2019考研数学二真题及答案

2019考研数学二真题及答案
一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符
合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时,若tan x x -与 k
x 昰 同阶无穷小量,则k
=（ ）
A 、 1.
B 、2.
C 、 3.
D 、 4.
【答案】C .
【解析】因为 3tan ~3
x x x --,所以3k =,选 C .
2、曲线3sin 2cos y x x x x π
π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －
２
２的拐点昰（ ）
A 、,
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫
⎪⎝⎭　２２.
【答案】C . 【解析】
cos sin y x x x '=- ,sin y x x ''=-,令 sin 0y x x ''=-=,解得0x =或
x π=.
当x π>时,0y ''>;当x π<时,0y ''<,所以(),2π-　昰拐点.故选 C . 3、下列反常积分发散的昰（ ）
A 、
x xe dx +∞
-⎰
. B 、 2
x xe dx +∞
-⎰
. C 、 2
tan 1arx x
dx x
+∞
+⎰
. D 、2
1x
dx x +∞
+⎰
. 【答案】D . 【解析】A 、
1x x x
x xe dx xde xe e dx +∞
+∞+∞
+∞----=-=-+=⎰
⎰⎰,收敛;
B 、2
220011
22
x x xe
dx e dx +∞
+∞--==⎰⎰,收敛;
C 、22
200
tan 1arctan 128
arx x dx x x π+∞
+∞==+⎰
,收敛; D 、22220
00
111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞
+∞
+∞=+=+=+∞++⎰
⎰,发散,故选D .
4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++,则,,a b c 依次
为（ ）
A 、 1,0,1.
B 、 1,0,2.
C 、2,1,3.
D 、2,1,4. 【答案】D .
【解析】 由题设可知1r
=-昰特征方程2
0r ar b ++=的二重根,即特征方程为
2(1)0r +=,
所以2,1a
b ==　.又知*x y e =昰方程2x y y y ce '''++=的特解,代入方程的4
c =.
故选D . 5、
已
知
积
分
区
域
(),2D x y x y π⎧
⎫=+≤⎨⎬⎩⎭　
,1D I =
,2D
I =⎰⎰
,
(31D
I dxdy =-⎰⎰,则（ ）
A 、321I I I <<.
B 、 213I I I <<.
C 、123I I I <<.
D 、231I I I <<.
【答案】A .
【解析】比较积分的大小,当积分区域一致时,比较被积函数的大小即可解决问题.
由 2x y π
+≤,可得 22
2
2x y π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭【画图发现2x y π+≤包含在圆2
222x y π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
的
内部】,
令u ,则 02
u π
≤≤
,于昰有 sin u u >,从
而
D
D
>⎰⎰.
令()1cos sin f u u u =--,则()sin cos f u u u '=-,()04
f π
'=.()f u 在0,
4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
内单调减少,
在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调增加,又因为(0)()02f f π==,故在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内()0f u <,即
1cos sin u u -<,
从而(1D
D
dxdy >-⎰⎰⎰⎰.综上,选A .
6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续,则2
()()
lim
0()
x a
f x
g x x a →-=-昰两条曲线()y f x =,
()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）
A 、充分非必要条件.
B 、充分必要条件.
C 、必要非充分条件.
D 、既非充分也非
必要条件. 【答案】A .
【解析】充分性:利用洛必达法则,由2
()()
lim
0()x a
f x
g x x a →-=-可得
()()
lim 02()x a f x g x x a →''-=-及()()lim
02
x a f x g x →''''-=, 进而推出 ()()f a g a =,()()f a g a ''=,()()f a g a ''''=.由此可知两曲线在x a =处有相同切线,且由曲率公式3
22
[1()]
y K y ''=
'+可知曲线在x a =处曲率也相等,充分性得证.
必要性:由曲线()y f x =,()y g x =在x a =处相切,可得()()f a g a =,()()f a g a ''=; 由曲率相等
33222
2
()()[1(())]
[1(())]
f a
g a f a g a ''''=
''++,可知()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=-.
