北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第4节《角平分线》参考课件

相等的点,在这个角的平分线上.
如图, ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分
A D
别是D,E(已知),
O
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一
1 2
P C
个角的内部,且到角的两边距离相
E
等的点,在这个角的平分线上).
B
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一.
例题讲析
角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC
上任意一点
O
,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到
这个角的两边距离相等).
A D
1P
2
C
E B
逆定理 在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点,在 这个角的平分线上. ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂 O 足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线 上.(在一个角的内部,且到角 的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上).
任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要
证明它们所在△OPD≌△OPE
O
1 2
P C
而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
证明： ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO ∵OP=OP ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE
BD 2 2D2E4 2cm
ACBCCD BD (44 2)cm
（2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴ AC=AE. ∵ BE=DE=CD, ∴ AB=AE+BE=AC+CD
四 深入探索
1.已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E， ∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F， EF会与FG相等吗？为什么？
二 挑战自我
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?
C E
D
B
A
F
老师期望:你能说出结论并能证明它.
2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离 相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标 出它的位置(比例尺 1:20 000).
A区
3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB的两边的距离相等.
A D
1
P
2
C
E B
独立 作业
习题1.9 1,3题.
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相 应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵 循的原则.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上， AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴ 如果DE一= 个12 锐AD角= 等12 于×3100°=5，（那在么直它角所三对角的形直中角， 边等于斜边的一半）.
5.如图,在△ABC中,已知 A
AC=BC,∠C=900,AD是
△ABC的角平线,DE⊥AB,
E
垂足为E.
CD
B
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.
解（1） ∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, DC⊥AC,
∴DE=CD=4cm ∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角) ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45° ∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE中
你能写出“定理 角平分线上 思
的点到这个角的两边距离相等” 考
的逆命题吗?
分 析
逆命题
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的
′
点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
已知:如图 所示, PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别 O 是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
几何语言表示：
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC
A D
上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知)
O
1 2
P C
∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段
相等的根据之一.
1.4 角平分线 (1)
一 学习新知
你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分 线上的点的性质吗?
你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
E
证明：∵EG为∠ACB的平分线 ∴ ∠BCE= ∠ACE ∵CG为∠ACD的平分线 ∴ ∠DCG= ∠FCG ∵ EG∥BC ∴ ∠FEC=∠BCE, ∠FGC=∠GCD 从而∠ACE=∠FEC， ∠FGC=∠FCG ∴EF=FC,FC=FG 从而EF=FG
五 回顾与小结
定理 角平分线上的点到这个
A D
P C
E B
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作
出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.
证明：∵PD⊥OA PE⊥OB ∴△POD和△BPOE都是Rt△ ∵PD=PE,OP=OP ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL) ∴ ∠POD= ∠POE ∴ OC是∠AOB的平分线
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离
B
D●
C●
O
A
4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角 平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 是E,F.
求证:EB=FC.
A
E
F
B
D
C
证明: ∵ AD是△ABC的角平分线 且DE⊥AB,DF⊥AC
∴ DE=DF ∵BD=CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴ EB=EC