 的问题 ，如何能在 区间 （， ０ ）
得 到这样 的 ，还 是 要仿照 上 面 的做 法 ． 到 此 ，似乎 已将 问题 圆满 解 决 ，但 笔 者 又遇 到 了一 个新 问题 ．
找 一 个 值 和 一 个 负 实数 ｋ，使 ｆＸ） （ 或 （ ＝ ０ ｏ ）
ｆ Ｘ） ｆ ） （ｏ ＝ｋ （ ，从 而得 到 ｆ Ｏｆ Ｘ） （） （ｏ ０或 ｆ ｍ） Ｘ） （ ｆ（ｏ
所 以 ｇ ） ｇ０ ． （ ＝一 （） 同样 可得 ， （ ＝一 （ ． ｇ ） ｇ ） 于 是有 以下 解法 ：
ｍ ｍ １ ＝ ＋ （ ＋ ｑ ２＋ ＋ ） ， ＋ ｍ ２ 、 ｍ １
ｆ： ｆ Ｏ ）） ｉ１ （ ｉ ￣
ｍ ＋
卜
ｍ ＋