椭圆的离心率专题训练(2)

椭圆的离心率专题训练（带详细解析）
2 2
（2015?河南模拟）在区间［1 , 5］和［2 , 4］分别取一个数，记为 a, b ，则方程'
a 2
b 2
4. （2015?西安校级三模）斜率为 '的直线I 与椭圆| ■ -： ' :交于不同的
2
a b
x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ 匚D.- 3 3
2 2
设椭圆 C:'厂,=1 （a>b> 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, P 是C
盘b
PR 丄F 1F 2,/ PFF 2=30。

，贝U C 的离心率为(
B.
C. D. ■'
3 2 6
•选择题 （共 29小题）
1. (2015? 2 2
潍坊模拟）椭圆.的左右焦点分别为 F 1, F 2,若椭圆
"b 2 C 上恰好有 （ 6个不同的点P,使得AF 1F 2P
为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A.
2. 表示焦点在 A.
B. x 轴上且离心率小于 -；的椭圆的概率为（ 2
15 17
::C ::
3. （2015?湖北校级模拟） 已知椭圆
2 2
•-
1 （a> b> 0） 上 —点A 关于原点的对称点为
占 八
B, F 为其右焦点，若 AF 丄BF,设/ ABF=c ，且 ：_
A.
两点，且这两个交点在 A.二
B.
2 2
C.
5. （2015?广西模拟）
上的点, A.匚
3
_，则该椭圆离心率 e 的
D.
2 2
6. （ 2015?绥化一模）已知椭圆. :--
, F 1, F 2为其左、右焦点，P
2
b 2
1PF 2的重心为
G,内心I ，且有〔二…|. |. （其中
则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ A. 一B. C. _ . 一 _ . 一 D.
10. （2015?怀化二模）设 F 1, 则椭圆的离心率的取值范围是（
2
A 分别为椭圆' =1 （a> b>0）的左、右顶点，若
a 2
A.
,1) B-
1)
D. I.—
11. （2015?南昌校级二模）设
A i ,
为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，AF A.
7. 为实数），椭圆 (2015? 圆上一点且 & (2015?
C 的离心率e=（ D.亜
2
C.
长沙模拟） 已知 F i (- c. 2 2
0）, F 2 （c, 0）为椭圆 岂+工牙二］的两个焦点，P 为椭
/ b 2 ■
■
■，则此椭圆离心率的取值范围是（
朝阳二模）椭圆-二+丁 =1 （a> b> 0）的左、 a 2 b 2
右焦点分别是 F 1, F 2,过F 2作倾斜
角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M 若 A.
. B . 2 - 7 C. 2 （2 - 7）
MF 垂直于 D.二
3
x 轴，则椭圆的离心率为（ 9.（2015?新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是
F 1,F 2,若C 上的点P 满足|--,
2
F 2为椭圆的两个焦点,
）
若椭圆上存在点 P 满足/F i PF 2=120°,
D.
e<l
在椭圆上存在点 P,使得哄:.. >-，则该椭圆的离心率的取值范围是（
2
A (0,)B. (0, C. -I 1 D. i.- . I
1
12 . （2015?宜宾县模拟）设椭圆 C 的两个焦点为 N,若 |MF 2|=|F 尼|，且 |MF 1|=4 , |NF*=3，则椭圆 A. ■ 5
线交椭圆于P, Q 两点，若|PF 2|=|F 冋，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为 A. ； B.
5
2 2 16 . （2015?绍兴一模）已知椭圆 C:' ‘
的左、右焦点分别为 F 1, F 2,
a 2
b 2
0为坐标原点， M 为y 轴正半轴上一点，直线 MF 交C 于点A,若F 1A± MF，且|MF 2|=2|OA| ,
则椭圆C 的离心率为（ ） A . .. ' B .
C. V
D.:
2 3
17 . （2015?兰州模拟）已知椭圆 C 的中心为O,两焦点为F 1、F 2, M 是椭圆C 上一点，且满 足|「.|=2|” i|=2|「|，则椭圆的离心率 e=( )
A. - 7
B.
- C.
7
D.
7
5 3 3 3
13. (2015? 高安市校级模拟） 椭圆
C: 2 2
丄+―=1 2
a b
（a>b>0）的左焦点为F,若F 关于直线
「x+y=0的对称点A 是椭圆 A.丄 B. 2 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ 血-]
C
並
~2~ T
D. 二一
I
14. (2015? 宁城县三模）已知 F i , F 2分别为椭圆二+」=1 （a> b> 0）的左、 : 右焦点，P
为椭圆上一点，且 A. — B. 2 15. (2015? PR 垂直于x 轴. D. 若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ~F
郑州二模）已知椭圆 2 2
■'- ■' 1 (a>b>0)的两焦点分别是 F1, a b
F 2,过F 1的直
F 2,过点F 1的直线与椭圆 C 交于点M r 的离心率为（
）
B.