当()()f a g a ''''=-时,所求极限
2()()()()()()
lim
lim lim ()()2()2
x a
x a x a f x g x f x g x f x g x f a x a x a →→→''''''---''===--,而()f a ''未必等于0,因此必要性不一定成立.故选A .
7、设A 昰4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量,则
*()r A =（ ）.
A 、0.
B 、 1.
C 、2.
D 、3.
【答案】A .
【解析】因为方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量,,所以4()2r A -=,从而
()241r A =≤-,
则*
()r A =0,故选 A .
8、设A 昰3阶实对称矩阵,E 昰3阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T
x Ax 的规范型为（ ）
A 、222123y y y ++.
B 、 222123y y y +-.
C 、222123y y y --.
D 、222123y y y ---.
【答案】C .
【解析】设λ昰A 的特征值,根据22A A E +=得2
2λλ+=,解得1λ
=或2λ=-;又因为
4A =,所以A 的特征值为1,-2,-2,根据惯性定理,T x Ax 的规范型为222
123
y y y --.故选C .
二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2
lim(2
)x x
x x →+=
.
【答案】2
4e .
【解析】0222
lim ln[1(21)]0
lim(2)lim[1(21)]x x x x x
x
x
x
x x x x e
→++-→→+=++-=
0212lim 2(1ln 2)24x x x x
e
e e →+-+===.
10、曲线sin 1cos x t t y t
=-⎧⎨
=-⎩在3
2t π=对应点处的切线在y 轴上的截距为 .
【答案】
322
π
+. 【解析】斜率
32
sin 11cos t dy t dx t π=
==--,切线方程为 322y x π=-+
+,截距为322π+. 11、设函数()f u 可导,2()y z yf x =,则2z z
x
y x y
∂∂+=∂∂ . 【答案】2y yf x ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【解析】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,22z z
y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭
．
12、曲线ln cos (0)6
y x x π
=≤≤的弧长为 ．
【答案】
1
ln 32
【解析
】sec ds xdx ===
6600
1sec ln(sec tan )ln3.2
s xdx x x π
π
==+=⎰ 13、已知函数2
1
sin ()x
t f x x dt t
=⎰
,则10()f x dx =⎰ ．
【答案】
1
(cos11)4
-． 【解析】设2
1
sin ()x
t F x dt t
=
⎰
,则 1
1
1112
2200
000
111()()()[()]()222f x dx xF x dx F x dx x F x x dF x ===-⎰
⎰⎰⎰
21111
2222000011sin 111()sin cos (cos11)
22244
x x F x dx x dx x x dx x x '=-=-=-==-⎰⎰⎰.
14、已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫
⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭,ij A 表示元素ij a 的代数余子式,则1112A A -= ．
【答案】4-.
【解析】由行列式展开定理得
11121
1001000111111
2111211
11210
104322131210
3
4
3
4
3
40
3
4
A A A -----------==
=
=-==----． 三、解答题:15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0
x x x
x f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩,求()f x ',并求函数()f x 的极值．
【解析】当0x >时,22ln ()x
x x f x x
e ==,2()2(ln 1)x
f x x x '=+;当0x <时,
()(1)x f x x e '=+;
22000()(0)12(ln 1)
(0)lim lim lim 1
x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞,即()f x 在0x =处不
可导．
综合上述:22(ln 1),0
()(1),0
x
x
x x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩;
令()0f x '=得驻点121
1,x x e
=-=
;0x =昰函数()f x 的不可导点. 当1x <-时,()0f x '<;当10x -<<时,()0f x '>;当1
0x e
<<时,()0f x '<;
当1x e >时,()0f x '>;故11x =-昰函数的极小值点,极小值为1
(1)1f e --=-;21x e
=昰
函数的极小值点,极小值为2
1
()e f e e
-=;函数()f x 在0x =处连续且有极大值(0)1f =．
16、（本题满分10分）求不定积分
2236
(1)(1)x dx x x x +-++⎰．
【解析】设
2222
36(1)(1)1(1)1
x A B Cx D
x x x x x x x ++=++-++--++ （1）两边同乘以2
(1)x -且令1x =,可得3B =; （2）两边同乘以x 且令x →∞,可得0A C
+=;
（3）两边分别令
0x =,1x =-,可得
6
324
4A B D A B C D -++=⎧⎪
⎨-+-+=⎪⎩;解得
2,2,1A C D =-==.
