2019-2020学年福建省厦门市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省厦门市第一中学高一上学期期中数学
试题
一、单选题
1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{|14,}A x x x =∈N 剟
，{}
|6233,x B x x =<<∈N ，则()
U A B =ð（ ） A ．{}0,5,6 B ．{}0,5
C ．{}1
D ．{}5
【答案】D
【解析】先求括号中U A ð，再求()
U A B ⋂ð即可 【详解】
因为{}1,2,3,4A =，{}3,4,5B =，所以{}0,5,6U A =ð，()
{}5U A B ⋂=ð. 答案选D 【点睛】
本题考察集合交并补的基本运算，求解补集时，看清原集与补集的关系是正确解题的前提
2．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．()1
f x x
= B ．()lg f x x = C ．()x
x
f x e e -=- D ．()f x x =
【答案】D
【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】
对于A ，()1
f x x
-=-
=- ()f x ，所以为奇函数，不满足题意； 对于B ，()lg f x x =的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；
对于C ，()()
x
x
f x e e f x --=-=-，为奇函数，不满足题意； 对于D ，()()f x x f x -==，为偶函数，满足题意. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．
3．设函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x
⎧+≤⎪
⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )
A ．
15
B ．3
C ．
23
D ．
139
【答案】D 【解析】【详解】
()2
31,33f >∴=
, 22213
((3))()()1339f f f ==+=,故选D.
4．函数3()lg 18=+-f x x x 的零点所在的区间为（ ）
A ．()01，
B ．()12，
C ．()23，
D ．()34，
【答案】C
【解析】根据零点存在性定理，验证函数()f x 在区间端点处的函数值符号即可. 【详解】
因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，3
(2)2lg 218lg 2100=+-=-<f ，
3(3)3lg3189lg30=+-=+>f ，所以函数()f x 的零点所在的区间为()2,3.
【点睛】
函数零点个数的3种判断方法
(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多
少个零点．
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 5．设0.4
6
a =， 0.4log 0.5
b =， 5log 0.4
c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b c a << 【答案】B 【
解
析
】
由
于
0.400.40.455661,0log 0.5log 0.41,log 0.4log 10a b c =>=<=<==<=，所以三数
,,a b c 的大小关系是a b c >>，应选答案B 。

6．若43==m n k ，且21
1n m
+=，则k =（ ） A ．18 B ．26
C ．36
D ．42
【答案】C
【解析】利用指数与对数的转换,将,m n 表示成对数形式再求解即可. 【详解】
由43==m n k 有43log ,log m k n k ==,故
211n m
+= 有
()24311log 42log 31log 34136log o 2
l g k k k k k k
+=⇒+=⇒⨯=⇒= 故选C 【点睛】
本题主要考查指对数的转换与对数的运算方法等,属于基础题型.
7．已知幂函数()a
f x x =的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则函数()()()21g x x f x =-在区间
1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是（ ） A ．1- B ．0 C ．2- D ．
3
2
【答案】B 【解析】由题设1
313
a
a =
⇒=-，故()()1
121
2g x x x x -=-=-
在
1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则当12x =
时取最小值12202g ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，应选答案B 。

点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性.研究函数单调性的一般方法： （1）直接利用基本初等函数的单调性； （2）利用定义判断函数单调性； （3）求导得函数单调性.
8．若函数是奇函数，当0x <时，()f x 的解析式是()()1f x x x =-，则当0x >时，
()f x 的解析式是（ ）．
A ．()()1f x x x =--
B ．()()1f x x x =-
C ．()()1f x x x =-+
D ．()()1f x x x =+
【答案】D
【解析】根据奇函数性质将自变量转化到已知区间，再代入解析式得结果. 【详解】
当0x >时，0x -<，
∴()()()11f x x x x x ⎡⎤-=-⋅--=-+⎣⎦． 又函数()f x 为奇函数， ∴()()1f x x x -=-+， ∴()()1f x x x =+．
即所求解析式为()()1f x x x =+． 故选D 【点睛】
已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 9．已知函数()()2log 1f x x =+，若()()f m f n =，m n ≠，则
11
m n
+等于（ ）. A ．1 B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】B
【解析】由题,若()()f m f n =则()()22log 1log 1m n =++,又,再求得,m n 的关系代入求解
11
m n
+即可. 【详解】
由题()()22log 1log 1m n =++,又()()2log 1f x x =+为增函数, 故()()()()222log 1log 1l 0og 11m n m n +++⇒+=-=, 故()()10101111mn m n m n n m =⇒++=⇒+++=+,故11
1m n
+=-. 故选B 【点睛】
本题主要考查对数的基本运算,属于基础题型.