-—+
=1 (a > b > 0)的左、右焦点，直线 l a 2 b
z
23. （2015?宜宾模拟）直线 y=kx 与椭圆C:
2 2
■' +-'.=1 (a> b> 0)交于 A B 两点，F 为椭
圆C 的左焦点，且树？ _i ；=0,若/ ABF€ （ 0, —]，则椭圆C 的离心率的取值范围是 （ ）
2 2
18 . （2015?甘肃校级模拟）设 F 1, F 2分别是椭圆 —+——=1 （a> b> 0）的左右焦点，若在 2 L 2 日b
2 直线x=1上存在点卩，使厶PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ <■ A. （0,二）B . （0, —!：） C. （一，1） D.（工 1）
3 2 3 2 19 . （2015?青羊区校级模拟）点 F 为椭圆二+— =1 （a > b > 0）的一个焦点，若椭圆上
在
点A 使厶AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ A. — B.
2 D. 7- 1 20. (2015? 包头一模）已知椭圆 2 2 C: • - =1 (a> b> 0)和圆 O x 2+y 2=b 2
，若 C 上存在 a 2 b 2
点M 过点M 引圆0的两条切线，切点分别为 E, F,使得△ MEF 为正三角形，则椭圆 C 的离 心率的取值范围是（ ） A. [ , 1） B. [ ：, 1） C. [ —, 1） 2 2 2 21. （2015?甘肃一模）在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆 2 2 ■' + =1 (a > b> 0) 上的一点 A 2 1 2 a b
为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与 形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ B.（ 「
y 轴相交于 ）
B, C 两点，若△ ABC 是锐角三角 A.(娠-逅,V5 1)
..
； 1)
D (
°, I 〉
过焦点F 2且与椭圆交于 . . 2 圆离心率为e,则e =
A. 2 -
「； B . 3 -
*：「
A, ( B 两点，若△ ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设
椭 ） _ C. 11 - 6 ■: D . 9-6 ■:
22.（ 2015?杭州一模）
F i 、F 2为椭圆C:
A. (0,匸]B . (0, '] C . [ : '] D. [ 1)
2 3 2 3 3
焦点，若椭圆上存在点 P 满足 =”？〒［=2c 2
,则此椭圆离心率的取值范围是（
C . ［ —，1） D.［二，二］
2 2
25. （2015?张掖模拟）已知 F 1
（- c, 0） ,
F 2 （c, 0）是椭圆寻
己=1 （a > b> 0）的左右
a 2
b 2
两个焦点，P 为椭圆上的一点，且r r \T - ' •，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A ：.； -p| B.
- - C.丄.匚：D 匚卓：
26. （2015?永州一模）已知两定点 A （- 1, 0）和B （1, 0）,动点P （ x, y ）在直线l : y=x+2 上移动，椭圆C 以A B 为焦点且经过点 P,则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
A ——B. — C.
D.
5 2 V10 V5+1
椭圆于另一个点 B,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若0v k v ，则椭圆的离心率
3
的取值范围是（ ）
A （0,
） B. （ , 1） C. （0, ：） D. （ ：, 1）
3 3 3 3
2 2 2 2 2
29. (2015?江西校级二模)已知圆 O ： (x- 2) +y=16 和圆 Q: x+y =r (O v r v 2),动
2 2
28. （2015?鹰潭一模）已知椭圆 G ： ' • - =1 （a>b>0）与圆G ： x 2+y 2=b 2
，若在椭圆 G
a 2
b 2
过P 作圆的切线PA PB,切点为A, B 使得/ BPA^，则椭圆G 的离心率的取 值范围是（ ） A 1斗B.
■.肯
C.
E
24. (2015?南宁三模)已知 F i (- c, 0),
的两个
A 「，
B. ( 0,
27. （2015?山东校级模拟）过椭圆
=1 （a > b> 0）的左顶点 A 且斜率为k 的直线交
上存在点P, F 2 (c, 0)为椭圆 =1 (a > b> 0)
圆
M与圆0、圆Q都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e i、e2 (e i> e2),贝U e i+2e2的最小值是( )
A "L： B.匕 C.匚 D.匕
4 2 8
参考答案与试题解析
.选择题（共29小题）
2 2
1.（2015?潍坊模拟）椭圆•’的左右焦点分别为 F i, F2,若椭圆
F b2
C上恰好有6个不同的点P，使得AF 1F2P为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A：、「 B. ■- !' C ： !' D L. 1. I . ■
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：分等腰三角形AF 1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.
解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，
△F 1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰AF 1F2P;
②当AF 1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，
以F2P作为等腰三角形的底边为例，
•「F i F^=F i P,
•••点P在以F i为圆心，半径为焦距 2c的圆上
因此，当以F i为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰AF
1F2P,
在厶F 1F2P1 中，F1F2+PF >PF2,即卩 2c+2c >2a- 2c,
由此得知3c>a.所以离心率e>丄.
