第5课时 一次方程(组)及其应用 课件 2025年中考数学一轮总复习
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② － ＝2.
[答案] 解：原方程可变形为2x＋15－
＝2，去分母，得3（2x＋15）x＋45－（10x
－1）＝6，去括号，得6x＋45－10x＋1＝6，移项、合并同类项，得－4x＝－40，系数化为1，得x＝10.
考点三 二元一次方程（组）的解法例3 （1）二元一次方程2x＋y＝8的
正整数解有（ B ）
C
（2）（2024·贵州）小红学习了等式的
性质后，在甲、乙两台天平的左右两边
分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所
示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质
量分别为x，y，则下列关系式正确的是
（ C ）
A. x＝y
B. x＝2y
C. x＝4y
D. x＝5y
C
（3）若方程（k＋2） ＋6＝0是关
第一部分 考点梳理
第二章 方程组与不等式组第5课时 一次方程（组）及其应用
知识点1 等式的基本性质
内容
性
质
1
等式两边
，所得结果仍
（2）
解：原方程组可化为
①－②×2，得y＝10，
把y＝10代入②，得2x＋10＝1，
解得x＝－4.5，∴原方程组的解为
4. （2024·北京）为防治污染，保护和改
善生态环境，自2023年7月1日起，我国
全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以
下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”
要求A类物质排放量不超过35mg/km，
正确的解是 .
3. 解方程（组）：（1）x－ ＝1＋ ；
解：去分母，得6x－3（x－2）＝6＋2
（2x－1），去括号，得6x－3x＋6＝6＋4x－2，移项，合并同类项，得－x＝－2，系数化为1，得x＝2.
Ⅱ.
[答案] 解：方程组整理得
①－②，得－2y＝6，解得y＝－3.
将y＝－3代入①，得2x＋9＝9，解得x
＝0，∴原方程组的解为
考点四 含参数的一次方程（组）例4 （1）已知关于y的方程 ＋m＝
1与y－m＝3的解相同，则m＝ ；（2）已知关于x，y的二元一次方程组
后，正确的结果是（ C ）
A. 2x－1＝1－（3－x）
B. 2（2x－1）＝1－（3－x）
C. 2（2x－1）＝8－（3－x）
D. 2（2x－1）＝8－3－x
C
（2）解方程：① ＝1＋ ；
[答案] 解：去分母，得2（2x＋1）＝6
＋（1－3x），去括号，得4x＋2＝6＋1－3x，移项，得4x＋3x＝6＋1－2，合并同类项，得7x＝5，系数化为1，得x＝ .
数项为0时，用代入法较方便；当方程组
中同一个未知数的系数的绝对值相等或
成整数倍时，用加减法较方便；利用加
减法解二元一次方程组时，选择方程组
中同一个未知数的系数绝对值较小的未
知数消元，这样会使运算量较小.
3. 列方程解应用题的关键是找出题中蕴
含的等量关系，当题目中没有明确等量
关系时，可以选择题中一个量（如：时
相遇问题
全路程＝甲走的路程＋
乙走的路程
追及问题
路程差＝快走的路程－
慢走的路程
常见的实际
问题
数量关系
行
程
问
题
水流（航
行）问题
v顺＝v静＋v水，v逆＝v静
－v水
常见的实际
问题
数量关系
工
程
问
题
基本量之间的关系
工作效率＝
其他常用量关系
（1）通常把工作总量看
作“1”；（2）甲、乙合
做的工作效率＝甲的效
率＋乙的效率
种笔记本（两种都要购买）作为奖品，
则购买方案有（ B ）
A. 5种
B. 4种
C. 3种
D. 2种
B
（3）“百兴”商场从某加工厂购进A，
B两种商品，A种商品的购价为每件50
元，B种商品的购价为每件60元，购进
B种商品的数量比购进A种商品数量的2
倍多4件，购进A，B两种商品共用
1600元.
①购进A，B两种商品各多少件？②“百兴”商场再次从该加工厂购进A，
答：购进A种商品8件，购进B种商品
20件.
②设B种商品打y折出售，根据题意，得（50＋10）×8＋60× ×20＝
×60×20，
解得y＝8.