10．函数(f x -的定义域为[]3,27，则函数()f x 的定义域为（ ） A ．[]2,7- B ．[]1,7-
C ．[]2,1--
D ．[]3,27
【答案】A
【解析】根据[]3,27x ∈再计算出x -,即可求得()f x 的定义域. 【详解】
由题[]3,27x ∈,设t x =-因为[]3,27x ∈,[]1,5
则)
2
2
22222t x =--=
-=
-.
2=时t 有最小值-2,5=时t 有最大值2
(52)27--=
故[]2,7t x =--,即函数()f x 的定义域为[]2,7-. 故选A 【点睛】
本题主要考查复合函数的定义域问题,主要注意()f x 的定义域是x -的值域即可.
二、多选题
11．已知函数()()
2
lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A ．当0a =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞U
B ．()f x 一定有最小值；
C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；
D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4|a a ≥- 【答案】AC
【解析】对A ,代入0a =解210x ax a +-->即可. 对B ,分析21x ax a +--的范围再判断
对C , 代入0a =分析2
1y x ax a =+--的值域是否包含()0,∞+即可
对D ,分析二次函数2
1y x ax a =+--的对称轴与[)2,+∞的位置关系与()f x 定义域
即可. 【详解】
对A ,当0a =时,解210x ->有()(),11,x ∈-∞-+∞,故A 正确
对B ,当0a =时,()()
2
lg 1f x x =-,此时()
(),11,x ∈-∞-+∞,()210,x -∈+∞,
此时()()
2
lg 1f x x =-值域为R ,故B 错误.
对C ,同B ,故C 正确.
对D , 若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增,此时2
1y x ax a =+--对称轴22
a
x =-
≤. 解得4a ≥-.但当4a =-时()()
2
lg 43f x x x =-+在2x =处无定义,故D 错误.
故选AC 【点睛】
本题主要考查了对数函数含参的定义域问题以及单调性问题,需要同时注意二次函数的单调性与对数函数的定义域,属于中等题型.
12．已知函数()2
1,0
log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当k 0<时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当k 0<时，有1个零点
【答案】CD
【解析】分别画出当0k >与k 0<时()21,0
log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图像,再分析
()10f f x +=⎡⎤⎣⎦,
即()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的根的情况即可. 【详解】
当0k >时, ()2
1,0
log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩的图像为
此时()10f f x +=⎡⎤⎣⎦即()1f f x =-⎡⎤⎣⎦有()()()121
,0,2
f x f x ∈-∞=两种情况. 又()()1,0f x =-∞有两根, ()21
2
f x =也有两根,故()10f f x +=⎡⎤⎣⎦有4个零点. 当k 0<时,()2
1,0
log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩的图像为
此时()10f f x +=⎡⎤⎣⎦即()1f f x =-⎡⎤⎣⎦只有()12f x =一种情况,此时()1
2
f x =仅有一个零点.
故当0k >时,有4个零点.当k 0<时,有1个零点 故选CD 【点睛】
本题主要考查函数的图像与零点的分布问题,需要画出图像进行两次分析即可.属于中等题型.
三、填空题
13．已知()2
244f x x x =+，则()f x =________
【答案】22x x +
【解析】令2t x =,再求得()f t 的表达式即可. 【详解】
令2t x =有2t x =,则()2
244222t t f t t t ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭
,故()22f x x x =+. 故答案为22x x + 【点睛】
本题主要考查复合函数的解析式问题,主要方法是换元再反解代入求解即可.属于简单题型.
