高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习6.1不等关系与不等式(含答案详析)

第六章不等式及不等式选讲
第一节不等关系与不等式
[考情展望] 1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的充分必要条件的判断.3.考查和函数、数列等知识的综合应用．
一、实数的大小顺序与运算性质的关系
a＞b⇔a－b＞0，
a＝b⇔a－b＝0，
a＜b⇔a－b＜0.
二、不等式的性质
1．对称性：a>b⇔b<a；(双向性)
2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)
3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac<bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
5．乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；(单向性)
6．开方法则：a>b>0n∈N，n≥2)；(单向性)
7．倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔1
a＞
1
b.(双向性)
真、假分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则(1)真分数的性质：
b a＜b＋m
a＋m
，
b
a＞
b－m
a－m
(b－m＞0)
(2)假分数的性质：
a b＞a＋m
b＋m
，
a
b＜
a－m
b－m
(b－m＞0)
1．对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】a＞bD/⇒ac2＞bc2，如c＝0时，ac2＝bc2，
但ac2＞bc2⇒a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．
【答案】 B
2．在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()
A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h
C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h
【答案】 D
3．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()
A．a4＞b4 B.1
a＜
1
b
C．|a|＞|b| D．2a＞2b
【解析】当a＝1，b＝－2时，A、B、C均不正确，由y＝2x的单调性知，D正确．
【答案】 D
4.
1
2－1
与3＋1的大小关系为________．
【解析】
1
2－1
－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，
∴
1
2－1
＜3＋1.
【答案】
1
2－1
＜3＋1
5．(2012·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①c
a>
c
b；②a
c<b c；③log
b
(a－c)>log a(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是()
A．①B．①②C．②③D．①②③
【解析】∵a>b>1，∴1
a< 1 b.
又c<0，
∴c
a>c
b，故①正确．
当c＜0时，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴a c<b c，故②正确．
∵a>b>1，－c>0，
∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，
∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，
即log b(a－c)>log a(b－c)，故③正确．
【答案】 D
6．(2013·天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 由不等式的性质知(a －b )·a 2＜0成立，则a ＜b 成立；而当a ＝0，a ＜b 成立时，(a －b )·a 2＜0不成立，所以(a －b )·a 2＜0是a ＜b 的充分而不必要条件．
【答案】
A
考向一 [099] 应用不等式表示不等关系
(1)某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成
不等式为________．
(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【思路点拨】 (1)“不低于300元”的含义为“大于等于300元”． (2)“至少”及“不超过”的含义分别为“大于等于”和“小于等于”． 【尝试解答】 (1)设最低生活保障金为x 元，则x ≥300. 【答案】 x ≥300
(2)设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则x 、y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *
.
规律方法1 1.本例(2)在求解时，常因忽略变量x ，y ∈N *致误.
2.求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还
应考虑变量的实际意义.
考向二 [100] 不等式的性质及应用
(1)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：①ad ＞bc ；②a d ＋b
c ＜0；
③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的命题为________．
(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． 【思路点拨】 (1)利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． (2)把f (－2)表示成mf (－1)＋nf (1)的形式是解题的关键．用待定系数法或者以a 、b 为桥梁，利用方程思想解题．
【尝试解答】 (1)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0， ∴ad ＜0，bc ＞0，则ad ＜bc ，(1)错误． 由a ＞0＞b ＞－a ，知a ＞－b ＞0， 又－c ＞－d ＞0，
因此a ·(－c )＞(－b )·(－d )，即ac ＋bd ＜0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd
cd ＜0，故(2)正确． 显然a －c ＞b －d ，∴(3)正确．
∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确． 【答案】 ②③④
(2)法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝1，
∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．
又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，
∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二 因为⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝a －b ，
f (1)＝a ＋b ，
∴a ＝f (－1)＋f (1)2，b ＝f (1)－f (－1)
2.
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 故5≤f (－2)≤10.
规律方法2 1.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误.
2.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围.
对点训练 (1)设b ＜a ，d ＜c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c ＜b －d B ．ac ＜bd C ．a ＋c ＞b ＋d
D ．a ＋d ＞b ＋c
(2)若α，β满足⎩⎨⎧
－1≤α＋β≤1，
1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．
【解析】 (1)由不等式的同向可加性可知C 正确． 【答案】 C
(2)设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2.
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.
