新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题四立体几何第二讲空间位置关系空间角与空间距离课件
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AC
10
2．[2022·广东茂名二模]正三棱锥S - ABC的底面边长为4，侧棱长为
2 3 ， D 为 棱 AC 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 SD 与 AB 所 成 角 的 余 弦 值 为
2
________.
4
解析：取BC的中点E，连接SE，DE，则∠SDE(或其补
角)为异面直线SD与AB所成的角，
解决问题；
2．必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观
察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
巩固训练1
1.[2022·湖南衡阳二模]设m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两
个不同的平面，则下列说法正确的是(
)
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为
(
)
1
A．
B．3
3
C．
10
10
D． 10
答案：C
解析：因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
所以PA⊥AC，则PC与底面ABCD所成角为∠PCA.
设AB＝1，则PA＝1，AD＝3，AC＝ 10.
所以tan
PA
10
∠PCA＝ ＝ .
1 ·2
为θ.则sin θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
3．平面与平面的夹角
若n1，n2分别为平面α，β的法向量，θ为平面α，β的夹角，则cos θ＝
1 ·2
|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
4．点到直线的距离：已知A，B是直线l上任意两点， P是l外一点，
PQ⊥l ， 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 PQ ＝
AP
2
−
AP·AB
AB
2
.
AP
2
− AQ
2
＝
5．求点到平面的距离
已知平面α的法向量为n , A是平面α内的任一点，P是平面α外一点，
过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为|PQ|
＝
AP·
.
保 分 题
1.[2022·辽宁辽阳二模]在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底
BA·BE
2
5
.∴sin
5
2 5
2
∴cos θ＝
＝ ＝
θ＝ 1 − cos θ＝ .
2 5
5
BA · BE
2 5 4 5
故点A到直线BE的距离d＝|AB|sinθ＝2× ＝ .
5
5
提 分 题
例2 (1)若正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底边长为
由题意知SE＝SD＝ 12 − 4＝2 2，DE＝2，
所以cos
8+4−8
2
∠SDE＝
＝ .
2×2 2×2
4
3．已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则
4 5
点A到直线BE的距离是________．
5
解析：建立如图所示空间直角坐标系，则BA＝(0，2，0)，BE＝(0，1，2)．
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
答案：D
提 分 题
例1 (1)[2022·山东淄博一模](多选)若m，n是两条不同的直线，α，β
是两个不同的平面，则下列说法正确的有(
)
A．若α∥β，m⊂α，则m∥β
B．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
保 分 题
1.[2022·山 东 烟 台 三 模 ] 若 a 和 α 分 别 为 空 间 中 的 直 线 和 平 面 ， 则
“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数
)
A．直线A1F
B．直线AD1
C．直线C1D1
D．直线AA1
答案：A
3．[2022·福建福州三模]在底面半径为1的圆柱OO1 中，过旋转轴
OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是BC的中点，F是AB
的中点，则(
)
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
条直线”正确，
a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可
以在平面α内，即不能推出a⊥α，
所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件．
2．[2022·北京东城三模]如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F
分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线BE相交的是(
D．若m⊥n，m∥α，则n∥α
答案：AC
(2)[2022·全国乙卷]在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为AB，
BC的中点，则(
)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
答案：A
【技法领悟】
1．根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来
D．直线EF∥平面ABCD
答案：B
微专题2
常考常用结论
1．直线与直线的夹角
若n1，n2分别为直线l1，l2的方向向量，θ为直线l1，l2的夹角，则cos
1 ·2
θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
2．直线与平面的夹角
设n1 是直线l的方向向量，n2 是平面α的法向量，直线与平面的夹角
第二讲 空间位置关系、空间角与空间距离
微专题1
微专题2
微专题1
常考常用结论
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
答案：A
2．[2022·广东广州三模]一几何体的平面展开图
如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分
别为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错
误的是(
)
A．直线AE与直线BF异面
B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PAD
10
2．[2022·广东茂名二模]正三棱锥S - ABC的底面边长为4，侧棱长为
2 3 ， D 为 棱 AC 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 SD 与 AB 所 成 角 的 余 弦 值 为
2
________.
4
解析：取BC的中点E，连接SE，DE，则∠SDE(或其补
角)为异面直线SD与AB所成的角，
解决问题；
2．必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观
察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
巩固训练1
1.[2022·湖南衡阳二模]设m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两
个不同的平面，则下列说法正确的是(
)
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为
(
)
1
A．
B．3
3
C．
10
10
D． 10
答案：C
解析：因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
所以PA⊥AC，则PC与底面ABCD所成角为∠PCA.
设AB＝1，则PA＝1，AD＝3，AC＝ 10.
所以tan
PA
10
∠PCA＝ ＝ .
1 ·2
为θ.则sin θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
3．平面与平面的夹角
若n1，n2分别为平面α，β的法向量，θ为平面α，β的夹角，则cos θ＝
1 ·2
|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
4．点到直线的距离：已知A，B是直线l上任意两点， P是l外一点，
PQ⊥l ， 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 PQ ＝
AP
2
−
AP·AB
AB
2
.
AP
2
− AQ
2
＝
5．求点到平面的距离
已知平面α的法向量为n , A是平面α内的任一点，P是平面α外一点，
过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为|PQ|
＝
AP·
.
保 分 题
1.[2022·辽宁辽阳二模]在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底
BA·BE
2
5
.∴sin
5
2 5
2
∴cos θ＝
＝ ＝
θ＝ 1 − cos θ＝ .
2 5
5
BA · BE
2 5 4 5
故点A到直线BE的距离d＝|AB|sinθ＝2× ＝ .
5
5
提 分 题
例2 (1)若正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底边长为
由题意知SE＝SD＝ 12 − 4＝2 2，DE＝2，
所以cos
8+4−8
2
∠SDE＝
＝ .
2×2 2×2
4
3．已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则
4 5
点A到直线BE的距离是________．
5
解析：建立如图所示空间直角坐标系，则BA＝(0，2，0)，BE＝(0，1，2)．
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
答案：D
提 分 题
例1 (1)[2022·山东淄博一模](多选)若m，n是两条不同的直线，α，β
是两个不同的平面，则下列说法正确的有(
)
A．若α∥β，m⊂α，则m∥β
B．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
保 分 题
1.[2022·山 东 烟 台 三 模 ] 若 a 和 α 分 别 为 空 间 中 的 直 线 和 平 面 ， 则
“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数
)
A．直线A1F
B．直线AD1
C．直线C1D1
D．直线AA1
答案：A
3．[2022·福建福州三模]在底面半径为1的圆柱OO1 中，过旋转轴
OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是BC的中点，F是AB
的中点，则(
)
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
条直线”正确，
a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可
以在平面α内，即不能推出a⊥α，
所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件．
2．[2022·北京东城三模]如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F
分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线BE相交的是(
D．若m⊥n，m∥α，则n∥α
答案：AC
(2)[2022·全国乙卷]在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为AB，
BC的中点，则(
)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
答案：A
【技法领悟】
1．根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来
D．直线EF∥平面ABCD
答案：B
微专题2
常考常用结论
1．直线与直线的夹角
若n1，n2分别为直线l1，l2的方向向量，θ为直线l1，l2的夹角，则cos
1 ·2
θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
2．直线与平面的夹角
设n1 是直线l的方向向量，n2 是平面α的法向量，直线与平面的夹角
第二讲 空间位置关系、空间角与空间距离
微专题1
微专题2
微专题1
常考常用结论
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
答案：A
2．[2022·广东广州三模]一几何体的平面展开图
如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分
别为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错
误的是(
)
A．直线AE与直线BF异面
B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PAD