苏科八年级苏科初二数学下册第二学期月月考试卷及答案

苏科八年级苏科初二数学下册第二学期月月考试卷及答案
一、解答题
1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
3．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
试验次数20406080100120140160“帅”字面朝上频数a18384752667888
相应频率0.70.450.630.590.520.550.56b
＝；＝；
（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
4．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表:调查结果统计表 组别
A B
C
D E
分组（元） 030x ≤＜ 3060x ≤＜
频数
调查结果频数分布直方图 调查结果扇形统计图
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的样本容量是 ，a = ,m = ； （2）补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中扇形B 的圆心角度数； （4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x 在3090x ≤＜范围的人数. 5．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AF=BD ．
（2）求证：四边形ADCF 是菱形．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
7．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．
（1）求证：EO平分∠AEB；
（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为（直接写出结果，不要写出证明过程）；
（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．
8．计算：
2429
33 x x x
x x
--
-
--
9．正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），ABC
∆的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出ABC ∆绕点A 逆时针旋转90°后的111A B C ∆； （2）作出111A B C ∆关于原点O 成中心对称的222A B C ∆.
10．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．
（1）求证：BG =DE ；
（2）若E 为AD 中点，FH =2，求菱形ABCD 的周长． 11．解方程：
x 2
1x 1x
-=-. 12．某商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克．问第一次购进这种商品多少千克？
13．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BO ＝DO ，点E 、F 分别在AO ，CO 上，且BE ∥DF ，AE ＝CF ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．
14．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，则BG 与DH 有怎样数量关系？证明你的结论．
15．（数学实验）小明在学习轴对称一章角平分线一节后，做了一个实验：
第一步：如图1在一张纸上画了一个平角∠AOB；
第二步：如图2在平角∠AOB内画一条射线，沿着射线将平角∠AOB裁开；
第三步：如图3将∠AO'C'放在∠COB内部，使两边分别与OB、OC相交，且O'A＝O'C'；第四步：连接OO'，测量∠COB度数和∠COO'度数．
（数学发现与证明）通过以上实验，小明发现OO'平分∠COB．你能根据小明的实验给出的条件：（1）∠AO'C'与∠COB的关系是；（2）线段O'A与O'C'的关系是．
请您结合图3将小明的实验条件和发现结论完成下面“已知”“求证”，并给出证明．
已知：
求证：
证明：
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一、解答题
1．（1）见解析（2）成立
【解析】
试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可
得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
试题解析：（1）在正方形ABCD中，
{BC CD B CDF BE DF
∠∠＝＝＝ ∴△CBE ≌△CDF （SAS ）． ∴CE=CF ．
（2）GE=BE+GD 成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD ，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． CE ＝CF ∵∠GCE ＝∠GCF ， GC ＝GC ∴△ECG ≌△FCG （SAS ）． ∴GE=GF ．
∴GE=DF+GD=BE+GD ．
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质． 2．（1）详见解析；（2）24 【分析】
（1）可先证得△AEF ≌△DEB ，可求得AF=DB ，可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD ，可证得结论；
（2）将菱形ADCF 的面积转换成△ABC 的面积，再用S △ABC 的面积=1
2
AB•AC ，结合条件可求得答案． 【详解】
（1）证明：∵E 是AD 的中点 ∴AE ＝DE ∵AF ∥BC ∴∠AFE ＝∠DBE
在△AEF 和△DEB 中AFE DBE DEB AEF AE DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△DEB （AAS ） ∴AF ＝DB ∵D 是BC 的中点 ∴BD=CD=AF
∴四边形ADCF 是平行四边形 ∵∠BAC ＝90°， ∴AD ＝CD ＝
12
BC ∴四边形ADCF 是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8
∴S菱形ADCF＝CD•h＝1
2
BC•h＝S△ABC＝
1
2
AB•AC＝
1
6824
2
⨯⨯=．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
3．（1）14，0.55；（2）图见解析；（3）0.55．
【分析】
（1）根据图中给出的数据和频数、频率与总数之间的关系分别求出a、b的值；