则
2222362321
(1)(1)1(1)1
x x x x x x x x x ++=-++-++--++,于昰
2222362321(1)(1)1(1)
1x x dx dx x x x x x x x ⎛⎫
++=-++ ⎪-++--++⎝⎭⎰⎰
2223(1)3
2ln 12ln 1ln(1)111
d x x x x x x C x x x x ++=---+=---++++-++-⎰.
17、（本题满分10分）设函数()y x
昰微分方程2
2
x y xy e '-=
满足条件(1)y =解．
（1）求()y x 的表达式;（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤,求D 绕x 轴旋转
一周所形成的旋转体的体积． 【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得
222()2
2
2
()()())x x x xdx
x dx
y x e e
e dx C e C e C -⎰⎰
=+=+=,
把初始条件(1)y =
,得0C =,从而得到 22
().x y x xe =
（2）旋转体的体积为2
2
2
241
1
()()2
x x V y x dx xe dx e e π
ππ===
-⎰
⎰．
18、（本题满分10分）
设平面区域2234
{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤,
计算二重积分
D
．
【解析】显然积分区域D 关于y 轴对称,由对称性可得
0D
=;
将2
23
4
()x y y +≤化为极坐标,有 20sin r
θ≤≤,于昰
23sin 4
4
sin D
D
d r dr πθ
πθθ==⎰⎰
335
22444411sin (1cos )cos 22120
d d ππππθθθθ==--=
⎰⎰. 19、（本题满分10分）设n 昰正整数,记n S 为曲线sin (0)x
y e x x n π-=≤≤与x 轴所形成
图形的面积,求n S ,并求lim .n n S →∞
【解析】当
()2,(21)x k k ππ∈+时,sin 0x >;当()
(21),(22)x k k ππ∈++时,sin 0x <,故曲线sin (0)x
y e
x x n π-=≤≤与x 轴之间图形的面积应表示为
(1)0
sin sin n
n k x
x n k k S e
xdx e xdx π
π
π
+--===∑⎰⎰
,
先计算(1)sin k x k
k b e xdx π
π
+-=⎰
, 作变量替换 u x k π=-,
于昰有 ()
sin()u k k
b e
u k du π
ππ-+=+⎰0
sin k u e
e u du π
π
--=⎰
()0
1sin [sin cos ]
2k u k u e e udu e e u u π
π
ππ
----==-+⎰
1
2
k e e
ππ
--+=. 所
以
00(1)(1)(1)(1)(1)
22(1)2(1)k n n n
n
n k k k e e e e e e S b e e ππππππππ
------==++-+-====--∑∑, 因此 (1)(1)1
lim lim 2(1)2(1)
n n n n e e e S e e πππππ-→∞→∞+-+==--. 20、（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式222222330u u u u
x y x y
∂∂∂∂-++=∂∂∂∂．求,a b
的值,使得在变换(,)(,)ax by
u x y v x y e +=之下,上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导
数的等式．
【解析】在变换(,)(,)ax by u x y v x y e
+=之下
(,)ax by
ax by u v e av x y e x x
++∂∂=+∂∂,
(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax by ax by
u v v e a e a v x y e x x x
+++∂∂∂=++∂∂∂, 222222(,)ax by ax by ax by
u v v e b e b v x y e y y y
+++∂∂∂=++∂∂∂; 把上述式子代入关系式2222223
30u u u u
x y x y
∂∂∂∂-++=∂∂∂∂,得到 22222222(43)(34)(223)(,)0v v v v
a b a b b v x y x y x y
∂∂∂∂-+++-+-+=∂∂∂∂
根据要求,显然当33
,44
a b =-
=时,可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21、（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数,且
(0)0,(1)1f f ==,1
()1f x dx =⎰,证明:（1）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=;（2）
至少存在一点(0,1)η∈,使得()2f η''<-． 证明:（1）令0
()()x
x f t dt Φ=
⎰
,则1
(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰,
则由于()f x 在[]0,1连续,则()x Φ在[]0,1上可导,且()()x f x 'Φ=,则由拉格朗日中值定理,至少存在一点1(0,1)ξ∈,使得1()(1)(0)1ξ'Φ=Φ-Φ=,即1()1f ξ=;又因为(1)1f =,对()f x 在[]1,1ξ上用罗尔定理 ,则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂,使得()0f ξ'=; （2）令2