14．计算
3
112
log 4
43
lg 59-⎛⎫+- ⎪⎝⎭_______
【答案】7
4
【解析】根据指数与对数的运算法则求解即可. 【详解】
3
1112
2
log 4
491
31
3
lg 5lg 5lg 51lg 294424
-
⎛⎫⎛⎫+-=+-+
=
+-+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
74
=
故答案为
74
【点睛】
本题主要考查了对数与指数幂的运算，熟知对数运算法则及恒等式是关键，属于基础题型.
15．函数()2f x x x =-的单调减区间为______． 【答案】[]
1,2
【解析】根据所给函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间． 【详解】
当x ＞2时，f （x ）＝x 2
﹣2x ， 当x ≤2时，f （x ）＝﹣x 2
+2x ，
故函数f （x ）2222
22x x x x x x ⎧-=⎨-+≤⎩
，＞，．
f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴为：x ＝1，开口向上，x ＞2时是增函数；
f （x ）＝﹣x 2+2x ，开口向下，对称轴为x ＝1， 则x ＜1时函数是增函数，1＜x ＜2时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]． 【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，再通过函数的性质或者图象得到结果．
16．已知f （x ）=9x
-t •3x
，()21
21
x x g x -=+，若存在实数a ，b 同时满足g （a ）+g （b ）=0
和f （a ）+f （b ）=0，则实数t 的取值范围是______．
【答案】[)1
+∞， 【解析】∵()211221
=()211221
x x x x x
x g x g x ------==-=-+++， ∴函数()g x 为奇函数， 又()()0g a g b +=， ∴=-a b ．
∴()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解， 即93930a a a a t t ---⋅+-⋅=有解，
即9933
a a
a a
t --+=+有解． 令33(2)a
a
m m -=+≥，则29922
33a a a a m m m m
--+-==-
+， ∵2
()m m m
ϕ=-
在[2,)+∞上单调递增， ∴()(2)1m ϕϕ≥=．
∴1t ≥．故实数t 的取值范围是[1,)+∞． 点睛：
（1）解题时要正确理解题意，其中得到=-a b 是解题的关键．然后将问题转化为方程
()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解的问题处理．
（2）解决能成立问题的常用方法是分离参数，分离参数后可将问题转化为求具体函数
值域的问题．解题时注意以下结论的利用：“()a f x =能成立”等价于a 的范围即为函数()f x 的值域，“()a f x >能成立”等价于“min ()a f x >”．
四、解答题
17．已知 2,[2,4]x y x =∈的值域为集合A ，2
2log [(3)2(1)]y x m x m =-++-+定义
域为集合B ，其中1m ≠． （1）当4m =，求A
B ；
（2）设全集为R ，若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[4,5)；（2）()(),11,3-∞⋃
【解析】（1）欲求A B ⋂，先求A,B ，再求他们交集即可
（2）由条件R A C B ⊆，先求R C B ，对m 进行分类讨论，1m 1m ><和，结合端点的不等关系，可得出m 的取值范围 【详解】
（1）[]
()4,16,2,5,A B A B ==∴⋂=[)4,5
()21,{|21}R m C B x x x m >=≤≥+若则或
14,13m m ∴+≤∴<≤
1,{|12}R m C B x x m x <=≤+≥若则或，此时R A C B ⊆成立.
综上所述，实数m 的取值范围为()(),11,3-∞⋃. 【点睛】
本题主要考察对数函数的定义域，指数函数的值域，集合的包含关系的判断及应用，相对较综合，值得一提的是分类讨论思想，遇到不确定的情况我们要进行分类讨论，注意分类的标准，然后再分类下每一类下求交集，再将所有分类的结果求并集 18．已知函数1
()f x x x
=-
． （1）讨论并证明函数()f x 在区间(0,)+∞的单调性；
（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,见解析(2) 1m <-
【解析】试题分析：()1利用单调性的定义，根据步骤，取值，作差，变形，定号下结
论，即可得到结论；
()2原不等式等价于120m
mx mx x
-
-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，整理得2120mx m m --
<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，分析易知，0m <且120m m m
--<，解得1m <-
解析：（1）函数()f x 在()0,+∞上单调递增． 证明：任取210x x >>，则
()()()21212121121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
因为210x x >>，所以210x x ->，12
1
10x x +
>，所以()()210f x f x ->， 所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增． （2）原不等式等价于120m
mx mx x
--<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立， 整理得2
1
20mx m m
--
<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立， 若0m >，则左边对应的函数开口向上，当[
)1,x ∈+∞时，必有大于0的函数值； 所以0m <且1
20m m m
--<， 所以1m <-．
19．已知函数()()()201912019
log 3log 3f x x x =+--.
