高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 苏教版选修2-2

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2.3 数学归纳法
数学命题.
数学归纳法
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有__________公理： 如果(1)当n 取第一个值__________时结论正确；
(2)假设当________(k ∈N *
，且k ≥n 0)时__________，证明当__________时结论也正确． 那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立． 预习交流1
做一做：用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2
(n ∈N *
)，从k 到k ＋1时，左端
增加的式子为________．
预习交流2
用数学归纳法应注意哪些步骤？
答案： 预习导引
数学归纳法 (1)n 0(例如n 0＝1,2等) (2)n ＝k 结论正确 n ＝k ＋1
预习交流1：提示：k ＋1
预习交流2：提示：两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．
用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n ＝k ＋1时为什么成立．n ＝k ＋1时成立是利用假设n ＝k 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n ＝k ＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k ＋1时也成假设了，命题并没有得到证明．
用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
一、用数学归纳法证明等式或不等式
证明12
－22
＋32
－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2
＝－n (2n ＋1)．
思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n 怎样变化，即由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左右两边各增添哪些项．
用数学归纳法证明： 11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)×2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n
.
可用数学归纳法来证明关于自然数n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n ＝k ＋1时成立，必须用到假设n ＝k 成立的结论．
二、用数学归纳法证明几何问题
有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n
个圆把平面分成f (n )＝n 2
－n ＋2个部分．
思路分析：由k 到k ＋1时，研究第k ＋1个圆与其他k 个圆的交点个数问题．
证明：凸n 边形的对角线的条数f (n )＝1
2
n (n －3)(n ≥4)．
(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的
方法是由特殊猜出一般结论．
(2)关键步骤的证明可以先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明． (3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 三、归纳—猜想—证明
已知等差数列{a n }，等比数列{b n }，且a 1＝b 1，a 2＝b 2(a 1≠a 2)，a n ＞0(n ∈N *
)． (1)比较a 3与b 3，a 4与b 4的大小，并猜想a n 与b n (n ≥3)的大小关系； (2)用数学归纳法证明猜想的正确性．
思路分析：数列的通项公式应注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化情况，增加哪些项是难点，注意观察寻找规律．
数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *
.
(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结
论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要由数学归纳法证明．
1．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋1
2n －1
，则f (k ＋1)－f (k )＝________.
2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋2
1－a
(n ∈N *
，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，
左边所得的项为__________．
3．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n ×(n ＋1)，…的前n 项和为S n ，计算得S 1＝1
2
，
S 2＝23，S 3＝34
，…，由此可猜测S n ＝________.
4．平面内原有k 条直线，它们的交点个数为f (k )，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．
5．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56
(n ≥2，n ∈N *
)．
答案：
活动与探究1：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22
＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2
＝－k (2k ＋1)成立． 则当n ＝k ＋1时，
左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋[2(k ＋1)－1]2－[2(k ＋1)]2
＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2
＝(2k ＋1)(k ＋1)－4(k ＋1)2
＝(k ＋1)[2k ＋1－4(k ＋1)]＝(k ＋1)(－2k －3) ＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]＝右边， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．
由(1)(2)可知对于任意正整数n ，等式都成立． 迁移与应用：
证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝1
2
，等式成立．
(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)×2k ＝1k ＋1＋1
k ＋2＋…＋
1
2k
， 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)×2k ＋1
(2k ＋1)(2k ＋2)
＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)
＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
＝
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1
(k ＋1)＋(k ＋1)，
即当n ＝k ＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．
活动与探究2：证明：(1)当n ＝1时，即一个圆把平面分成2个部分f (1)＝2，又n ＝1
时，n 2
－n ＋2＝2，
∴命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即k 个圆把平面分成f (k )＝k 2－k ＋2个部分，那么设第k ＋1个圆记作⊙O ，由题意，它与k 个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k 个圆相交于2k 个点．把⊙O 分成2k 条弧，而每条弧把原区域分成2部分，
因此这个平面的总区域增加2k 个部分，即f (k ＋1)＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2
－(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对任何n ∈N *
命题均成立． 迁移与应用：
证明：(1)当n ＝4时，f (4)＝1
2
×4×(4－3)＝2，
四边形有两条对角线，命题成立．
(2)假设当n ＝k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝1
2
k (k －3)(k ≥4)，
当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线是以顶点A k ＋1为一个端点的所有对角线，再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数(k ＋1－3)＋1＝k －1.
f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝1
2
(k 2－k －2)
＝12(k ＋1)·(k －2)＝1
2
(k ＋1)[(k ＋1)－3]， 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，对于n ≥4，n ∈N *命题都成立．
活动与探究3：(1)解：设a 1＝b 1＝a ，公差为d ，公比为q ，由a 2＝b 2，得a ＋d ＝aq .① ∵a 1≠a 2，a n ＞0，∴a ＞0，d ＞0.
由①，得d ＝aq －a ，q ＝1＋d a
＞1.
∴b 3－a 3＝aq 2－(a ＋2d )＝aq 2－a －2a (q －1)＝a (q －1)2
＞0. ∴b 3＞a 3.
∵b 4－a 4＝aq 3－(a ＋3d )＝a (q －1)(q 2＋q －2)＝a (q －1)2
(q ＋2)＞0， ∴b 4＞a 4.猜想出b n ＞a n (n ≥3，n ∈N *)．
(2)证明：①当n ＝3时，由(1)可知已证得b 3＞a 3， ∴n ＝3时猜想成立．
②假设当n ＝k (n ∈N *，k ≥3)时，b k ＞a k 成立． 则当n ＝k ＋1时，∵b k ＋1＝b k q ，a k ＋1＝a k ＋d ，
∴b k ＋1－a k ＋1＝b k q －a k －d ＝b k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋d a －a k －d ＝(b k －a k )＋db k a －d ＝(b k －a k )＋d (b k －a )
a .
∵q ＝1＋d
a
＞1，且b 1＝a ＞0，
∴{b n }为递增数列．∴b k ＞a . ∴b k －a ＞0.又b k －a k ＞0，
∴(b k －a k )＋d (b k －a )
a
＞0.
∴b k ＋1－a k ＋1＞0.∴b k ＋1＞a k ＋1. ∴n ＝k ＋1时，猜想也成立．
由①和②可知，对于n ∈N *，n ≥3猜想成立．
迁移与应用：
(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.
当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝3
2
.
当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝7
4
.
当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，
∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n
－1
2
n －1(n ∈N *)．
(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．
假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝2k
－1
2
k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－
a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k
－12k －12＝2k ＋1
－1
2
k
. 这表明n ＝k ＋1时，结论成立，∴a n ＝2n
－1
2
n －1.
当堂检测
1．12k ＋12k ＋1 2．1＋a ＋a 2
3．n n ＋1
4.f (k )＋k 5．证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞5
6
，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56
， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1
k ＋1
＋
1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．。