3
当e=2时，AF 1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故丄
2 2
同理，当F i P为等腰三角形的底边时，在e>丄且时也存在2个满足条件的等腰
3 2
△F 1F2P
这样，总共有6个不同的点P使得△ F 1F2P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：e€（2, 2）U（2，1）
3 2 2
圆离心率e 的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基 础题.
2 2
2. （2015?河南模拟）在区间［1 , 5］和［2 , 4］分别取一个数，记为 a, b ，则方程■'
2 1 2丄
a b 考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：表示焦点在x 轴上且离心率小于 …;的椭圆时，（a, b ）点对应的平面图形的面积大小 2
和区间［1 , 5］和［2 , 4］分别各取一个数（a, b ）点对应的平面图形的面积大小，并将 他们一齐代入几何概型计算公式进行求解.
解答：
解：T 丄+》一二］表示焦点在x 轴上且离心率小于
••• a > b >0, a v 2b
它对应的平面区域如图中阴影部分所示: 2 2
则方程'■ ■-
1表示焦点在x 轴上且离心率小于
八 54 - 32 - 1 - k
4 -3 -2 / “ -
-2
-4 - -5 *
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且 这个“几
何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.
表示焦点在 A.丄
B.
2
x 轴上且离心率小于
-；的椭圆的概率为
（ 2
"C.「D -
32 「的椭圆的概率为
迪导（1旳三|士上
.:二 ::,
P= S 矩形
故选B.
点B, F 为其右焦点，若 AF 丄BF,设/ ABF=z ，且 •— 丄.二,则该椭圆离心率 e 的 取值范围为（ ） A.「「_ 一 B 匚.：C 二二:D- ■：
考点：椭圆的简单性质. 专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以:
AB=NF 再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式
论. 2 2
已知椭圆（ a
> b
> 0
）上一点A
关于原点的对称点为点B
，F
为其右焦
点，设左焦点为：N
则：连接 AF ，AN, AF ，BF 所以：四边形 AFNE 为长方形. 根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a / ABF=x ，则：/ ANF a. 所以：2a=2ccos a +2csin a
点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函 数的值
域，离心率公式的应用，属于中档题型.
解答
:
e
=〉=
由：一
故选：A
厂 2 Z
4.（2015?西安校级三模）斜率为丄的直线I与椭圆■' , ■ -： I :交于不同的
2 a z b2
两点，且这两个交点在 x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）
A 丄 B. C.」D.
2 2
3 3
考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.
专题：计算题.
分析：两边乘2a2b2,求得关于的先根据题意表示出两个焦点的父点坐标，代入椭圆方
a 程，
方程求得e.
解答：解：两个交点横坐标是-c, c
所以两个交点分别为（-C,-c）（ C,迟c）
2 2
2 2
代入椭圆C+C=1
2r9i 2 a 2b
2 2
两边乘2a b
2 2 2、 ^22
则 c (2b +a ) =2a b
、2 2 2
•b =a - c
2 z 2 2、A 2 2 c ( 3a - 2c ) =2a A4 - 2a c
2 2
2aA4 - 5a c +2。

人4=0
2 2 2 2
(2a - c ) (a - 2c ) =0
2 -
=2,或
2 ' 9
a <
• 0v e v 1
所以eH^
a 2
故选A
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质•考查了椭圆方程中a, b和c的关系.
2 2
5.（2015?广西模拟）设椭圆 C:'厂,=1 （a>b> 0）的左、右焦点分别为 F i、F2, P是C 上的点，PF2±F i F2,Z PF i F2=30°，贝y C的离心率为（）
厂B. C. 厂
3 3 2 6
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：设|PF2|=X，在直角三角形 PF1F2中，依题意可求得|PF i|与|F i F2|，禾U用椭圆离心率的性质即可求得答案.
解答：解：设|PF2|=X ,
•/ PF2±F I F2,Z PF I F2=30°,
•••|PF i |=2x , |F I F 2|=V^X , 又 |PF i |+|PF 2|=2a , |F I F 2|=2C • 2a=3x, 2C =£X , • C 的离心率为：e=2^=辺.
2a 3
故选A.
点评：本题考查椭圆的简单性质， 利用三角形边角关系求得|PF i |与|PF 2|及|F I F 2|是关键，考
查理解与应用能力.
2 2
6. ( 2015?绥化一模)已知椭圆：'■ - -
,i'., F i , F 2为其左、右焦点，P
-b Z
I
PF 2的重心为G,内心I ，且有三.！.厂-
.(其中
考点：椭圆的简单性质. 专题：压轴题.
分析：在焦点AF 1PF 2中，设P (X o , y o ),由三角形重心坐标公式，可得重心
G 的纵坐标，因
为；■ . | ； ._,故内心I 的纵坐标与G 相同，最后利用三角形 F 1PF 2的面积等于被内 b 、C 的等式，即可解得离心率 解答：解：设P
(x o , y o ), TG 为AF i PR 的重心，
T 「• | . —••IG //x 轴,
• I 的纵坐标为一,
3
在焦点AF 1PF 2中，|PF i |+|PF 2|=2a, |F I F 2|=2C • • ,, _ _ = ,?
|F I F2
I ? |y °|
内心I 把厶F i PE 分为三个底分别为AF
1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形
•••［：._ _ - = _ (|PF i |+|F 1F 2I+IPF 2I )
又TI F i PR 的内心，.・.I 的纵坐标
—即为内切圆半径,
为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，AF 入为实数)，椭圆 A.