（2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．
（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
【详解】
（1）a＝20×0.7＝14；
b＝
88
160
＝0.55；
故答案为：14，0.55；
（2）根据图表给出的数据画折线统计图如下：
（3）随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P（“帅”字朝上）＝0.55．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．
4．（1）50，16，8；（2）补全图形见解析；（3）扇形统计图中扇形B的圆心角度数为115.2°；（4）每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数大约为720人．
【解析】
分析：（1）根据C组的频数是20，对应的百分比是40%，据此求得调查的总人数，然后求得a的值，m的值；
（2）根据a 的值补全频数分布直方图； （3）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
详解：（1）调查的总人数是20÷40%=50（人），则a =50﹣4﹣20﹣8﹣2=16，A 组所占的
百分比是
4
50
=8%，则m =8． 故答案为50，16，8；
（2）补全频数分布直方图如图：
（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数是360°×
16
50
=115.2°； （4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数是1000×
1620
50
+=720（人）． 答：每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人．
点睛：本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 5．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】
（1）由“AAS”可证△AFE ≌△DBE ，从而得AF=BD
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质的AD ＝DC ，即可证明四边形ADCF 是菱形． 【详解】 （1）∵AF ∥BC ， ∴∠AFE=∠DBE
∵△ABC 是直角三角形，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，BD=CD 在△AFE 和△DBE 中，
AFE DBE AEF BED AE DE ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△AFE ≌△DBE （AAS ）） ∴AF=BD
（2）由（1）知，AF=BD ，且BD=CD ， ∴AF=CD ，且AF ∥BC ，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD＝1
2
BC＝DC
∴四边形ADCF是菱形
【点睛】
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．证明AD＝DC是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）当∠A＝90°时，FG⊥FH．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH∥AC，FN∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG＝1
2
BD，FH＝
1
2
CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．（1）求证见解析；（2
）2OE ＝EB +EA ；（3）见解析． 【分析】
（1）延长EA 至点F ，使AF ＝BE ，连接OF ，由SAS 证得△OBE ≌△OAF ，得出OE ＝OF ，∠BEO ＝∠AFO ，由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论； （2）判断出△EOF 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论；
（3）先根据ASA 证得△ABE ≌△ADH ，△ABE ≌△BCF ，△ADH ≌△DCG ，△DCG ≌△CBF ，得出FG ＝EF ＝EH ＝HG ，再由∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°，由此可得出结论． 【详解】
（1）证明：延长EA 至点F ，使AF ＝BE ，连接OF ，如图所示：
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOA ＝90°，OB ＝OA ， ∵∠AEB ＝90°，
∴∠OBE +∠OAE ＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠OAE +∠OAF ＝180°，
∴∠OBE ＝∠OAE ，在△OBE 与△OAF 中，
0OB A OBE OAF BE AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OBE ≌△OAF （SAS ）， ∴OE ＝OF ，∠BEO ＝∠AFO ， ∴∠AEO ＝∠AFO ， ∴∠BEO ＝∠AEO ， ∴EO 平分∠AEB ；
（22OE ＝EB +EA ，理由如下： 由（1）得：△OBE ≌△OAF ， ∴OE ＝OF ，∠BOE ＝∠AOF ， ∵∠BOE +∠AOE ＝90°， ∴∠AOF +∠AOE ＝90°， ∴∠EOF ＝90°，
∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴2OE 2＝EF 2，
∵EF ＝EA +AF ＝EA +EB ，
∴2OE 2＝（EB +EA ）2，
OE ＝EB +EA ，
OE ＝EB +EA ；
（3）证明：∵CF ⊥EB ，DH ⊥EA ，
∴∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，
∴∠EAB +∠DAH ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∠ADH +∠DAH ＝90°，
∴∠EAB ＝∠HDA ，∠ABE ＝∠DAH ．
在△ABE 与△ADH 中，
EAB HDA AB AD
ABE DAH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABE ≌△ADH （ASA ），
∴BE ＝AH ，AE ＝DH ，