答：B种商品打8折出售.
1. 下列等式变形正确的是（ B ）
A. 如果 x＝6，那么x＝3
B. 如果x－3＝y－2，那么x＝y＋1
C. 如果mx＝my，那么x＝y
果仍是等式.若a＝b，则ac＝ ；若a＝b，则 ＝ （c≠0）
同时加上（或减去）同
一个数（或式子）
b±c
同时乘同一个数（或除
以同一个不为0的数）
bc
内容
其
他
性
质
若a＝b，则b＝a（对称性）；若a＝b，b＝c，则a c（传
一般步骤（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程（组）；（4）解方程（组）；（5）检验并写答案.
知识点5 几种常见的实际问题
常见的实际
问题
数量关系
经
济
问
题
商品销售问题
利润＝售价－进价
利润率＝ ×100％
售价＝标价×折扣
售价＝进价×（1＋利润
率）
常见的实际
问题
数量关系
行
程
问
题
基本量之间的关系
路程＝速度×时间
的解满足x－y＝10，
则a的值为 .
11
考点五 一次方程（组）的应用例5 （1）（2024·广州）某新能源车企
今年5月交付新车35060辆，且今年5月交
付新车的数量比去年5月交付的新车数量
的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交
付新车x辆，根据题意，可列方程为
是等式.若a＝b，则a±c＝
性
质
2
等式两边
，所得结
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
（2）若（2x＋y－3）2＋
＝0，则x－y的值是 ；
B
9
（3）解方程组：Ⅰ.
[答案] 解：由①，得y＝3x＋4，③
将③代入②，得x－2（3x＋4）＝－3，
解得x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝3×（－1）＋4
＝1，∴原方程组的解为
B两种商品，购进A，B两种商品的数量
与原来购进A，B两种商品的数量都相
同，此时，该加工厂将A种商品每件加
价10元，B种商品打折出售，且此次购
进A，B两种商品所需总钱数是原来购
进B种商品所需总钱数的 倍，则B种商
品打几折出售？
[答案] 解：①设购进A种商品a件，则购
进B种商品（2a＋4）件，根据题意得50a＋60（2a＋4）＝1600，解得a＝8.∴2a＋4＝20.
（ A ）
A
A. 1.2x＋1100＝35060
B. 1.2x－1100＝35060
C. 1.2（x＋1100）＝35060
D. x－1100＝35060×1.2
（2）（2024·齐齐哈尔）校团委开表现突出的学生，计划拿出200元钱
全部用于购买单价分别为8元和10元的两
A，B两类物质排放量之和不超50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50％，B类物质排放量降低了75％，A，B两类物质排放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
于x的一元一次方程，则k＋2025
＝ ；（4）如果是方程x－3y＝－3的
一组解，那么代数式2025－2a＋6b
＝ .
2025
2031
考点二 一元一次方程的解法例2 （1）把方程 ＝1－ 去分母
D. 如果 x＋2＝y－1，那么x＋2＝3y－
3
B
2. （1）若关于x的方程 －x＝1的解
是正整数，则符合条件的所有整数a的
和为 ；
31
（2）甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方
程①中的m，得到方程组的解为
乙看错了方程②中的n，得
到方程组的解为则该方程组
解：设技术改进后该汽车的A类物质排
放量为xmg/km，则B类物质排放量为（40－
x）mg/km，由题意，得 ＋ ＝92，解得
x＝34.∵34＜35，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排
放量符合“标准”.
间、路程、销售额等），用两种方式表
示“它”，中间用“＝”连接即可.当有多种
思路可以列出不同方程时，所选用的可
用两种方式表示的量需是题目中现成给
出的，或者容易直接表示的量，用最简
便快捷的思路解题.
4. 方程的应用问题题目往往文字多，阅
读量大，需耐心读题，准确把握那些表
示数量关系的词语，比如“多、少、总
一次方程
组的解
二元一次方
程组中各个
方程的
，叫
做这个二元
一次方程组
的解
－
公
共解
知识点3 关于x的方程ax＝b的解的情况（1）当a≠0时，有唯一解x＝ ；（2）当a＝0，b＝0时，解为任意实数；（3）当a＝0，b≠0时，无解.