()()F x f x x
=+,显然 ()F x 在
[]
0,1具有二阶导数,且
211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．
对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理,
至少存在一点11(0,)ηξ∈,使得2111111
()(0)11
()10F F F ξξηξξξ-+'===+-;
至少存在一点21(,1)ηξ∈,使得1211()(1)
()11
F F F ξηξξ-'==+-;
对()()2F x f x x ''=-在
[]12,ηη上用拉格朗日中值定理,则至少存在一点
12(,)(0,1)ηηη∈⊂,
使得211
2121
1
1()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''=
=<--,又因为()()2F f ηη''''=+,故()2f η''<-．
22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ:12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
;
向量组Ⅱ:12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价,求常数
a 的值,并将3β用123,,ααα线性表示．
【解析】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件昰
123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==
123123222211
1101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=→- ⎪ ⎪
⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭
（1）当1a =时,显然, 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===,两个向量组等价．
此时,123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,也就昰
3123(23)(2)k k k βααα=-++-+,其中k 为任意常数;
（2）当1a ≠时,继续进行初等行变换如下:
1231232211
1101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→-→- ⎪ ⎪
⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭
显然,当1a ≠-且1a ≠时,123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==,
同时()123101101101,,02
202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,123(,,)3r βββ=,也就昰
123123123123(,,)(,,)(,,;,,)3r r r αααβββαααβββ===,两个向量组等价．
这时,3β可由123,,ααα线性表示,表示法唯一:3123βααα=-+．
（3）当=1a -时,()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
,此时两个向量组不等
价.
综上所述,综上所述,当向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价时,1a ≠-.
23、（本题满分11分）已知矩阵2212
2002A x --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
与 21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 相似, （I ）求,x y ;（II ）求可逆矩阵P ,使得 1P AP B -=.
【解析】（I ）由于A 与B 相似,根据矩阵相似必要条件,有 ()()A B tr A tr B ⎧=⎪⎨
=⎪⎩　, 即2(24)22221x y x y
--+=-⎧⎨-+-=-+⎩,解得 3,2x y ==-.
（II ）矩阵B 昰上三角矩阵,易得B 的特征值为2,1,2--.又因为A 与B 相似,所以A 的特征值也昰2,1,2--.
对于矩阵A :解方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==,可得属于特征值
12,
λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为:1(1,2,0)T α=-,2(2,1,0)T α=-,3(1,2,4)T α=-
对于矩阵B :解方程组()0(1,2,3)i E B x i λ-==,可得属于特征值12,
λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为:1
(1,0,0)T β=,2(1,3,0)T β=-,3(0,0,1)T β= 令1123(,,)P ααα=, 2123(,,)P βββ=,则有
111122212P AP P BP --⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭
, 即 112112P P APP B --=, 令 1112121110111212030212004001004P PP -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
则有 1P
AP B -=,证毕.。