同理可得：△ABE ≌△BCF ，△ADH ≌△DCG ，△DCG ≌△CBF ，
∴BE ＝CF ，AE ＝BF ，AH ＝DG ，DH ＝CG ，DG ＝CF ，CG ＝BF ，
∴CG +FC ＝BF +BE ＝AE +AH ＝DH +DG ，
∴FG ＝EF ＝EH ＝HG ，
∵∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°，
∴四边形EFGH 为正方形．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
8．3x -
【分析】
先把分式进行合并，再进行因式分解，然后约分，即可得到答案．
【详解】 解：原式222
42969(3)3333
x x x x x x x x x x --+-+-====----； 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
9．（1）见解析 （2）见解析
【分析】
（1）本题考查图形的旋转变换以及作图，根据网格结构找出点A 、B 、C 绕点A 逆时针
旋转90°后的点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可．
（2）本题考查中心对称图形的作图，找出点1A 、1B 、1C 关于原点O 成中心对称的点2A 、2B 、2C 的位置，然后顺次连接即可．
【详解】
【点睛】
解答此类型题目首先要清楚旋转图形和中心对称图形的性质，按照图形定义进行作图，作图时先找点，继而由点连成线．
10．(1)详见解析；(2)8
【分析】
（1）先根据矩形的性质、平行线的性质得出,FG HE GFH EHF =∠=∠，再根据邻补角的定义可得BFG DHE ∠=∠，又根据菱形的性质、平行线的性质可得
GBF EDH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图，连接EG ，先根据矩形的性质可得EG 的长，再根据中点的性质、菱形的性质、题（1）的结论可得四边形ABGE 是平行四边形，从而可得AB 的长，然后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】
（1）∵四边形EFGH 是矩形
,//FG HE EH FG ∴=
GFH EHF ∴∠=∠
180,180BFG GFH DHE EHF ∠=︒-∠∠=︒-∠
BFG DHE ∴∠=∠
∵四边形ABCD 是菱形
//AD BC ∴
GBF EDH ∴∠=∠
在BGF ∆和DEH ∆中，BFG DHE GBF EDH FG HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BGF DEH AAS ∴∆≅∆
BG DE ∴=；
（2）如图，连接EG
∵四边形EFGH 是矩形，2FH =
2EG FH ∴==
∵四边形ABCD 是菱形
,//AD BC AD BC ∴=
∵E 为AD 中点
AE DE ∴=
BG DE =
,//AE BG AE BG ∴=
∴四边形ABGE 是平行四边形
2AB EG ∴==
∴菱形ABCD 的周长为248⨯=
故菱形ABCD 的周长为8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
11．2x =.
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：x 2-2x+2=x 2-x ，
解得：x=2，
检验：当x=2时，方程左右两边相等，
所以x=2是原方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．第一次购进这种商品10千克
【分析】
根据“商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克”列出分式方程求解即可．
【详解】
解：设第一次购进这种商品x千克，则第二次购进这种商品（x+5）千克，
由题意，得500750
5
x x
=
+
，
解得x＝10．
经检验：x＝10是所列方程的解．
答：第一次购进这种商品10千克．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意得出分式方程的解之后要验根．
13．见解析
【分析】
根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定即可得到结论．【详解】
证明：∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO与△DFO中，
BEO DFO BO DO
BOE DOF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
14．见解析
【分析】
由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E＝∠F，角边角证明
△AFG≌△CEH，其性质得AG＝CH，进而可证明BG＝DH．
BG ＝DH ，理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AB ＝DC ，
∴∠E ＝∠F ，
又∵BE ＝DF ，AF ＝AD +DF ，CE ＝CB +BE ，
∴AF ＝CE ，
在△CEH 和△AFG 中，
A C AF CE F E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AFG ≌△CEH （ASA ），
∴AG ＝CH ，
∴BG ＝DH ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．（1）互补；（2）相等；证明见解析
【分析】
根据题意写出已知、求证，过O '作O D '⊥OC 于D ，O E '⊥OB 于E ，证明
Rt △Rt AO D '≅△C O E ''，推出O D O E '='，利用角平分线的判定定理即可证明'OO 平分∠COB ．
【详解】
（1）∠AO'C'与∠COB 的关系是互补；（2）线段O'A 与O'C'的关系是相等．
已知：AO C ∠''+∠COB=180︒，O'A=O'C'，
求证：'OO 平分∠COB ．
证明：过O '作O D '⊥OC 于D ，O E '⊥OB 于E ，
∵O C B O OB C O O ∠=∠+∠'''''，∠AO C ''+∠COB=180︒，
∴AO O ∠'+'AOO ∠ =180︒-(O OB C O O ∠+∠''')，
即O C B O OB C O O ∠=∠+∠'''''=180︒-(AO O ∠'+'AOO ∠)，
又OAO ∠'=180︒-(AO O ∠'+'AOO ∠)，
∴O C B OAO ∠=∠'''，
∵O'A=O'C'，
∴Rt △Rt AO D '≅△C O E ''，
∴O D O E '='，
∵O D '⊥OC ，O E '⊥OB ，
∴'OO 平分∠COB ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．。