空间几何体教案

第一章课文目录
1.1空间几何体的结构
1. 2 空间几何体的三视图和直观图
1. 3空间几何体的表面积与体积
重难点：
1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

(1)柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公
共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的
底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做
圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什
么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；
(2)锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫
做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围
成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜
边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球; 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系
2.空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：
（1） 正视图：物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度； （2） 侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度； （3） 俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度；
三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
3. 空间几何体的直观图
（1）斜二测画法
① 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX OY 建立直角坐
标系；
② 画出斜坐标系， 在画直观图的纸上 （平面上）画出对应的OX,O 'Y ,使N X 'O Y '=450 （或135°）,它们确定的平面表示水平平面；
③ 画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X’轴，且长度 保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 丫车由，且长度变为原来 的一半；
④ 擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置， 因为多边形顶点
的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，
因此平面多边形水平放置时， 直观
图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

强调斜二测画法的步骤。

例题讲解：
［例1］将正三棱柱截去三个角（如图1所示A, B , C 分别是△ GHI 三边的中点） 得到几何体如图2,
［例2］在正方体ABCDABCD 中，E, F 分别为棱AA , CG 的中点，则在空间中与 三条直线AD, EF, CD 都相交的直线（ ）
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
（或称左视图）为（）
则该几何体按图2所示方向的侧视图 图
E
E
［例3］正方体tiL'/ k k k U 匚的棱长为 ，点是；的中点，点上是平面注也内的一个动
点，且满足匸上,［到直线匸丿的距离为.5，则点上的轨迹 是（ ） 江圆
…双曲线
显两个点
让直线
解析：点1到上/的距离为.5，则点1到L 的距离为 ，满足此条件的上的轨迹是到直 线匕的距离为 的两条平行直线，
又T PM =2，.满足此条件的上的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，这两种轨迹只有
两个交点卜、
故点1的轨迹是两个点。

选项为 LL
点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

［例4］两相同的正四棱锥组成如图
所示的几何体，可放棱长为 的正方体内，使正四棱
锥的底面圧该与正方体的某一个平面平行，且各顶点 均在正方体的面上，则这样的几何体
体积的可能值有（）
M _个
匕 个 □•个 丿•无穷多个
解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 1±匚匕中
心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半， 影响几何体体积的只能是正四棱锥底面
正方形匸匸匚匕的面积，问题转化为边长为
的正方形的内接正方形有多少种，所以选 丿。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。

正方体是大家熟悉的几何体， 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

题型：空间几何体的定义
［例5］长方体ABCD -A i B iG D i 的 个顶点在同一个球面上，且 上比，上比、3 ,
BD JI AC 1 =0,则 0A =0B = R F 2,
3T
■ 31
=AOB , I 二 R = 2 —,故
2 2
点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

［例6］已知直线二江和平面〉，：满足m _ n, m _ a, _ :；则
A n_1 B.n// -,或n 一： C.n _ ： D.n //：,或 n :
解析：易知D 正确.
AA =1，则顶点匕上间的球面距离是
E
字E 琴U 妹-尽
解析：：R = .2,设
点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型：空间几何体中的想象能力
［例7］如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面ABCD 是边长为 的菱形，.BCD =60°，
堤二的中点，比..底面注也，PA =、..3。

（）证明：平面 辽匚.平面辽上； （）求二面角ii-i-iik 和的大小。

解析：解法一（）如图所示上连结BD,由ABCD 是菱形且.BCD =60°知，
△ BCD 是等边三角形辻因为b 是二的中点，所以
BE 丄 CD,又 AB//CD,所以 BE 丄 AB,
又因为比.平面注也,BE ：_平面i-i-'U -'-
所以PA 丄BE,而PA 「| AB = A,因此BE 丄平面辽比 又BE 二平面江匚 所以平面江上.平面江注
（ ）由（）知，BE 丄平面辻•比 PB 平面辻•比所以PB _ BE. 又AB 丄BE,所以.PBA 是二面角A-BE-P 的平面角. 在 Rt △ PAB 中上 tan PBA 二砂=3, PBA = 60..
AB
故二面角A - BE - P 的大小为60.
解法二：如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系•则相关各点的坐标分别是
A （0,0,0）,
B （1,0,0）,
C （¥
,0）, D （£ ,0）, P （0,0, 3）, E
（1,£ ,0）.
2 2 2 2 2
,0）,平面辻汇的一个法向量是 山=（01,0）,所以BE 和n 0共线上
从而BE 丄平面辽比 又因为BE :-平面辻匚所以平面 过上…平面i-i-ii-
（）易知PB 二（1,0, -J3）, BE =（0，乜,0）,设m =（洛，力，乙）是平面沁的一个法向量上
2
()因为 BE =(0,
故二面角 A - BE - P 的大小为60.
点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