B.
2 3
C 的离心率e=( C. ：
D.—
3 2
心分割的三个小三角形的面积之和建立
•G
点坐标为G
「，'
),
y 0
1
••• ? IF 1F 2I? |y 0|= ：
(|PF i |+|F 1F 2I+IPF 2| )
2 2 3
即丄x 2c? |y o |=丄(2a+2c ) 凹| , 2 2 3
•- 2c=a, •椭圆C 的离心率e=£=l a 2 故选A
点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义， 重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用,
椭圆离心率的求法 7. (2015?长沙模拟)已知 F i (- c, 0), F 2 (c, 0)为椭圆 2 2
■' ■ ■' 1的两个焦点，P 为椭
2> 2丄
a b 圆上一点且「二..「二 ',则此椭圆离心率的取值范围是( A. V2-) T ]
2 考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：设P ( m n ),由］I 1 -得到n 2=2c 2
- m ①.把P (m, n )代入椭圆得到 b 2nf+a 2n 2=a 2b 2②，把①代入②得到 m 2的解析式，由n i >0及nf <a 2求得卫的范围. a 解泵^^^：
2 2 2
答:解：设 P (m, n ), pF ；・PF ；二c 2
= (- c - m - n) ?
(c- m - n) =m - c+n,
2 2^2 2^2 2
• m +n =2c , n =2c - m ①.
2 2
代入椭圆斗+—二1得b 2m+a 2n 2=a 2b 2 ②, a 2 b 2
把①代入②得
2, 2 一 c 2 2
• a b <2 a c ,
c 2<2c 2
, •
：：
> ；. 日3
戸 2一 2 .色％2 - 2a 2
c 2
_ 2 .
又 m <a , • • - <a , •
= £- a
.2 2 2
b w 2
c , a
<0, 故 a 2-2c 2>0,
l/ - /
a 2
综上，
故选：
c.
点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题.
2 2
& ( 2015?朝阳二模)椭圆亠+」=1 (a > b> 0)的左、右焦点分别是 F i, F2,过F2作倾斜
2 1 2
a b
角为120°的直线与椭圆的一个交点为M若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为( ) A _ …B. 2 -7 C. 2 (2 - 7) D.丄
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题.
分析：如图，Rt△ MF2 F i中，tan60 ° =二=_!，建立关于a、c的方程，解方程求出：的值.
2c Q
解答：解：如图，
在Rt△ MFF2 中，/ MF2F i=60°, F i F2=2c
/• MR=4c, MF=2逅C
MF+MF=4c+2、/^c=2a? e=E=2-Vl,
a
9.(2015?新余二模)椭圆C的两个焦点分别是F1,F2,若C上的点P满足|叶r -,
2
)
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C的离心率e的计算公式即可得出
解答：解：•••椭圆C上的点P满足|pp11=^ I，
2
由椭圆的定义可得 |PF1|+|PF 2|=2a ,• |PF2|=2a - 3c.
利用三角形的三边的关系可得：2c+ (2a - 3c)> 3c, 3c+2c>2a- 3c,
e<l
•••椭圆C 的离心率e 的取值范围是 一 厶
L 4
2J
故选：c.
点评：本题考查了椭圆的定义、 三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识 与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 10. （2015?怀化二模）设F 1, F 2为椭圆的两个焦点， 若椭圆上存在点P 满足/F 1PF 2=120°, 则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.二；B ■ I ■ c ", . D : 考点：椭圆的简单性质. 专题：计算题. 分析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得 2 0 CLL 4/-4丁 cos / PF 1F 2=
, , -1,进而根据均值不等式确定|PF i ||PF 2|的范围，进而确 2 |Pr ] I IFF 2 I 定cos / PF 1F 2的最小值，求得 a 和b 的关系，进而求得 a 和c 的关系，确定椭圆离心 率的取值范围. 解答：解：F 1 (- c, 0), F 2 (c, 0), c > 0,设 P (X 1, y 1), 则 |PF 1|=a+ex 1, |PF 2|=a - ex 1. 在厶PF 1F 2中，由余弦定理得 cos120° ](a+ex^ ) 2+ (a _ e i j) 2 - 4c 2
:: ： ：
, 2 (已+亡x ]) (aex 解得x i 2=
_ 1
2、
c 一 4c' - 3/ 2 刚.2 r 2 ‘
•' x 1 €( 0, a ], • 0< ----- --- v a ，即卩 4c - 3a >0.且 e < 1
••• e=二 a 2 故椭圆离心率的取范围是 e €
故选A. 点评：本题主要考查了椭圆的应用. 当P 点在短轴的端点时/F i PF>值最大，这个结论可以记 住它.在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题.