（1）判断()f x 的奇偶性并加以证明； （2）判断()f x 的单调性（不需要证明）； （3）解关于m 的不等式()()10f m f m -+<.
【答案】(1) ()f x 是偶函数；(2) ()f x 在()3,0-上单调递增,在()0,3上单调递减； (3) 1(3,)2
m ∈--
【解析】(1)先求定义域,再计算()f x -判断与()f x 的关系即可. (2)化简()()()220191
20192019
log 3log
3log (9)f x x x x ==+---,再计算即可.
(3)利用()f x 的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】
(1) ()f x 定义域30
3330
x x x +>⎧⇒-<<⎨
->⎩,
且()()()22019120192019
log 3log 3log (9)f x x x x ==+---,
故()()()22
20192019log 9log (9)f x x x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦
,故()f x 为偶函数.
(2)由题()2
2019log (9)f x x =-,33x -<<,且2019log x 为增函数.故
()22019log (9)f x x =-与29,(3,3)y x x =-∈-单调区间相同.故()f x 在()3,0-上单
调递增,在()0,3上单调递减.
(3)由()2
2019log (9)f x x =-为偶函数,且()f x 在()3,0-上单调递增,在()0,3上单调
递减.故()()()()101f m f m f m f m -+<⇒<+.此时
333131m m m m ⎧-<<⎪-<+<⎨⎪>+⎩
⇒22
32(1)m m m -<<⎧⎨>+⎩32
12m m -<<⎧⎪
⇒⎨<-⎪⎩,即1(3,)2m ∈-- 【点睛】
本题主要考查了对数函数类的函数奇偶性与单调性,同时也考查了利用奇偶性单调性的方法求解不等式的问题.属于中等题型.
20．已知二次函数()2
23f x mx x =--，关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为
[]1,n -．
（1）当0a ≥时，解关于x 的不等式： ()2
112ax n m x ax ++>++；
（2）是否存在实数()0,1a ∈，使得关于x 的函数()
13x x y f a a +=-（[]
1,2x ∈）的最
小值为9
2
-
？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 答案见解析；(2)存在满足条件的1
2
a =．
【解析】试题分析：
(1)由题意结合二次函数的性质分类讨论可得： 当0a =时，原不等式解集为{}|2x x <；
当01a <≤时，原不等式的解集为22x x x a ⎧⎫
<⎨⎬⎩⎭或；
当1a >时，原不等式的解集为22x x x a ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭或．
(2)假设存在满足条件的实数a ，结合（1）的结论，换元令()2x a t a t a =≤≤，则()2323y t a t =-+-， ()2a t a ≤≤，结合二次函数的性质讨论可得在满足条件的12
a =
． 试题解析：
（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]
1,n -知， 关于x 的方程2230mx x --=的两根为-1和n ，且0m >，
由根与系数关系，得()21{
31n m n m
-+=
-⨯=-
， ∴1{
3
m n ==，
所以原不等式化为()()220x ax -->，
①当0a =时，原不等式转化为20x -<，解得2x <； ②当01a <<时，原不等式化为()220x x a ⎛⎫--
> ⎪⎝⎭，且22a <，解得2
x a
>或2x <； ③当1a =时，原不等式化为()2
20x ->，解得x R ∈且2x ≠； ④当1a >时，原不等式化为()220x x a ⎛
⎫--> ⎪⎝⎭，且22a
>， 解得2
x a
<
或2x >； 综上所述：当0a =时，原不等式解集为{}|2x x <； 当01a <≤时，原不等式的解集为22x x
x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭
或； 当1a >时，原不等式的解集为22x x x a ⎧⎫
<⎨⎬⎩
⎭
或． （2）假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得： ()2
1,23m f x x x ==--，
()()123323x x x x y f a a a a a +=-=-+-，
令(
)
2x a t a t a =≤≤，则()2
323y t a t =-+-， ()
2a t a ≤≤，
对称轴32
2
a t +=
，
因为()0,1a ∈，所以21a a <<， 325
122
a +<
<， 所以函数()2
323y t a t =-+-在2
,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减，
所以当t a =时， y 的最小值为29
2232
y a a =---=-
， 解得32a =-
（舍去），或12
a =， 故存在满足条件的1
2
a =．
21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲覆盖面积为236m ，凤眼莲覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型
()0,1x y ka k a =>>与()1
20y px q p =+>可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； （2）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份. （参考数据lg 20.3010≈，lg30.4771≈）
【答案】(1) 模型()12
0y px q p =+>更适合,解析式为*323,()32x
y x N ⎛⎫
=⋅∈ ⎪⎝⎭
(2)最小为6月份