［例 8］如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC 二BC=2 , . ACB=90： , AP 二 BP 二 AB ,
在厶 BCE 中， BCE -90 , BC =2 , BE 3 AB
2
则由2
n
1
_n 卜十0汇％ —用乙=0,
—t
侍 g
所以 ％=0,石=丁3^.
0 x 1
y 1 0 乙=0
2
BE =0
故可取n 1
3,0,1).而平面i 让的一个法向量是n 2二(0,0,1).
PC _ AC .
(I)求证：PC _ AB ;
(n)求二面角 B - AP -C 的大小. 解析：
解法一：
(I)取AB 中点D ，连结PD , CD .
AP 二 BP , PD _ AB . ,AC = BC , .CD _ AB .
TPD 「CD =D , AB _ 平面 PCD . :PC 平面 PCD , PC _ AB .
(n) ： AC=BC , AP=BP , △ APCBPC . 又 PC _ AC , PC _ BC .
又 ACB =90%，即 AC _ BC ，且 ACR PC =C ，
.BC _ 平面 PAC .
取AP 中点E •连结BE , CE .
T AB 二 BP , BE _ AP .
:EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE _ AP .
BEC 是二面角B-AP-C 的平面角.
于是匸cos ：： R|,
n =
2
E
E
E
.sin . BEC =丄
BE 3
面角B-AP-C 的大小为arcs in 弓. 解法二：
(I) ： AC=BC , AP=BP ,
△ APCBPC .
又 PC _ AC ,
PC _ BC .
T AC D BC 二 C , PC _ 平面 ABC . :AB 平面 ABC ,
PC _ AB .
(n)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系 C -xyz .
则 C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0).
设 P(0,0, t).
取AP 中点E ，连结BE , CE •
面角B”C 的大小为arccos 三
3
点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。

通过识图、 空间想象能力。

而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志， 间想象能力的主要方向。

［例9］画正五棱柱的直观图，使底面边长为
—■-1- ■'侧棱长为江丄二。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于
L ■轴方向平移即可得。

作法：
；AC|=PC ,
AB =
CE _ AP , BE _ AP •
.■ BEC 是二面角B-AP-C 的平面角.
?E(011) , EC =(0,-1,-1) , EB =(2,-1,-1), cos BEC =
想图、画图的角度考查了 是高考从深层上考查空
(_)画轴：画匸，卩，E*轴，使(或一E), E^^EEEE
()画底面：按卜L一轴，卜L_轴画正五边形的直观图ktL'/ k
)画侧棱：过I、［、二、八上各点分别作卜L_轴的平行线，并在这些平行线上分别截取上上，上上，UU ，…，比
()成图：顺次连结辻，上，口，/ ，辻，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡
的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

［例10］ ABC •是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 A B C •的面积为3，那么i±i-U的面积为Liiiiiiiiiiiiik
解析：2.6。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。

特别底和高的对应关系。

［例11］如图，在棱长为一的正方体ABCD-A"B"C"D "中，^理恺！(E&J)，截面• u AD，截面L.kk AD
()证明：平面匸di：和平面k.kk互相垂直；
(•)证明：截面二止二和截面二止二面积之和是定值，
并求出这个值；
(.)若D E与平面上止匸所成的角为45^，求D E与平
面k-LL所成角的正弦值.
本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与
逻辑思维能力。