知识点4 列一次方程（组）解应用题的
程，叫做一元一次方
程
去分母，去
括号，移
项，合并同
类项，系数
化为1
一个
是1
不为0
概念
解法
二
元一
次方
程
含有
，并且所含未知
数的项的次数
的方程，叫做二
名师点津1. 解方程一方面要熟悉解法步骤，另
一方面要注意各个步骤的易错点，比
如：①漏乘（不含分母的项）；②移
项不变号；③分数线的括号功能；④
最后一步系数化为1的时候，颠倒分子
和分母的位置.
2. 解二元一次方程组时要根据方程组的
特点灵活选择方法，当方程组中一个未
知数的系数的绝对值是1或一个方程的常
共、降价、达到、一半、翻一番、打八
折、增长了40％、与去年持平、保持不
变、提高、降低”等表示和差倍分的关键
词语.
考点一 等式的性质与一次方程（组）
的相
关概念
例1 （1）下列等式的变形，正确的是
（ C ）
A. 若m＋n＝2n，则m＝2n
B. 若x＝3，则4x＝9
C. 若a＝b，则a＋2c＝b＋2c
D. 若x＝y，则 ＝
递性）
等式的基本性质是解方程的依据，在使
用时要注意等式性质成立的条件.
＝
知识点2 一次方程（组）的相关概念和
解法
概念
解法
一
元一
次方
程
只含有 未知
数，并且未知数的次
数 ，且系
数 的方
元一次方程
－
两个未知
数
都是
1
概念
解法
二元
一次方程
组
含有两个未
知数的两
个
所组成
的一组方
程，叫做二
元一次方程
组
（1）代入消元
法：将其中一个
方程中的某个未
知数用含有另一
个未知数的代数
式表示出来，并
代入另一个方程
中，从而消去一
个未知数，简称
代入法；
一次方
程
概念
解法
二元
一次方程
组
含有两个未知数的两个
所组成的一组方程，叫做二
元一次方程组
（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（或
减）消去其中一个未知数，简称加减法
一次方
程
概念
解法
二元
[答案] 解：原方程可变形为2x＋15－
＝2，去分母，得3（2x＋15）x＋45－（10x
－1）＝6，去括号，得6x＋45－10x＋1＝6，移项、合并同类项，得－4x＝－40，系数化为1，得x＝10.
考点三 二元一次方程（组）的解法例3 （1）二元一次方程2x＋y＝8的
正整数解有（ B ）
C
（2）（2024·贵州）小红学习了等式的
性质后，在甲、乙两台天平的左右两边
分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所
示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质
量分别为x，y，则下列关系式正确的是
（ C ）
A. x＝y
B. x＝2y
C. x＝4y
D. x＝5y
C
（3）若方程（k＋2） ＋6＝0是关
第一部分 考点梳理
第二章 方程组与不等式组第5课时 一次方程（组）及其应用
知识点1 等式的基本性质
内容
性
质
1
等式两边
，所得结果仍
（2）
解：原方程组可化为
①－②×2，得y＝10，
把y＝10代入②，得2x＋10＝1，
解得x＝－4.5，∴原方程组的解为
4. （2024·北京）为防治污染，保护和改
善生态环境，自2023年7月1日起，我国
全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以
下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”
要求A类物质排放量不超过35mg/km，
正确的解是 .
3. 解方程（组）：（1）x－ ＝1＋ ；
解：去分母，得6x－3（x－2）＝6＋2
（2x－1），去括号，得6x－3x＋6＝6＋4x－2，移项，合并同类项，得－x＝－2，系数化为1，得x＝2.
Ⅱ.
[答案] 解：方程组整理得
①－②，得－2y＝6，解得y＝－3.
