高考数学二轮复习微专题16答案

微专题16
1．答案：(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.
解析：设M (x ，y )，则由2MA
＝
MB
得
2（x －1）2＋y2＝
（x －4）2＋y2，化简
得x 2＋y 2＝4，设直线l ：y ＝
k (x －1)－2，则|－k －2|
1＋k2
≤2，
整理得3k 2－4k ≥0，解得k ≤0或k ≥4
3
.
2．答案：[0，12
5]．
解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x2＋（y －3）2＝
2x2＋y2，化简得x 2＋y 2
＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意得，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a2＋（2a －3）2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤
125
.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，12
5
]．
3．答案：{22，－22}． 解析：设P (x ，x ＋m )，
则由
PA
PB
＝
12
可知
（x －1）2＋（x ＋m ）2（x －4）2＋（x ＋m ）2＝1
4
，
化简得到2x 2＋2mx ＋m 2－4＝
0，由题意可知Δ＝4m 2－4×2×(m 2－4)＝0，即m 2＝8，则实数m 的取值集合为{22，－22}．
4．答案：5
2
.
解析：记1
2PB ＝PC ，那么
PC PB ＝1
2
，其中B (2，0)，下面研究点C 的位置．设C (a ，b )，P (cos θ，sin θ)，则由PC PB ＝12
得
错误!＝
1
2
，化简得(4－8a )cos θ－8b sin θ＋4a 2＋4b 2－1＝0①，由于①式对任意θ都成立，
则⎩⎪⎨⎪
⎧4－8a ＝0，
b ＝0，4a2＋4b2－1＝0，
解得
C (12，0)．因此，PA ＋12PB ＝PA ＋PC ≥AC ＝5
2
.
5．答案：⎝⎛⎭⎫
53，73. 解析：如图，设AB ＝3，AC ＝1，AD ＝k ，
以点C 为原点，线段AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系xCy ，则点A 的坐标为(1，0)，
因为AB ＝3，所以点B 在以点A 为圆心，3为半径的圆上，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9(*)．设
D (x ，y )，由CD ＝2DB 得
B (32x ，3
2y )，代入(*)式得(32x －1)2＋(3
2y )2＝9，化简得(x －23)2＋y 2＝4，所以r －13<k <13＋r ，从而53<k <73
.
6．答案：l22（1－k2）.
解析：如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy .
设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2，于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以y 2＝
－（1－k2）x2＋2lx －l2
1－k2
＝错误!
≤k2l2
（1－k2）2
，于是，
y max ＝
kl
1－k2
，(S △ABD )max ＝kl2
2（1－k2）
，所以，(S
△
ABC )max
＝
1k
(S △
ABD )max ＝
l2
2（1－k2）
.
7．答案：2＋3.
解析：易知点B 的轨迹是阿波罗尼斯圆，记圆与线段AC 的交点为F ，圆心为D ，则
AB BC ＝AF
FC
＝m ，从而BF 为∠ABC 的平分线，即∠ABF ＝∠CBF ＝π
6，此时∠BCD ＝
∠BFC ＋∠CBF ＝5π
12
，∠CAB ＝
π12，∠ACB ＝7π
12
.在△ABC 中，由正弦定理得m ＝AB
BC
＝sin ∠ACB
sin ∠CAB
＝2＋3.
8．答案：存在；λ＝1
2，
理由略．
解析：假设存在点P (x ，y )满足题意，则x 2＋y 2＋8x ＝0，所以PA 2＝(x ＋2)2＋y 2，PB 2＝(x －4)2＋y 2，由PA 2＝λ2·PB 2，可得x 2＋y 2＋4x ＋4＝λ2(x 2＋y 2－8x ＋16)，整理得
(1－x )(1－4λ2)＝0，由点P (x ，y )为圆C 上任意一点，且λ>0，于是取λ2＝1
4，即有λ
＝12.。