解析：解法一：
(I)证明：在正方体中，AD1AD , AD'_AB，又由已知可得
PF // AD , PH // AD , PQ // AB ,
所以PH _ PF , PH _ PQ ,
所以PH —平面PQEF .
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.
(')证明：由()知
PF 2AP, P^ .2PA，又截面•注和截面•注都是矩形，且「匸，所以截面•注和截面k.kk面积之和是
(、.2AP 、、2PA)PQ—2，是定值.
I'I'I')解：连结匸口交r•于点..
因为PH // AD , PQ // AB ,
所以平面 ABCD ■和平面 •注互相平行，因此 D E 与平面 •注所成角与 D E 与平面 ABCD •所成角相等.
与(I)同理可证二二平面k Ek ，可知t 上平面ABC D ，因此二与D E 的比值就是所求的 正弦值. 设AD •交比于点•「，连结匕」，由FD"-b 知
因为ADL 平面•比，又已知DE 与平面成45 角,
所以 D E =、2ND •，即,2 —
- 2 2 1 “
解得 b 二㊁，可知上为.…中点.
所以艷汙，又 DE 「(1—b )2 2
故DE 与平面匸，Uk 所成角的正弦值为 EM
D E 解法二：
以,为原点，射线 Q ,，□,「二-分别为i_, i ■轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 辽上由已知得DF =1 -b , 故
A(1,0,0) , A (1,0,1) , D(0,0,0) , D (0,0,1), P(1,0, b) , Q(1,1, b), E(1-b ,0),
F(1-b,0,0) , G(b ,1) , H(b,0,1).
(I)证明：在所建立的坐标系中，可得
PQ =(0,,0),PF =(七,0,-b),
PH =(b _1,0,1 _b), AD =(-1,0,),A"D =(-1,0, -1). 因为A DI PQ
= 0,A D_P F =0,所以鼠是平面•注的法向量. 因为ADpQ’ =0,AD_pH 0 ,所以A D 是平面
的法向量. AD L AD
=0，所以 AD — AD , 因为
所以平面上止匸和平面上止匸互相垂直.
D E -(匚b)2—2,
ND 二-2 2(1 _b)
2 2 “(1 —b 「= J (1 —b)2 +2 ,
2 DE D
2 |DE|ADj 6
n E V
，所以k.kL (□)证明：因为 E ^=(O ，—i,o )，所以E F 〃P Q ，F =忌，又P F 丄P Q
为矩形，同理■注为矩形. 所以截面二上二和截面二上二面积之和为 2，是定值.
(川)解：由已知得 DE 与AD 成45：角，又 DE=(1-b,，,_ 1),，DJ(-1,0,1)可得
在所建立的坐标系中可求得
FH 2(1-b) , 'PF 2b , 所以
=罷，又 花,
b -2 N(1-b)2 2
2 —b 1
即 =2 b =1，解得b =丄.
(1-b)2 2 2
所以DE 二1,1,-1 ，又 AD=(-1,0,-1)，所以DE 与平面k.kk 所成角的正弦值为 辽 丿
对空间想象能力、分析问题的能力、
操作能力和思维的灵活 |cos ：：DE,AD H -1 1
2 3 .2
2 点评：考查知识立足课本， 性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

［例12］多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点
A 在平 面「内，其余顶点在:的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到:的距离分别为1, 2 和4, P 是正方体的
其余四个顶点中的一个， 则P 到平面：•的距离可能是： ①； ②； ③1； ④一； ⑤--
以上结论正确的为 ______________________________ (写出所有正确结论的编号)
解析：如图，B D 、A 到平面〉的距离分别为1、
2、4，贝U D 、A 1的中点到平面:-的距离为3,所以D 到平面〉的距离为6; B 、A 1的中点
到平面:-的距离为 5
，所以B 1到平面〉的距离为5;贝9 D B 的中点到 2 3
/
平面〉的距离为2 ,所以C 到平面〉的距离为3; C 2
A 的中点到平面a 的距离为7 ,所以C 到平面a 的距 2
离为7;而P 为C 、G 、B1、D 中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

［例13］ (1)画出下列几何体的三视图
点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚， 选择一个合适的主视方向。

一般先画 主视图，其次画俯视图， 最后画左视图。

画的时候把轮廓线要画出来， 被遮住的轮廓线要画 成虚线。

物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

［例14］某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
解析：该几何体为一个正四棱锥分析： 三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三 个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。

而 俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。

左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。

据 此就不难得出该几何体的形状。

解析：这二个几何体的三视图如下
正前方
主祀图。