坐标与图形变化之平移(解析版)

专题27 坐标与图形变化之平移
1．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 顶点坐标分别是()3,5，()0,3B ，()2,0C ．
(1)把ABC 平移，使得点A 平移到点O ，在所给的平面直角坐标系中作出OB C ''△．
(2)求出点B ′的坐标和平移的距离． 【答案】(1)见解析
(2)()3,2B '--，34
【分析】（1）根据题意由()A 3,5平移到()0,0O 得知△ABC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，将,B C 按照此平移方式进行平移即可求解．
（2）根据平移方式或坐标系写出点的坐标，根据勾股定理求得平移距离．
（1）
解：如图为所作的OB C ''△；
（2）
由()A 3,5平移到()0,0O 得知△ABC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，
所以()3,2B '--；
平移距离为223534+=．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理求两点距离，掌握平移的性质以及勾股定理是解题的关键．
2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC 关于x 轴的对称图形111A B C ∆；
(2)将111A B C ∆向右平移4个单位长度得到222A B C ∆，请直接写出222A B C ∆各点坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)()21,4A -，()21,1B --，()23,2C -
【分析】（1）利用关于x 轴对称点的性质得出对应点。

在顺次连接起来即可；
（2）利用平移的性质得到对应点位置，从而可以写出相应点的坐标．
（1）
解：如图所示：
∴111A B C ∆即为所求；
（2）
解：如图所示：
∴222A B C ∆即为平移后三角形，对应顶点坐标为()21,4A -，()21,1B --，()23,2C -．
【点睛】本题考查利用轴对称及平移的性质作图，根据轴对称与平移性质，准确找到对应点位置是解决问题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为()4,3A ，()2,1B ，()3,0C ．将ABC 向左平移3个单位长度得到A B C '''．
(1)作出A B C '''．
(2)写出点A '，B '，C '的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)A ’(1,3)，B ’(-1,1)，C ’(0,0)．
【分析】（1）根据平移的方法确定点的坐标，然后顺次连接即可；
（2）由图象中点的位置读出坐标即可． （1）解：向左平移3个单位长度得到△A ′B ′C ′，如图所示：
（2）解：由图可得，三个顶点的坐标分别为：A ’(1,3)，B ’(-1,1)，C ’(0,0)． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，平移的作法，熟练掌握图象平移的方法是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A B C '''是由ABC 平移得到，已知A '，B '，C '三点的坐标分别为()1,1-，()1,3-，()41-,，点A 的坐标为()1,4-．
(1)画出ABC ．
(2)描述ABC 到A B C '''的平移过程．
(3)已知点P (0，b )为ABC 内的一点，求点P 在A B C '''内的对应点P '的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)向下平移3个单位长度
(3)()0,3b -
【分析】（1）根据题意可得：()1,4A -，()'1,1A -，得出点A 到'A 向下移动三个单位长度，可得B 、
C 两点坐标，然后依次连接各点即可得；
（2）根据（1）中点的坐标变换可得ABC 向下平移3个单位长度得A B C '''；
（3）根据（2）中结论及平移的性质可得出点P 的坐标．
（1）
解：根据题意可得：()1,4A -，()'1,1A -，得出点A 到'A 向下移动三个单位长度，
∴()1,0B ，()4,2C ，
依次连接各点，作图如下：
（2）
解：根据图形及坐标可得：ABC 向下平移3个单位长度得A B C '''；
（3）
解：△由（2）可得：ABC 向下平移3个单位长度得A B C '''，点P 的坐标为()0,b ，
△根据平移的性质得对应点P 的坐标为()0,3b -．
【点睛】题目主要考查坐标与图形变换，确定点的坐标及图象，图形的平移及其性质等，理解题意，熟练掌握运用图形平移的性质是解题关键．
5．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中建立平面直角坐标系，已知线段AB 的两个端点均在格点（网格线的交点）上，且()4,1A -，()3,4B --．
(1)将线段AB向上平移2个单位，再向右平移5个单位得到线段A B''，画出线段A B''（点A'，B'分别为A，B的对应点）；
P m n为线段AB上任意一点，经过（1）的平移后，在线段A B''上对应的点P'的坐标为(2)若点(),
______．
【答案】(1)见解析
(2)（m＋5，n＋2）
【分析】（1）将两个端点分别向上平移2个单位，再向右平移5个单位得到其对应点，连接即可；（2）根据点的平移规律即可得出答案；
（1）
解：如图所示，线段A′B′即为所求．
（2）
在线段A′B′上对应的点P′的坐标为（m＋5，n＋2），
故答案为：（m＋5，n＋2）．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质．
6．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别是(3,4),(0,3),(2,0)A B C ．
(1)画出ABC ；
(2)将ABC 平移，使点A 平移到原点O ，画出平移后的图形并写出点B 和点C 的对应点坐标． 【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析，1(31)B --，
，1(14)C --，
【分析】（1）根据(34)(03)(20)A B C ，，
，，，即可画出ABC ； （2）先画出平移后的11OB C ，再写出点B 1和点C 1的坐标即可.