将y＝－3代入①，得2x＋9＝9，解得x
＝0，∴原方程组的解为
考点四 含参数的一次方程（组）例4 （1）已知关于y的方程 ＋m＝
1与y－m＝3的解相同，则m＝ ；（2）已知关于x，y的二元一次方程组
后，正确的结果是（ C ）
A. 2x－1＝1－（3－x）
B. 2（2x－1）＝1－（3－x）
C. 2（2x－1）＝8－（3－x）
D. 2（2x－1）＝8－3－x
C
（2）解方程：① ＝1＋ ；
[答案] 解：去分母，得2（2x＋1）＝6
＋（1－3x），去括号，得4x＋2＝6＋1－3x，移项，得4x＋3x＝6＋1－2，合并同类项，得7x＝5，系数化为1，得x＝ .
数项为0时，用代入法较方便；当方程组
中同一个未知数的系数的绝对值相等或
成整数倍时，用加减法较方便；利用加
减法解二元一次方程组时，选择方程组
中同一个未知数的系数绝对值较小的未
知数消元，这样会使运算量较小.
3. 列方程解应用题的关键是找出题中蕴
含的等量关系，当题目中没有明确等量
关系时，可以选择题中一个量（如：时
相遇问题
全路程＝甲走的路程＋
乙走的路程
追及问题
路程差＝快走的路程－
慢走的路程
常见的实际
问题
数量关系
行
程
问
题
水流（航
行）问题
v顺＝v静＋v水，v逆＝v静
－v水
常见的实际
问题
数量关系
工
程
问
题
基本量之间的关系
工作效率＝
其他常用量关系
（1）通常把工作总量看
作“1”；（2）甲、乙合
做的工作效率＝甲的效
率＋乙的效率
种笔记本（两种都要购买）作为奖品，
则购买方案有（ B ）
A. 5种
B. 4种
C. 3种
D. 2种
B
（3）“百兴”商场从某加工厂购进A，
B两种商品，A种商品的购价为每件50
元，B种商品的购价为每件60元，购进
B种商品的数量比购进A种商品数量的2
倍多4件，购进A，B两种商品共用
1600元.
①购进A，B两种商品各多少件？②“百兴”商场再次从该加工厂购进A，
答：购进A种商品8件，购进B种商品
20件.
②设B种商品打y折出售，根据题意，得（50＋10）×8＋60× ×20＝
×60×20，
解得y＝8.
答：B种商品打8折出售.
1. 下列等式变形正确的是（ B ）
A. 如果 x＝6，那么x＝3
B. 如果x－3＝y－2，那么x＝y＋1
C. 如果mx＝my，那么x＝y
果仍是等式.若a＝b，则ac＝ ；若a＝b，则 ＝ （c≠0）
同时加上（或减去）同
一个数（或式子）
b±c
同时乘同一个数（或除
以同一个不为0的数）
bc
内容
其
他
性
质
若a＝b，则b＝a（对称性）；若a＝b，b＝c，则a c（传
一般步骤（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程（组）；（4）解方程（组）；（5）检验并写答案.
知识点5 几种常见的实际问题
常见的实际
问题
数量关系
经
济
问
题
商品销售问题
利润＝售价－进价
利润率＝ ×100％
售价＝标价×折扣
售价＝进价×（1＋利润
率）
常见的实际
问题
数量关系
行
程
问
题
基本量之间的关系
路程＝速度×时间
的解满足x－y＝10，
则a的值为 .
11
考点五 一次方程（组）的应用例5 （1）（2024·广州）某新能源车企
今年5月交付新车35060辆，且今年5月交
付新车的数量比去年5月交付的新车数量
的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交
付新车x辆，根据题意，可列方程为
是等式.若a＝b，则a±c＝
性
质
2
等式两边
，所得结
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
（2）若（2x＋y－3）2＋
＝0，则x－y的值是 ；
B
9
（3）解方程组：Ⅰ.
[答案] 解：由①，得y＝3x＋4，③
将③代入②，得x－2（3x＋4）＝－3，
解得x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝3×（－1）＋4
＝1，∴原方程组的解为
B两种商品，购进A，B两种商品的数量
与原来购进A，B两种商品的数量都相
同，此时，该加工厂将A种商品每件加
价10元，B种商品打折出售，且此次购
进A，B两种商品所需总钱数是原来购
进B种商品所需总钱数的 倍，则B种商
品打几折出售？
[答案] 解：①设购进A种商品a件，则购
进B种商品（2a＋4）件，根据题意得50a＋60（2a＋4）＝1600，解得a＝8.∴2a＋4＝20.