2 2
11. （2015?南昌校级二模）设 A i , A 分别为椭圆’厂,=1 （a>b>0）的左、右顶点，若
0 b
在椭圆上存在点 P,使得 — 七: >-[，则该椭圆的离心率的取值范围是（
1 2 乙
A. (0, ) B . (0, 12) C.
2 2
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：
根据题意设P (asin a, bcos a)，所以根据条件b-
2
b 2
换上a 2
- c 2
从而可得到：
•「1 ,再根据a, c> 0，即可解出离心率 兰的取 护2
a
值范围.
解答：解：设 P (asin a, bcos a) , A i (- a, 0), A (a, 0);
.. bcos*^ . bcos Cl .
a
2sin 2
a
■, a, c> 0;
•••该椭圆的离心率的范围是( 故选：C.
点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率， 以及
b 2
=a 2
- c 2
，椭圆斜率的概念及计算公式，设出
P 点坐标是求解本题的关键.
12. (2015?宜宾县模拟)设椭圆 C 的两个焦点为F i 、F 2,过点F i 的直线与椭圆C 交于点M N,若 |MF 2|=|F 1F 2I ，且 |MF i |=4 , |NF i |=3，则椭圆 r 的离心率为(
)
A
2 r 3
厂 3 5
A. —
B. —
C. -
D.
5
5 7 7
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设椭 岂+/二1 (a >b > 0),运用椭圆的定义，可得 |NF 2|=2a - |NF i |=2a - 3, a 2 b 2
|MF 2|+|MF i |=2a ，即有2c+4=2a ，取MF 的中点K,连接KR ，贝U KR 丄MN 由勾股定理 可得a+c=12，解得a, c,运用离心率公式计算即可得到.
】可得到」，
asin^+a “卩弟 asinCL - a
■ I ' D 1 '
F i (- c, 0) , F 2 (c, 0), IMF 2F IF i F 2|=2c ,
由椭圆的定义可得|NF 2|=2a - |NF i |=2a - 3, |MF 2|+|MF i |=2a ，即有 2c+4=2a, 即a - c=2,①
取MF 的中点K,连接KR,贝U KF>±MN
2 2 2 2
由勾股定理可得 |MF 2| - |MK| =|NF 2| - |NK| ,
2
2
即为 4c - 4= (2a - 3) - 25，化简即为 a+c=12，② 由①②解得a=7, c=5, 则离心率e=「=t ,
3 7
故选：D.
点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考 查运算能
力，属于中档题.
2 2
13. (2015?高安市校级模拟)椭圆
C: ' + =1 (a> b> 0)的左焦点为F,若F 关于直线
/ b Z
■:x+y=0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆 A
•丨 B T C / D -l
:
椭圆的简单性质.
:计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. :求出F ( - c, 0)关于直线
；x+y=0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率.
解：设F (- c, 0)关于直线ME x+y=O 的对称点A( m n),则,
解答:
解：设椭圆
(a> b>0),
C 的离心率为(
••• m=…,
3 2
—■ ■~ c _
代入椭圆方程可得1一、亠丁 _
『b蓝
化简可得e4 - 8e2+4=0,
二 e=£^ - 1,
故选：D.
点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力.
F2分别为椭圆'><=1(a>b>0)的左、右焦点，P
a b
若|F 1F2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为(
D.
2
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：设F1 (- c, 0), F2 (c, 0), (c>0),通过|F 1F2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率 e.
解答：.：
解：F i, F2分别为椭圆冬+壬=1 ( a> b > 0)的左、右焦点, 2 L2
a b
设 F i (- c, 0), F2
P为椭圆上一点，且
以 2 2 2 2
可得 2c=2，，即 ac=b =a - c .可得 e +e - 1=0. a
~ 1
解得e亠.
2
故选：D.
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法.
2 2
15.(2015?郑州二模)已知椭圆J■ ■' 1 (a>b>0)的两焦点分别是 F1, F?,过R的直
a2 b2
线交椭圆于P , Q两点，若|PF2|=|F问,且2|PF1|=3|QF1| ,则椭圆的离心率为( )
3
A. B. 4 C.； D.匚
5545
考〕
占：八、椭圆的简单性质.
专题：计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题.
14. (2015?宁城县三模)已知 F i,
PF2垂直于x轴.
为椭圆上一点，且
A " B. 7 C '
2 2
(C, 0), (c> 0),
PF2垂直于 x 轴.若 |F i F2|=2|PF
分析:
瓦3由题意作图，从而设设点Q(X0, y°)，从而由2|PF1|=3|QF 1|可写出点P (- c- X0,
3 c c a2
-勻0)；再由椭圆的第二定义可得|PF1|= —|MP| , |QF1|=—|QA|，从而可得3 (X。

亠)
2 a a c
2 2 2
=2 (-5c- Z x o+卫_),从而化简得到x o=- 5匚,再由|pF2|=|F问及椭圆的第二定22c 6c
义可得3a2+5c2 - 8ac=0 ,从而解得.