（1）
解：如图所示：ABC 即为所求.
（2）
解：平移后11OB C 的如图所示：
此时1(31)B --，
，1(14)C --， 【点睛】本题考查了作图-平移变换，掌握平移的性质是解决本题的关键.
7．如图，平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标为：()()1,2,2,1,4,3A
B C -（）
（l ）将ABC 向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得A B C '''．画出A B C '''，并写出A B C '''的顶点坐标：
（2）求ABC 的面积．
【答案】（1）画图见解析，点A ′（-4，0），B ′（-3，-3），C ′（-1，1）；（2）5
【分析】（1）根据平移的定义分别作出三个顶点平移后的对应点，再顺次连接，最后写出相应点的坐标即可；
（2）利用割补法求解可得．
【详解】解：（1）如图所示：
点A ′（-4，0），B ′（-3，-3），C ′（-1，1）；
（2）△ABC 的面积为11134313142222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=5．
【点睛】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
8．如图，在平面直角坐标系中，(2,2),(3,2)A B ---，点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点C ．
（1）求直线BC 的解析式．
（2）求ABC 的面积．
【答案】（1）113
y x =-，（2）5.5 【分析】（1）先根据平移求出点C 的坐标，再用待定系数法求BC 解析式即可；
（2）根据顶点坐标，用面积和差求△ABC 面积即可．
【详解】解：点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点C ．则点C 的坐标为（0，-1）；
设BC解析式为y kx b
=+，把（0，-1）（-
3，-2）代入得，
1
32
b
k b
=-
⎧
⎨
-+=-
⎩
，
解得，
1
1
3
b
k
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
BC解析式为
1
1
3
y x
=-．
（2）ABC的面积=
111
34141323 5.5 222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．
【点睛】本题考查了平移坐标变化规律，求一次函数解析式，利用坐标求面积，解题关键是通过平移求出点的坐标．
9．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B，C三点的坐标分别为
(4,1),(1,2),(3,1)
A B C
--．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy ； （2）平移ABO ，使点A 与点C 重合，写出点B ，点O 平移后所得点的坐标，并描述这个平移；
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，B ′（0，-4），O ′（-1，-2），向下平移2个单位，向左平移1个单位
【分析】（1）根据A ，B ，C 的坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）根据平移的性质画出图形，得到对应点的坐标，再根据题意得出平移方式．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示；
（2）点B 平移后的坐标为B ′（0，-4），
点O 平移后的坐标为O ′（-1，-2），
平移方式为：向下平移2个单位，向左平移1个单位．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移的性质解决问题，属于常考题型．
10．已知点(315,2)P a a --．
（1）若点P 到x 轴的距离是3，试求出a 的值．
（2）在（1）题的条件下，点Q 如果是点P 向上平移2个单位长度得到的，试求出点Q 的坐标．
（3）若点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求出点P 的坐标．
【答案】（1）1a =-或5a =；（2）(18,5)-或(0,1)-；（3）(6,1)--或(3,2)--
【分析】（1）根据点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可；
（2）利用平移的性质解决问题即可；
（3）根据点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，可得不等式组，求其整数解可得a 的值，即可求出点P 的坐标．
【详解】解：（1）△点P （3a -15，2-a ），
△|2-a|=3，
△2-a=3或2-a=-3， 解得：1a =-或5a =；
（2）由1a =-得：点P （−18，3），
由5a =得：点P （0，−3），
△点Q 如果是点P 向上平移2个单位长度得到的，
△点Q 的坐标为(18,5)-或(0,1)-；
（3）△点P （3a -15，2-a ）位于第三象限，
△315020a a -⎧⎨-⎩
＜＜， 解得：2＜a ＜5．因为点P 的横、纵坐标都是整数，所以a=3或4，
当a=3时，点P （-6，-1），
当a=4时，点P （-3，-2）．
△点P 的坐标是(6,1)--或(3,2)--．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，一元一次不等式组应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程或不等式组解决问题．
11．如图，ABC 的顶点都在格点上，已知点C 的坐标为(4,)1-．
（1）写出点A ，B 的坐标；
（2）平移ABC ，使点A 与点O 重合．作出平移后的OB C ''△，并写出点B '，C '的坐标．
【答案】（1）A （3，4），B （0，1）；（2）图见解析，B '（-3，-3），C '（1，-5），
【分析】（1）根据点A ，B 的位置即可两个点的坐标；
（2）先根据点A和点O的坐标得出ABC平移方式，从而确定B'，C'的坐标，再首尾顺次连接即可得到OB C''
△
【详解】（1）由图可得：点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，1）；
（2）△A（3，4），O（0，0），点A与点O重合
△ABC向左平移3个单位，向下平移4个单位；
△B（0，1），C（4，-1），
△B'（-3，-3），C'（1，-5），
OB C''
△如图所示
【点睛】本题主要考查了图形的平移特征，平移前后坐标的变化规律是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（0，﹣3），B（-2，0），O （0，0）．
（1）将△OAB关于x轴作轴对称变换，在图1中画出对称后的图形，并涂黑．
（2）将△OAB 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，在图2中画出平移后的图形，并涂黑． 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用关于x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】解：（1）如图1所示：△OBC 即为所求；
（2）如图2所示：△DEF 即为所求．
．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
13．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移1个单位再向下平移2个单位称为一个跳步.如：点()1,2P 一个跳步后对应点()2,0P '.已知点()1,4A -，()2,3B .