（ A ）
A
A. 1.2x＋1100＝35060
B. 1.2x－1100＝35060
C. 1.2（x＋1100）＝35060
D. x－1100＝35060×1.2
（2）（2024·齐齐哈尔）校团委开表现突出的学生，计划拿出200元钱
全部用于购买单价分别为8元和10元的两
A，B两类物质排放量之和不超50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50％，B类物质排放量降低了75％，A，B两类物质排放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
于x的一元一次方程，则k＋2025
＝ ；（4）如果是方程x－3y＝－3的
一组解，那么代数式2025－2a＋6b
＝ .
2025
2031
考点二 一元一次方程的解法例2 （1）把方程 ＝1－ 去分母
D. 如果 x＋2＝y－1，那么x＋2＝3y－
3
B
2. （1）若关于x的方程 －x＝1的解
是正整数，则符合条件的所有整数a的
和为 ；
31
（2）甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方
程①中的m，得到方程组的解为
乙看错了方程②中的n，得
到方程组的解为则该方程组
解：设技术改进后该汽车的A类物质排
放量为xmg/km，则B类物质排放量为（40－
x）mg/km，由题意，得 ＋ ＝92，解得
x＝34.∵34＜35，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排
放量符合“标准”.
间、路程、销售额等），用两种方式表
示“它”，中间用“＝”连接即可.当有多种
思路可以列出不同方程时，所选用的可
用两种方式表示的量需是题目中现成给
出的，或者容易直接表示的量，用最简
便快捷的思路解题.
4. 方程的应用问题题目往往文字多，阅
读量大，需耐心读题，准确把握那些表
示数量关系的词语，比如“多、少、总
一次方程
组的解
二元一次方
程组中各个
方程的
，叫
做这个二元
一次方程组
的解
－
公
共解
知识点3 关于x的方程ax＝b的解的情况（1）当a≠0时，有唯一解x＝ ；（2）当a＝0，b＝0时，解为任意实数；（3）当a＝0，b≠0时，无解.
知识点4 列一次方程（组）解应用题的
程，叫做一元一次方
程
去分母，去
括号，移
项，合并同
类项，系数
化为1
一个
是1
不为0
概念
解法
二
元一
次方
程
含有
，并且所含未知
数的项的次数
的方程，叫做二
名师点津1. 解方程一方面要熟悉解法步骤，另
一方面要注意各个步骤的易错点，比
如：①漏乘（不含分母的项）；②移
项不变号；③分数线的括号功能；④
最后一步系数化为1的时候，颠倒分子
和分母的位置.
2. 解二元一次方程组时要根据方程组的
特点灵活选择方法，当方程组中一个未
知数的系数的绝对值是1或一个方程的常
共、降价、达到、一半、翻一番、打八
折、增长了40％、与去年持平、保持不
变、提高、降低”等表示和差倍分的关键
词语.
考点一 等式的性质与一次方程（组）
的相
关概念
例1 （1）下列等式的变形，正确的是
（ C ）
A. 若m＋n＝2n，则m＝2n
B. 若x＝3，则4x＝9
C. 若a＝b，则a＋2c＝b＋2c
D. 若x＝y，则 ＝
递性）
等式的基本性质是解方程的依据，在使
用时要注意等式性质成立的条件.
＝
知识点2 一次方程（组）的相关概念和
解法
概念
解法
一
元一
次方
程
只含有 未知
数，并且未知数的次
数 ，且系
数 的方
元一次方程
－
两个未知
数
都是
1
概念
解法
二元
一次方程
组
含有两个未
知数的两
个
所组成
的一组方
程，叫做二
元一次方程
组
（1）代入消元
法：将其中一个
方程中的某个未
知数用含有另一
个未知数的代数
式表示出来，并
代入另一个方程
中，从而消去一
个未知数，简称
代入法；
一次方
程
概念
解法
二元
一次方程
组
含有两个未知数的两个
所组成的一组方程，叫做二
元一次方程组
（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（或
减）消去其中一个未知数，简称加减法
一次方
程
概念
解法
二元