解解：由题意作图如右图，
答：l i,丨2是椭圆的准线，设点 Q(x o, y o),
••• 2|PF i|=3|QF i| ,
•••点 P (- c- 'x o, - yo);
2 2 2
又•/ |PF i|^|MP| , |QF i|=jQA| ,
a a
•2|MP|=3|QA| ,
r 2 2
又|MP|= - _c—2x o+^—, |QA|=x o+丄,
2 2c c
2 r o 2
• 3 ( x o+^^) =2 (—— c —— x o+^^),
c 2 2c
r 2, 2
解得，x o=- 1 ,
6c
•- |PF2|=|F i F2| ,
5 3 呂2 c
.••()c+)xo+. )-1 =2c；
2 2 C a
r 2. 2
将x o= - = * 代入化简可得，
6c
2 2
3a +5c - 8ac=O ,
即 5 ；二.I 'f- 8上+3=O;
a a
解得，：：=1 (舍去)或：：=';
3 a 5
故选：A.
点本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题.
评：
2 2
16.（2015?绍兴一模）已知椭圆 C: = 一一•—…|的左、右焦点分别为 F i, F2,
a2 b2
O为坐标原点， M为y轴正半轴上一点，直线MF交C于点A,若F i A丄MF，且|MF2|=2|OA| , 则椭圆C的离心率为（）
A. , '
B.
C. J］「
D.'
2 3
考点：椭圆的简单性质.
专题：: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：:,如图所示，在Rt△ AF1F2中，|F i F2|=2|OA|=2c .又 |MF2|=2|OA|，可得/ AF2F i=60°, 在Rt△ AF1F2中，可得|AF2|=c , |AF i|= 7c.再利用椭圆的定义即可得出.
解答：〕解：如图所示，
在Rt△ AF1F2 中，|F i F2|=2|OA|=2c . 又 |MF2|=2|OA| ,
在Rt△ OMF 中，
:丄 AF2F i=60°,
在Rt △ AF1F2 中，
AF2|=c , |AF i|=「c.
••• 2a=c+ 耳5c,
一・「- 1.
a V5+1
故选：C.
点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、
椭圆的定义，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题.
17. (2015?兰州模拟)已知椭圆 C 的中心为O,两焦点为F i 、F 2, M 是椭圆C 上一点，且满 足|「」=2| " i|=2|
，则椭圆的离心率 e=(
)
5 3 3 3
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；解三角形；平面向量及应用. 分析.
由已知可得 2a=|MF i |+|MF 2|=3|MF 2| ,进而在AF i OM 中，|F i O|=c, |F i M|= a, |OM|= a,
3
3
在厶0F 2M 中，
|F 2O|=c, |M0|=|F 2M|交a ，由/MO z
i =180°-Z MOE 得：cos/ MOF+cos/MOF=0,结
2 .............
由椭圆定义可得 2a=|MF i |+|MF 2|=3|MF 2| ,
9
4 即 |MF 2|= a, |MF i |= a,
3
3
在厶F i OM 中，|F i O|=c, |F i M|==a, |OM|= a,
3
3
则cos
2c*-za
由/MOF=180°-/MOF 得
: cos / MOF+cos/MOF=0,
A — B.
合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案.
解：••• _|MF i |=|MO|=|MF 2| ,
解答
:
42. 2
4 2
则 cos/ MOF=
即为―"1工0,
4ac 4a
整理得：3c 2
- 2a 2
=0, 2
即卫—=2，即e 2
=2, 界3 3 即有e=^.
3
故选：D.
点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于
a, c 的方
程是解答的关键，难度中档.
18 （ 2015
?甘肃校级模拟）设F i ，F 2分别是椭圆
（ a
> b > 0
）的左右焦点，若在
a b
2
直线x=1上存在点卩，使厶PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（
C A. （0,丄）B. （0, —L ） C. （―, 1） D.（丄，1）
3
2 3 2
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程. 分
析：
可得y 2
=2b 2
-二，由此可得结论.
C
解答： - :-
•解：由已知P （2-, y ），得F 1P 的中点Q 的坐标为（丄.2y ）,
c
2c
2/22、
.
y = (a - c ) (3 --- )> 0,
e
•-3-丄〉0,
e
•/ 0< e v 1, ••• < e < 1.
3
故选：c.
点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定
由已知p （卫一，y ）,可得F i P 的中点Q 的坐标，求出斜率，利用 kp p*kp Q =- 1，
__cy ]
__ 5
-2c
2,
•一「一 - ■，-y
,4
2
=2『-—,
C
F i P 的中点Q 的
坐标是解答该题的关键，是中档题.
2 2
19.（2015?青羊区校级模拟）点 F为椭圆■ +' =1 （a> b>0）的一个焦点，若椭圆上存/ b2
在点A使A AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）
A.」
B. —
C.
