【数学】江西省高安中学学年高一下学期期末考试数学理试题Word版含答案

【关键字】数学
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试
高一年级数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则集合中元素个数为（）
2.设，，那么的取值范围是（）
3.设角的终边过点则的值是（）
4.设等差数列的前项和为，若，则等于（）
5.在的角，，所对的边分别为，，，若，则角为（）
6.已知等比数列满足，，则（）
7.已知向量与满足，，且，则（）
8.如图，在中，，，与交于点,
设，，，则为（）
9.已知函数的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到的新函数
的解析式为( )
10.已知数列是等差数列，其前项和为，满足，给出下列结论(1)；（2）；(3)最小；(4). 其中正确
结论的个数是（）
11.在关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的取值范围是( )
. . . .
12.在中，，若，则的最大值为( )
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
13.已知，，则_________．
14.已知数列满足，且，，则__________.
15.给出下列命题：
（1）存在实数，使；
（2）若、都是第一象限角，且，则；
（3）函数是偶函数；
（4）函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像；
（5）若，则.
其中所有正确命题的序号是__________.
16.已知是坐标原点，动点在圆：上，对该坐标平面的点和，若，则的取值范围是____________.
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17（10分）已知，与的夹角为，若.
(1)求；（2）求.
18（12分）已知函数；
(1)求在上的最大值及最小值；
(2)若，，求的值.
19（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
20（12分）已知的角，，所对的边分别为，，，设向量，,.
(1)若，求的值；
(2)若，边长，，求的面积．
21（12分）如图，中，，，点在边上，且，.
(1)求；
(2)求、的长
22（12分）已知数列、的前项和分别为、，，且，各项均为正数的数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的最小值．
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试
高一年级数学（理科）试卷答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案B
B A A D
C A A C C
D A
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）.
13. 14. 15.(3)(5) 16.
三、解答题:(本大题共6小题,共70分).
18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅b b a b b a b a b 4||=⇒b ；
（2）5744|2|22=+⋅+=+b b a a b a
19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=
+=x x x x f 当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.
（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且
)2,8(ππα∈ 10
27)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：
（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，
解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n
；
(2)13-=n n b
n S n n n --=-++-+-=∴+2
331
3.....1313121， 20.证明 ∵b A b B a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴
B C sin 2sin =∴,故 2
1sin sin ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，
∴a ＋b ＝ab .
又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3
，即有 4＝(a ＋b )2
－3ab .
∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)．
因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32
＝ 3. 21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437
.
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )
＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×331443
7
＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.
所以AC ＝7. 22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12
，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12
的等差数列， 因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2. 于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝
（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2
＝n ＋1， 所以a n ＝n.
因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列
所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，
则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.
（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2
＝2＋2（1n －1n ＋2）， 所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2
）＝2n ＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2
）＋2n ， 则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2
）. 设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2
）. 因为A n ＋1－A n ＝3－2（
1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）
>0，
所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43
. 又因为A n ＝3－2⎝⎛⎭
⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53
.
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