2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课件选修4-1几何证明选讲4-1-1

点评：利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然 后由面积比等于相似比的平方这一性质来解题．所以并非见到 内外角平分线，就用角平分线定理．
变式探究 2 如图所示，已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上的高，H 是 AD，BE 的交点，求证：
(1)AD·BC＝BE·AC； (2)AH·HD＝BH·HE.
题型三 射影定理的应用
例 3 如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝ ∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.
解析：
∵CE⊥AB，∴∠H＋∠HFE＝90°. 又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG， ∴∠BCF＋∠CFG＝90°. ∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等； 若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成 比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三 角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似 三角形的性质构造比例或利用中间比求解． 3．已知条件中含有直角三角形，且涉及直角三角形斜边 上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应 关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分 清比例中项.
∴BGGF＝GGHC，即 BG·GC＝GF·GH. 又∵DG2＝BG·GC(射影定理)， ∴DG2＝GF·GH.
点评：利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角 边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转 化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积 式，并且注意射影定理的其他变式．
2．三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的 两边对应成比例．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，则有⑤__________.
3．直角三角形的射影定理 (1)定理：直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射 影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影 的比例中项．
(2)∵OE∥AD，∴OADE＝BAEB. 由(1)知OBCE＝AAEB. ∴OADE＋OBCE＝ABBE＋AAEB＝BEA＋BAE＝1. (3)证明：由(2)知OADE＋OBCE＝1，∴2AODE＋2BOCE＝2. 又 EF＝2OE，∴AEDF＋BECF＝2，∴A1D＋B1C＝E2F.
点评： ①利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观 察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式， 同时注意合比性质、等比性质的运算． ②有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形， 创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)，截得的对应线段成比例．如下图所示．
在以上三种基本图形中，DE∥BC，有ADDB＝EACE.
(3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线④ ________________________.
选修4－1－1 相似三角形的判定及有关性质
考纲点击 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线 段①__________.如图所示． l1∥l2∥l3，直线 a、b 与 l1、l2、l3 分别交于 A、B、 C、D、E、F，则BACB＝DEFE. 说明：上图中，除了BACB＝DEFE外，还有AACB＝②__________；BACC＝ ③__________成立．
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，则 AC2＝⑥________；BC2＝⑦________；CD2＝⑧________. (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边 上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．
答案： ①成比例 ②DDEF ③DEFF ④平行于三角形的第三边 ⑤AACB＝DBDC ⑥AD·AB ⑦DB·AB ⑧AD·DB
解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC 及
∠ACD＝90°可推得 Rt△ABE∽Rt△ADC，则AACE＝AADB， ∴AE＝6× 124＝2. 答案：2
5．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为 AB 上的点，且 AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则 PQ 的长为__________．
解析： ∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°. ∴∠APQ＝∠BCP.∴Rt△APQ∽Rt△PBC.∴BACP＝PPQC. ∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1. ∴PQ＝APB·CPC. 又 PC2＝ 32＋42＝5，∴PQ＝54. 答案：54
答案：7∶5
3．(2013·揭阳质检)如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥ CD，若 BC＝3，DE＝2，DF＝1，则 BD 的长为__________， AB 的长为__________．
答案：32
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题型探究 题型一 平行线分线段成比例问题 例 1 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD.
(1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值； (3)求证：A1D＋B1C＝E2F.
解析： (1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥BC. ∵EF∥BC，∴OBCE＝AAEB，OBCF＝DDCF. ∵EF∥AD∥BC，∴AAEB＝DDCF. ∴OBCE＝OBCF，∴OE＝OF.
2．在 Rt△ABC 中，∠CAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝90°，AD⊥BC 于 D，AB∶AC ＝3∶2，则 CD∶BD＝__________.
解析：由△ABD∽△CBA 得 AB2＝BD·BC. 由△ADC∽△BAC，得 AC2＝DC·BC， ∴CBDD··BBCC＝AACB22＝49. 即 CD∶BD＝4∶9. 答案：4∶9
3．如图，E 是▱ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 DC∶ BE＝3∶2，则 AD∶BF＝______.
解析：由题可证得△BEF∽△CDF，∴DBEC＝DEFF＝32. ∴ABDF＝DEFE＝DEFF＋1＝52. 答案：5∶2
4．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6， AC＝4，AD＝12，则 AE＝__________.
题型二 相似三角形的判定
例 2 如图所示，AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线， O 为 EF 的中点．
求证：OB：OC＝AB2：AC2.
解析：∵AE，AF 为△ABC 的内、外角平分线， ∴AE⊥AF， 又∵O 为 EF 的中点，∴∠OEA＝∠OAE. ∵∠OAE＝∠CAE＋∠OAC，∠OEA＝∠B＋∠BAE， 而∠BAE＝∠CAE，∴∠OAC＝∠B. ∵∠AOB 为公共角，∴△OAC∽△OBA. ∴S△OBA：S△OAC＝AB2：AC2. 又∵△OAB 与△OCA 有一个公共边 OA. ∴S△OBA：S△OAC＝OB：OC， ∴OB：OC＝AB2：AC2.
变式探究 3 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD＝3，则 AC 的长为__________．
解析：如图所示，由射影定理得
CD2＝AD·BD，∵CD＝2，BD＝3，
∴AD＝43，得 AB＝AD＋BD＝133.
又
AC2＝AD·AB＝43·133，∴AC＝2
13 3.
变式探究 1 如图所示，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于 F，则FBCF的值为__________．
解析： 过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. ∵点 E 是 BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF＝FM， ∵点 D 是 AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM＝MF， ∴FBCF＝FMB＋FMC＝12.
新题速递 1.(2013·东莞模拟)如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点， ∠DBC＝∠A，BC＝ 6，AC＝3，则 CD＝__________.
答案：2
2．(2013·广东调研)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4，CD＝2，E，F 分别为 AD，BC 上点，且 EF＝3，EF∥AB， 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为__________．
考点自测
1．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm， DE＝5 cm，则线段 BF 的长为__________．
解析：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形 DECF 是平行四边形． ∴FC＝DE＝5 cm. ∵DF∥AC，
∴FBCF＝BDDA，即B5F＝84. ∴BF＝10 cm. 答案：10 cm
答案：2
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归纳总结 •方法与技巧 相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理 1、2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理 2、3； (3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三 角形的方法来判定，如不能再考虑用判定一般三角形相似的方 法来判定．
•失误与防范 (1)关于直角三角形射影定理 ①射影定理的两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的 高，二者缺一不可． ②应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 同时还可用于研究相似问题，比例式等问题． (2)在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例． (3)在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否 则容易出错.
证明： (1)在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中，∠C 为公共角．
∴Rt△ADC∽Rt△BEC，∴ABDE＝ABCC， ∴AD·BC＝BE·AC. (2)在 Rt△BHD 和 Rt△AHE 中， ∵∠BHD＝∠AHE，
∴Rt△BHD∽Rt△AHE，∴BAHH＝HHDE. ∴AH·HD＝BH·HE.