D.二-1
2 2 2
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△ AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率.
解答：解：如下图所示：
设椭圆的右焦点为 F,根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60 ° ^3,
•••点P坐标为：（丄c,c）,
2 2
代人椭圆的标准方程，得
C2 3 2
,
a b
2 2 2 2 2 2
• b c +3a c =4a b ,
•e=^ - 1.
故选：D.
点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题.求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a, b, c的等量关系，然后，进行求解.
2 2
20.（2015?包头一模）已知椭圆 C: • - =1 （a> b> 0）和圆 O x2+y2=b2，若C上存在
a2 b2
点M过点M引圆O的两条切线，切点分别为 E, F,使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）
A. [ , 1）
B. [ [ 1）
C. [ ', 1）
D. （1,]
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：如图所示，连接 OE OF, OM 由于△ MEF 为正三角形，可得/ OME=3° , OM=2lb a, 再利用离心
率计算公式即可得出.
解答：解：如图所示，连接 OE OF, OM
•••△ MEF 为正三角形， •••/ OME=3° , • OM=2b 则 2bw a, •
• a2，
•椭圆C 的离心率e= h -（也）
点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力 与计算能
力，属于中档题.
2 2
21. （2015?甘肃一模）在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆'+ =1 （a > b> 0） 上的一点A / b 2
为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与 y 轴相交于B, C 两点，若△ ABC 是锐角三角 形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.（ — , — B .（^^, 1） C. — 1） D. （0, ［「） 考点：椭圆的简单
性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
J
'如图所示，设椭圆的右焦点 F （ c, 0）,代入椭圆的标准方程可得：
A （⑺ + ）.根 据厶ABC 是锐角三角形，可得/ BA 攻45°,且1 > —
b
e 2
+V2e
-
e 2+e- l<0 •••椭圆C 的离心率的取值范围是
,化为-
解出即可. 解答：
解：如图所示,
设椭圆的右焦点F (c, 0)，代入椭圆的标准方程可得：/耳
a k2 k2
取 y^—，A ：—
a a
•••△ ABC是锐角三角形，•••/ BAD 45°, 二一.
T
{ e
£+V2e - l>0
[e2+e- 1<0 ?
解得''亠—「二二
2 2
点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
22.(2015?杭州一模)设F i、F2为椭圆C:工+丁 =1 (a>b>0)的左、右焦点，直线I
a2 b2
过焦点F2且与椭圆交于 A, B两点，若△ ABF i构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭
2
圆离心率为e,则e=( )
A. 2 -晶
B. 3-並
C. 11 - ^3 D . 9-6-/2
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：可设IF1F2F2C, |AF1|=m,若厶ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则 |AB|=|AF 1|=m, |BF1|="^m再由椭圆的定义和周长的求法，可得m再由勾股定理,
可得a, c的方程，运用离心率公式计算即可得到.
解答：解：可设 |F1F2|=2c , |AF1|=m,
若厶ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则 |AB|=|AF 1|=m, |BF1|^2m,
化为
由椭圆的定义可得△ ABF i 的周长为4a, 即有 4a=2m^^m,即 m=2 (2 - ^2) a, 则 |AF 2|=2a - m= (2近 一 2) a, 在直角三角形AF 1F 2中，
2 2 2
|F 1F 2I =|AF i | +IAF 2I , 即 4c 2=4 (2-2a 2
+4 - 1)『
即有 c 2
= (9-6逅)a 2
, 即有 e 2
^—=9 - 6』^.
2 *
a
故选D.
点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运 用，灵活
运用椭圆的定义是解题的关键.
2 2
23. (2015?宜宾模拟)直线 y=kx 与椭圆C: ' +=1 (a> b>0)交于A B 两点，F 为椭 2 L
2
a b
圆C 的左焦点，且：「？ ；=0,若/ ABF€ ( 0,'］，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ( )
12
D.［」,1)
3
考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：、 、 - -
设F2是椭圆的右焦点.由? I =0,可得
得四边形AFBE 是矩形.设/ ABF=0，可得 的定义可得
BF+BF =2a
，可得e =
T |iT
解答：解：设F 2是椭圆的右焦点.
••• ? I =0, ••• BF 丄 AF,
•••O 点为AB 的中点，OF=OF. •四边形AFBR 是平行四边形， •四边形AFBFF 是矩形. 如图所示， 设/ ABF=0,
■/ BF=2ccos 0, BF>=AF=2csin 0, BF+BE=2a,
• 2ccos 0 +2csin 0 =2a , •e=
,
cos B +sin ◎
A. ( 0,
B . (0,
BF 丄AF,再由0点为AB 的中点，OF=OF.可 BF=2ccos 0, BF 2=AF=2csin B,利用椭圆
，即可得出.
sin 0 +cos 0= _ ■ ■
••0€( 0 , ^],
12
二 r ： 1
J
2」
—L
一
• T | €
.