考向三 [101] 比较大小
(1)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2x
x －1，试比较f (a )与f (b )的大小；
(2)比较a a b b 与a b b a (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)的大小．
【思路点拨】 (1)计算出f (a )与f (b )，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．
【尝试解答】 (1)法一 ∵f (a )＝
m 2a a －1
，f (b )＝
m 2b b －1
，
∴f (a )－f (b )＝m 2a
a －1－m 2b
b －1
＝m 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2
·a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)＝m 2
·b －a (a －1)(b －1)
，
当m ＝0时，f (a )＝f (b )；
当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1， ∴f (a )＜f (b )，即f (a )≤f (b )． 法二 ∵f (x )＝m 2x
x －1
＝m 2
⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x －1， ∴f (a )＝m 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1，f (b )＝m 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b －1， 由于a ＞b ＞1，∴a －1＞b －1＞0，∴1＋
1a －1
＜1＋
1b －1
，
当m ＝0时，m 2
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a －1＝m 2⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1b －1， 即f (a )＝f (b )；
当m ≠0时，m 2
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a －1＜m 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b －1， 即f (a )＜f (b )， ∴f (a )≤f (b )．
(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法， a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫a b a －b ， 当a ＞b ＞0时，a
b ＞1，a －b ＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫
a b a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ， 当b ＞a ＞0时，0＜a
b ＜1，a －b ＜0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫
a b a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ， 当a ＝b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b
＝1，
∴a a b b ＝a b b a ，
综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．
规律方法3 1.第(1)中，若注意到m 2≥0，亦可构造函数φ(x )＝
x x －1
(x ＞1)，
判断出φ(x )是减函数，f (a )≤f (b )．
2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“a
b ＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．
对点训练 若a ＞b ＞0，试比较a a ＋b b 与a b ＋b a 的大小．
【解】 (a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a
－b )＝(a －b )2(a ＋b )，
∵a ＋b ＞0，(a －b )2＞0， ∴(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＞0， ∴a a ＋b b ＞a b ＋b a .
易错易误之十一 不等式变形中盲目扩大范围
———— [1个示范例] ———— [1个防错练] —————
(2012·陕西高考改编)设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R)．
(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1内存在唯一零点；
(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最大值和最小值． 【解】 (1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n －12×1＜0， ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1内有零点，
又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1时，f ′(x )＝n ·x n －1＋1＞0，
∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1上是单调递增的，
∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1内存在唯一零点．
(2)法一 由n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1.
即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.
本例(2)在求解中常犯以下错误：, ∵n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.
因此－1≤b ≤1，且－2≤c ≤0.,∴－7≤b ＋3c ≤1，,故b ＋3c 的最大值为1，最小值为－7.
出错原因为：(1)忽视字母b 、c 相互制约的条件，片面将b ，c 分割开来导致字母范围发生变化.
(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误.
作上述不等式组表示的可行域，如图所示． 令t ＝b ＋3c ，则c ＝t 3－b 3.
平移b ＋3c ＝0，知直线过原点O 时截距最大，过点A 时截距最小， ∴t ＝b ＋3c 的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6. 法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝1－b ＋c ，
f (1)＝1＋b ＋c ，
解得b ＝f (1)－f (－1)2，c ＝f (1)＋f (－1)－2
2
，
∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.
又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，∴－6≤b ＋3c ≤0.
当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0，
∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.
【防范措施】 处理该类问题的方式常有两种：
(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.
(2)运用线性规划，根据t ＝b ＋3c 的几何意义，数形结合求t 的最值.
已知函数f (x )＝ax 2－c ，且f (1)∈[－4，－1]，f (2)∈[－1,5]，求f (3)的取值范围．
【解】 法一 (以a 、c 为桥梁，方程组思想)
∵f (x )＝ax 2－c .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －c
f (2)＝4a －c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13[f (2)－f (1)]－c ＝43f (1)－13f (2)⇒f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋89f (2)． ⎭
⎪⎬⎪⎫－4≤f (1)≤－1⇒53≤－53f (1)≤203－1≤f (2)≤5⇒－83≤83f (2)≤403⇒－1≤f (3)≤20. ∴f (3)的取值范围为[－1,20]．
法二 (待定系数法)设f (3)＝λf (1)＋μf (2)，
∴9a －c ＝λ(a －c )＋μ(4a －c )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9＝λ＋4μ
－1＝－λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－53μ＝83.
∴f (3)＝－53f (1)＋83f (2)．下同法一，略．。