复数的代数形式的运算优秀课件

D
练 习
（1）已知 z
1
3 2i , z 2 1 4i
求 z1 z 2 , z1 z 2 , z1 z 2 ,
z1
z2
（2）已知 z 1 i , z 2 i 1 2 求
z1 z2
, z1
4
, ( z1 z 2 )
2
（3） (1 i ) 2i ;
1 2
1)
2
3 4
3
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数 形式 a＋bi（a，b∈R） ，而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里， 方程的思想方法得到了充分运用. 另外,本题还可用几何知识来分析.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
mzn=zm+n, z
m)n=zmn, (z
(z1z2)n=z1nz2n.
5.设 z 为复数,且 | z | | z 1 | 1， 求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi ( a， b R ) z 1 ( a 1) bi， 且 | z | | z 1 | 1
z
2
是纯虚数，则有（）
例 2. z 1 x 2 i , z 2 3 yi ( x , y R ) 且 z1
z
2
5 6i, 求 z 1
z
2
变 式 ： 已 知 x R , y为 纯 虚 数 ， 且 ( 2 x 1) i y (3 y ) i 则 x ___, y ___
(2)
下列命题中的真命题为： ( A ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。 ( B ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。 ( C ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。 ( D ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。
（ 2）a bi ) a 2 abi b i (
2
2
2 2
a 2 abi b 2 2 a b 2 abi
2
2 2
2
( a bi ) ( a b ) 2 abi
2
（ 3） 2 i )(3 4 i )( 2 i ) (1
(1 1 2 i )( 2 i ) 2 0 1 5i
2
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
例2：计算 1）a bi )( a bi ) （ (
a abi abi b i 2 2 a b
2
2 2
思考：在复数集C内，你能将 x y
a2 b2 1 2 2 ( a 1) b 1
1 a b 1 a 2 解方程组,得 2 2 a b 2a 0 b2 3 4
2 2
2 2
| z 1 | | ( a 1) bi | ( a 1) b (
解: (1 2 i ) ( 3 4 i )
38 6i 4i 3 4
2 2
1 2i 3 4i

(1 2 i )( 3 4 i ) ( 3 4 i )( 3 4 i )
1 5 2Βιβλιοθήκη 5 i 5 10 i 25

先写成分式形式
然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘 以分母的共轭复数)
Z1(a,b)
o
x
新课讲解
1.复数加法运算的几何意义?
Z1+ Z2=OZ1 +OZ2 =
OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
2.复数减法运算的几何意义? 复数z2－z1
符合向量减 法的三角形 法则.
向量Z1Z2
Z2(c,d)
y
Z1(a,b)


a bi c di
( ac bd ) ( bc ad ) i c d
2 2
( a bi )( c di ) ( c di )( c di )
ac bd c d
2 2


bc ad c d
2 2
i ( c di 0).
分母实数化
例3.计算 (1 2 i ) ( 3 4 i )
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z 2 z 2 z1 ,
( z 1 z 2 ) z 3 z 1 ( z 2 z 3 ),
z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3 .
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= ( 6 4 i 3 i 2 i )( 1 3 i ) = ( 8 i )( 1 3 i ) 2 = 8 24i i 3i = 5 25 i
练习: 1.计算 ( 2 3 i )( 2 3 i ) = 2.已知 ( 3 i ) z 10 ,则 z
13
3-i
3.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即
( a bi ) ( c di )
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算类似地复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算
3.2 复数代数形式的四则运算
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与
__
2
0.
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也 有类似于上面的三个等式. ③ (1 i ) 2 i ;
2
__
1 i
i;
1 i 1 i
i;
1 i 1 i
i.
拓
展
求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i
2
1 i
i;
1 i 1 i

i;
1 i 1 i

i.
(6)一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.） ②设
1 2 3 2
__
i,则有:
3
1;
2
;1
2
2
分解因式吗？
2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数.
复数z=a+bi的共轭复数记作 z , 记 z a b i
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
z z 2a z z 2bi zz a b
2 2
另外不难证明: z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
o
x
例1.计算 ( 5 6 i ) ( 2 i ) ( 3 4 i )
解: ( 5 6 i ) ( 2 i ) ( 3 4 i )
(5 2 3) ( 6 1 4 ) i 11 i
练习： 1 . (2 + 3 i)+ (-3 + 7 i)= 2 . (3 -2 i)-(2 + i)-( )= 1 + 6 i 3. 已 知 z 1 a bi, z 2 c di, 若 z 1 A .a c 0 且 b d 0 B .a c 0 且 b d 0 C .a c 0 且 b d 0 D .a c 0 且 b d 0
化简成代数形式就得结果.
练习.计算 ⑴ (7 i ) (3 4 i ) ⑵(
1 i 1 i )
2
⑶
1 3 2i

1 3 2i
1-i
-1
4 13
i
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等.
下列命题中正确的是 (1) 如 果 Z 1 Z 2 是 实 数 ， 则 Z 1、 Z 2 互 为 共 轭 复 数 ( 2 )纯 虚 数 Z 的 共 轭 复 数 是 Z 。 (3) 两 个 纯 虚 数 的 差 还 是 纯 虚 数 ( 4 )两 个 虚 数 的 差 还 是 虚 数 。
实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
1.复数的乘法法则：
( a bi )( c di ) ac adi bci bdi
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
2
（ ac bd ) ( bc ad ) i
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律