点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和
差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
24. (2015?南宁三模)已知 F i (- c, 0), F 2 (c, 0)为椭圆 焦点，若椭圆上存在点 P 满足「「？、- =2c 2
,则此椭圆离心率的取值范围是(
C . ［一, 1) D.［二，二］
A
［
：
，
B. ( 0,
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：
设 P ( X 0,
y °),贝V 2C 2
=^^ ・丽;，化为 y ：二3
2 2
「…又1,可得
2K
2
亠一 利用,利用离心率计算公式即可得出.
解答：解：设 P(X 0, y °),则 2c 2
= -].・ “ .,= (-c- X 0, - y °) ? (c- x °, - y °) =：,-
,
化为..:- '
:….
.'-
e
=1 (a > b> 0)的两个
.I ，
c
2
2
2
. I .
'/b
=
a - c
，.八. 二-,
故选：A.
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题.
2 2
F i (- c, O) , F 2 (c, O)是椭圆 丄 + 丫一=1 (a > b> O)的左右
2 i 2
a b 两个焦点，P 为椭圆上的一点，且］|「八［；_ -,则椭圆的离心率的取值范围为(
)
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： ...
设P( x o , y o ),则卑』可得:
/ b 3 4
r 2
得爲山/+ yg =c ，化为x:空(3乎-玄？)，利用。

<xg<a 2
,及其离心率 c 计算公式即可得出
.
二；=2『，
a
解答：
Xn 坯
解：设P (xo, yo),则转片寻1，
/ b 2
2
-r
•
a
•••函■丽;二 F ，
4
.••(— c - xo, - yo) ? (c - xo, - yo) =c , 化为X Q - c 2
+述=C
，
25. (2015?张掖模拟)已知 由于「。

匚一 -,可
考点：椭圆的简单性质.
2 化为x；=七(3/ ~a2)，c
••• o〈爲=C，
2 o 二g 土(3乎-a2 ) c
解得鲁<亡<爭.
故选：D.
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题.
26. (2015?永州一模)已知两定点 A(- 1, 0)和B (1, 0),动点P(x, y)在直线l : y=x+2 上移动，椭圆C以A B为焦点且经过点 P,则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. 二 C. —- D.——
5 2 V10 V5+1
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：作出直线 y=x+2，过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C, 2a=|PA|+|PB| < |CD |+|DB|=|BC| , 即可得到a的最大值，由于 c=1，由离心率公式即可得到.
解答：解：由题意知c=1，离心率e=£,
a
椭圆C以A, B为焦点且经过点 P,
则 c=1 ,
TP在直线I : y=x+2上移动，
••• 2a=|PA|+|PB| .
过A作直线y=x+2的对称点C,
设C ( m n),则由”,
叵门它(m- 1) +2 fin= - 2
解得，* 即有C (- 2, 1),
ln=l
则此时 2a=|PA|+|PB| > |CD|+|DB|=|BC|= i,
此时a有最小值--",
2
对应的离心率e有最大值竺三匕
5
故选C.
27.(2015?山东校级模拟)过椭圆'+
a
—=1 (a > b> 0)的左顶点 A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B且点B在X轴上的射影恰好为右焦点F，若0v k v［，则椭圆的离心率
的取值范围是(
A. ( 0, _)
B.
3
)
(■, 1) C. (0, ：) D. ( ：, 1) 3 3 3
考点：椭圆的简单性质.
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：. -.
作出图形，则易知|AF2|=a+c , IBF2F ———，再由/ BAF2是直线的倾斜角，易得
a
2
k=tan/BAF2，然后通过0<k<【，分子分母同除a2得0<】-< 1求解.
解答：_ 二
解：如图所示：|AF2|=a+c , IBF2F玄■匕,
a
2
••• k=tan / BAF2=—,
a Ca+c)
-c2
又0V k< /
2_2 -
a c 1
• 0< < ,
a (a+c) 3
• 0< W；，
9
--—v ev 1.
3
故选：D.
考点：椭圆的简单性质.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：利用OP 、A 、B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆 离
心率的取值范围.
解答：解：连接OA OB OP 依题意，O P 、A 、B 四点共圆,
•••/ BPA^L ，/ APO M BPO 芒,
3 6
在直角三角形 OAP 中，/ AOP 上,
3 • cos/AOP= ； = ,• |OP|=丄=2b,
|0P| 2
丄 • b v |OP| <a,「. 2b<a,
2 2 2 2
• 4b Wa ，即 4( a - c )
2 o
•-3a 2<4c 2,即= ••二 e v 1, 2
•••椭圆C 的离心率的取值范围是［二,1）, 本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角, 难度不 大，但需要灵活运用和转化知识.
28. (2015? 鹰潭一模）已知椭圆 C i : 2 2 2 =1 (a>b>0)与圆 C 2： x+y=b ，若在椭圆 G 上存在点P, 过p 作圆的切线P A P B 切点为A ，B 使得/ BPA 「，则椭圆°的离心率的取 A. C
.
值范围是（ 洛1） 勺2, 「又 0v e v 1,。