【解析】(1)由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快判断即可. (2)利用在元旦时,0x =,32
3
y =,再列出表达式求解不等式即可. 【详解】 (1)两个函数()0,1x
y ka
k a =>>,()12
0y px
q p =+>在(0,)+∞上都是增函数,随着
x 的增加,函数()0,1x y ka k a =>>的值增加的越来越快,而函数()
1
20y px q p =+>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型
()1
2
0y px q p =+>适合要求.
由题意可知,2x =时,24y =;3x =时,36y =,所以2
3
2436ka ka ⎧=⎨=⎩,解得3233
2k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以该函数模型的解析式是*323,()32x
y x N ⎛⎫
=⋅∈ ⎪⎝⎭
(2) 0x =时,323y =
,所以元旦放入凤眼莲面积是2
323
m , 由3233210,323x ⎛⎫⋅>⋅ ⎪⎝⎭得310,2x
⎛⎫> ⎪⎝⎭所以32lg101log 103lg3lg 2lg 2
x >==-, 因为
11
5.7lg3lg 20.47710.3010
≈≈--,所以6x ≥, 所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份． 【点睛】
本题主要考查了函数模型的运用,同时也考查了指数不等式的求解等,属于中等题型.
22．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；
（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，函数()f x 在区间[]
,1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫
∈-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
．
（2）(]{}1,23,4．
（3）2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
． 【解析】【详解】试题分析：（1）当5a =时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件
得到11f t f t -+≤（
）（），恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由21log 50x ＞⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，得151x +＞，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．
（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0得log 2（1
x
+a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0． 即log 2（1
x
+a ）＝log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]， 即
1
x
+a ＝（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，① 则（a ﹣4）x 2
+（a ﹣5）x ﹣1＝0，
即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]＝0，②，
当a ＝4时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立 当a ＝3时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝﹣1或x 1
4
a =-， 若x ＝﹣1是方程①的解，则
1
x
+a ＝a ﹣1＞0，即a ＞1， 若x 14a =-是方程①的解，则1
x
+a ＝2a ﹣4＞0，即a ＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．
综上，若方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a ＝3或a ＝4． （3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减， 由题意得f （t ）﹣f （t +1）≤1， 即log 2（1t +a ）﹣log 2（
1
1
t ++a ）≤1， 即1t +a ≤2（11
t ++a ），即a
()12111t t t t t -≥-=++ 设1﹣t ＝r ，则0≤r 12
≤
， ()()()2111232t r r
t t r r r r -==+---+，
当r ＝0时，232
r
r r =-+0，
当0＜r 12
≤时，21
2323r r r r r
=
-++-， ∵y ＝r 2
r +在（0
）上递减，
∴r 219422r +≥+=，
∴2112
29323332
r r r r r =≤=
-++--，
∴实数a 的取值范围是a 2
3
≥．
【一题多解】
（3）还可采用：当120x x ＜＜时，12
11a a x x ++＞，221211log log a a x x ＞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 在()0,∞+上单调递减．
则函数()f x 在区间[]
,1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
即()2
110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
成立．
因为0a ＞，所以函数()2
11y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
12t =
时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23
a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．。