（1）求点A ，B 经过1个跳步后的对应点A '，B '的坐标.
（2）求直线AB 经过一个跳步后对应直线的函数表达式.
【答案】（1）()0,2A '，()3,1B '；（2）123
y x =-+.
【分析】（1）根据坐标系中点平移坐标变化规律即可解答.
（2）根据（1）点A ，B 经过1个跳步后的对应点A '，B '的坐标在直线AB 经过一个跳步后直线上.利用待定系数法即可求解
【详解】解：（1）点()1,4A -经过1个跳步后对应点()0,2A '，
点()2,3B 经过1个跳步后对应点()3,1B '.
（2）设直线AB 经过一个跳步后对应直线A B ''的函数表达式为y kx b =+，
由题意得：2132b k =⎧⎨=+⎩
， △13
k =-，2b =. △直线AB 经过一个跳步后对应直线A B ''的函数表达式为123
y x =-+. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移和待定系数法求一次函数解析式，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
14．如图，有正方形网格（每个小正方形边长为1），按要求作图并解答：
（1）在网格中画出平面直角坐标系，使点()2,2A ，()1,3B ，并写出点C 的坐标.
（2）平移ABC ∆，使点C 平移后所得的点是C '.
【答案】（1）见解析，点C 坐标为1,0；（2）见解析
【分析】（1）先根据()2,2A ，()1,3B 确定两坐标轴，然后写出点C 的坐标；
（2）由点C 平移后所得的点是C '判断出平移的方式，找出点A′和点B′，即可作出A B C '''∆．
【详解】.解：（1）直角坐标系如图，
点C 坐标为()1,0- ；
（2）A B C '''∆如图所示，
【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系，以及平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
15．在平面直角坐标系中，A(2，2)，B(4，3)，C(a ，b)，其中C 是由A 点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
（1）求a ，b 的值；
（2）画出ABC ，判断它的形状并说明理由.
【答案】(1)1,4a b ==；(2)图见解析，等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据平移的概念求得点C 的坐标，从而求得a b 、的值；
（2）利用三垂直全等模型，从而得到ABC 是等腰直角三角形.
【详解】（1）根据平移的概念知：
将点A ()22，
向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C 的坐标是()14， △14a b ==，
（2）如图：ABC 为所作.
ABC 为等腰直角三角形
在网格中，
△AD=BE=AD,CD=AE,
△Rt CDA Rt AEB ≅
△AC=AB ，DAC ABE ∠=∠
90ABE BAE ∠+∠=︒，
△90DAC BAE ∠+∠=︒，
△180DAC CAB BAE ∠+∠+∠=︒
△90CAB ∠=︒，
△ABC 为等腰直角三角形
【点睛】本题考查了坐标与图形变化－平移以及全等三角形的判定和性质，掌握“三垂直全等模型”的应用是解题的关键.
16．如图，有88⨯的正方形网格（每个小正方形的边长为1），按要求作图并计算．
（1）在88⨯的正方形网格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为(2,4)，点B 的坐标为(4,2)； （2）将点A 向下平移6个单位，再关于y 轴对称得到点C ，求点C 坐标；
（3）画出三角形ABC ，请判断ABC 的形状并说明理由．
【答案】（1）画图见解析；（2）(2,2)C -；（3）ABC 为等腰三角形．
【详解】试题分析：（1）将A 点向左平移2个单位，再向处平移4个单位即可得到原点，然后建立坐标系即可；
（2）先平移，然后再根据关于y 轴对称的点的坐标特征即可得；
（3）利用勾股定理求出各边的长，比较即可得.
试题解析：（1）如图所示；
-，再关于y轴对称，
（2）A向下平移6个单位得到点(2,2)
C--；
△(2,2)
（3）2222
AC=+++=+=，
(22)(42)46213
22
BC=+++=，
(42)(22)213
又22
AB=，
=，ABC为等腰三角形．
△AC BC
17．如图，把△ABC平移，使点A平移到点O．
（1）作出平移后的△OB'C'；
（2）写出△OB'C'的顶点坐标，并描述这个平移过程．
【答案】（1）作图见解析；（2）O(0，0)，B′(−3，−2)，C′(−1，−5)，先把ABC向下平移5个单位，再向左平移3个单位．
【详解】（1）根据平移的性质画出平移后的△OB'C'即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，再由平移的方向和距离即可得出结论．
解：(1)如图，△OB′C′即为所求；
(2)由图可知，O(0，0)，B′(−3，−2)，C′(−1，−5)．
将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移3个单位．可得到△OB′C′．。