山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件：第4章 第4节 平面向量应用举

(2)(2014·济南模拟)设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的
任意三个非零向量，且 a 与 b 不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值
一定等于( ) A．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 B．以 b，c 为两边的三角形面积 C．以 a，b 为两边的三角形面积 D．以 b，c 为邻边的平行四边形的面积 (3)已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为 AB
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二、向量在物理中的应用 1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． 2．向量在速度的分解与合成中的应用． 3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.
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1．已知三个力 f1，f2，f3 作用于物体同一点，使物体处于平
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∴N→A＝2D→N，∴A，D，N 三点共线， ∴点 N 在 BC 边的中线上． 同理，点 N 也在 AB，AC 边的中线上，∴点 N 是△ABC 的 重心． ∵P→A·P→B＝P→B·P→C， ∴P→A·P→B－P→B·P→C＝0，∴P→B·(P→A－P→C)＝0， ∴P→B·C→A＝0，∴P→B⊥C→A.
衡状态，若 f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为( )
A．2.5
B．4 2
C．2 2
D．5
【解析】 由题意知f1＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5) ，
∴|f3|＝5. 【答案】 D
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法二 (基向量法)∵C→P＝C→A＋A→P，B→A－B→C＝C→A，
∴C→P·(B→A－B→C)＝(C→A＋A→P)·C→A
＝C→A2＋A→P·C→A＝9－A→P·A→C
＝9－|A→P|·|A→C|·cos∠BAC
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【解析】 (1)∵|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，即点 O 到 A，B，C 三 点的距离相等，∴点 O 为△ABC 的外心．
如图，设 D 为 BC 边的中心，则N→B＋N→C＝2N→D， ∵N→A＋N→B＋N→C＝0， ∴N→A＋2N→D＝0，
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对点训练 (1)已知点 O，N，P 在△ABC 所在平面内，且|O→A |＝|O→B|＝|O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，P→A·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A，则 点 O，N，P 依次是△ABC 的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 (注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) (2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则A→E·B→D＝________.
足
→ AB →
＋
→ AC →
·B→C＝0，且
→ AB →
→ AC ·→
＝12，则△ABC
为(
)
|AB| |AC|
|AB| |AC|
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
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＋
→ AC →
·B→C＝0，所以∠BAC
的
|AB| |AC|
平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC.
→→
又
AB →
AC ·→
＝12，所以
cos∠BAC＝12，即∠BAC＝π3，所以△
|AB| |AC|
ABC 为等边三角形．
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＝9－3|A→P|·cos∠BAC，
∵cos∠BAC 为正且为定值，
∴当|A→P|最小即|A→P|＝0 时，C→P·(B→A－B→C)取得最大值 9.
【答案】 (1)A (2)D (3)9
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规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算 判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积； 三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值.
2.平面几何问题的向量解法 1坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点 与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算， 从而使问题得到解决. 2基向量法,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用 向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
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(2)依题意可得|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉 ＝|b||c|sin〈a，b〉 ＝S 平行四边形． ∴|b·c|的值一定等于以 b，c 为邻边的平行四边形的面积． (3)法一 (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角坐标系如图， 设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3,0≤x≤4，则C→P·(B→A－B→C)＝C→P·C→A ＝(x，y)·(0,3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大值 9.
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抓 住 ２
挖 掘
个
１
基
大
础
技
知
法
识
点
第四节 平面向量应用举例
掌 握 ３ 个 核 心 考 向
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课 堂 限 时 检 测
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[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明 问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的 工具性．
所用知识 共线向量定理
公式表示
a∥b⇔_a_＝___λb___
⇔_⇔__x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0_(b_≠_0_)__
其中 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)
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数量积的 垂直问题
【答案】 D
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4．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小 为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为________．
【解析】 如图所示． |F1|＝|F|cos 60°＝10×12＝5(N)．
的关系，借助数量积的定义求
|AB| |AC|
∠CBA，进而得出△ABC 的形状．
(2)借助数量积的定义及三角函数诱导公式求解．
(3)可采用坐标法和基向量法分别求解本题．
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【尝试解答】
(1)因为
→ AB →
∴A→C⊥B→D，∴S 四边形 ABCD＝12|A→C|·|B→D|＝12× 5×2 5＝5.
【答案】 C
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考向一 [080] 向量在平面几何中的应用
(1)(2014·长沙模拟)在△ABC 中，已知向量A→B与A→C满
运算性质
a⊥b⇔__a_·_b_＝__0__ ⇔__x_1x_2_＋__y_1_y2_＝__0____
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a，b 为非零向量
数量积的 夹角问题
a·b
定义
cos θ＝__|a_|_|b_|__(θ 为向量 a，b 的夹角)
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E(1,2)，
∴A→E＝(2)，B→D＝(－2,2)，
∴A→E·B→D＝1×(－2)＋2×2＝2.
【答案】 (1)C (2)2
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考向二 [081] 向量在物理中的应用
(1)一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛 顿)的作用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的 大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为( )
边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为________．
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→
【思路点拨】
(1)
AB →
是单位向量，结合平行四边形法则及
|AB|
→ AB →
＋
→ AC →
·B→C＝0
分析
AB
与
AC
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∴P→B·C→A＝0，∴P→B⊥C→A.
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同理，P→A⊥B→C，P→C⊥A→B，
∴点 P 是△ABC 的垂心．
(2)如图，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在
的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，
【答案】 5 N
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5．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，A→B·B→C＝1， 则 BC＝( )
A. 3 C．2 2
B. 7 D. 23
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【解析】 ∵A→B·B→C＝1，且 AB＝2， ∴1＝|A→B||B→C|cos(π－B)，∴|B→C|cos B＝－12. 在△ABC 中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即 9＝4＋|BC|2－2×2×－12.∴|BC|＝ 3. 【答案】 A
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3．若A→B·B→C＋A→B2＝0，则△ABC 为( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
【解析】 A→B·B→C＋A→B2＝0 可化为A→B·(B→C＋A→B)＝0，
即A→B·A→C＝0，所以A→B⊥A→C.所以△ABC 为直角三角形．
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6．(2013·福建高考)在四边形 ABCD 中，A→C＝(1,2)，B→D＝(－
4,2)，则该四边形的面积为( )
A. 5
B．2 5
C．5 【解析】
D．10 ∵A→C·B→D＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，
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一、向量在平面几何中的应用
1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及
数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、
夹角等问题．
2．用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
线平行、点共 线、相似等问题
2．已知 O 是△ABC 所在平面上一点，若O→A·O→B＝O→B·O→C＝
O→C·O→A，则 O 是△ABC 的( )
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心
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【解析】 O→A·O→B＝O→B·O→C⇒O→B·(O→A－O→C)＝0， ∴O→B·C→A＝0⇒OB⊥AC. 同理：OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O 是△ABC 的垂心． 【答案】 D
A．2 7
B．2 5
C．2
D．6
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图 4－4－1
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(2)如图 4－4－1 所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜 向上)，F 的大小为 50 N，F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ ＝0.02 的水平平面上运动了 20 m，问 F、摩擦力 f 所做的功分别 为多少？