江苏省泰兴中学2015-2016学年高二10月阶段检测数学试题 含答案(1)

江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测
一．
填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域）
1.命题“2
,80x Q x
∃∈-=”的否定是
.
2。

椭圆22
110064
x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为
7，则点P 到右焦点
的距离为。

3.双曲线22
22
1124x y m m
-=+-的焦距为 .
4.抛物线2
y x =的准线方程为 。

5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写）
6。

已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13
y x =±,则该双曲线的
离心率为 . 7.已知抛物线2
4x
y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离
为 。

8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦
点，△
ABC
的顶点C 在双曲线的右支上，则
sin sin sin A B C
-的值是
____________．
9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a
y x =+在（0，+∞)上单调递减，命
题q ：曲线2
(23)1y x
a x =+-+与x 轴交于不同的两点，
若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题,则实数a 的取值范围是 ．
10。

已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、
上顶点和右焦点，若直线
2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上,
则椭圆的离心率为____ __。

11。

已知点(0,2)A ，抛物线2
2,(0)y
px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交
抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.
12。

已知椭圆E ：22
142x y +=,直线l 交椭圆于,A B 两点,若AB 的中点坐标为
1
(1,)2
-，则l 的方程为 .
13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ,且2AB =,动点P 在抛物线2
2y
x =上,则
PAB ∆面积的最小值是。

14．在椭圆2
214
x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一
个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．
二．
解答题（共6题,90分。

每题都应写出必要的计算过程）
15。

（本题14分）
求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程。

(1）
1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；
(2)与双曲线22
1164
x y -=有相同焦点，且经过点的双曲线。

16.（本题14分）
设命题
:p 方程22
191
x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q :双曲线
22
14x y k
-=的离心率()1,2e ∈． （1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； (2）当6k =时,求双曲线的焦点到渐近线的距离.
17。

（本题14分)
已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；
（2)设（1)中焦点在x 轴上的抛物线为1
C ，直线l 过点(0,2)P 且与抛物线
1C 相切，求直线l 的方程.
18。

（本题16分)
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上,焦距为2，离心率为12
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．
19.（本题16分）
已知椭圆错误!＋错误!＝1（a >b 〉0）的离心率e ＝错误!，一条准线方程为
x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭
圆于另一点P ,P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程;
(2）若直线AP ,AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ,n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．
20.(本题16分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的右焦点)0,1(F ,离心率为2
2
，过F 作两条互相
垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,. （1)求椭圆的方程；
(2）证明：直线MN 必过定点,并求出此定点坐标; (3)若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN ∆面积的最大值.
x
y
O
P
Q
A （第19题图）
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案
18：解:（1）设椭圆方程为,
因为，所以，
所求椭圆方程为…(5分）
（2)由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1
则由得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，且△＞0．(8分）
设A（x1，y1）,B（x2,y2），则由=2得x1=﹣2x2…。

又，（12分）
所以消去x2得
解得
所以直线l的方程为，即x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0…（16分）
19．解：⑴因为c
a＝错误!,错误!= 2,
所以a＝2，c＝1，所以b＝a2－c2＝１．
故椭圆的方程为错误!＋y2＝1．………………………………………………4分
⑵解法一设P点坐标为（x1，y1)，则Q点坐标为(x1，–y1)．
因为k AP＝y1－1
x1－0＝错误!，所以直线AP的方程为y＝错误!x＋1．
令y= 0,解得m＝－x1
y1－1。

………………………………………………8分因为k AQ＝错误!＝－错误!，所以直线AQ的方程为y＝－错误!x＋1．令y＝0，解得n＝
错误!．………………………………………………12分
所以mn＝错误!错误!＝
错误!．………………………………………………14分
又因为（x1，y1)在椭圆错误!+ y2 = 1上，所以错误!+ y错误!= 1，即1－y错误!= 错误!,
所以错误!＝2，即mn＝2．
所以mn为常数,且常数为2．………………………………………………16分
解法二设直线AP的斜率为k（k≠0）,则AP的方程为y = kx +1，令y= 0，得m＝－
错误!．………………………………………………6分联立方程组错误!
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得x A＝0，x P=－
错误!，……………8分
所以y P＝k×x P＋1＝错误!，
则Q点的坐标为（－
4k
1 + 2k2，－
错误!
)．………………………………………10分
所以k AQ ＝错误!＝错误!，故直线AQ 的方程为y ＝错误!x ＋1．
令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分
所以mn ＝(－１
k
)（－2k ）＝2．
所
以
mn 为
常数,常数为
2．…………………………………………16分
20。

解：(1）由题意：21,c
c a ==
，则2,1,1
a b c =
==,(每个1分） (3)
分
椭
圆的
方
程
为
2
212
x y += ……4分
（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为:(1)y k x =-，
12121122(,),(,),(,(1))22
x x x x
A x y
B x y M k ++-，
22
(1),
220,
y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2
2
22(12)4220
k x k x k +-+-=，……5分
21222
1224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,故
22
2
2(,)1212k k
M k k -++， ……6分
将上式中的k 换成1k -，则同理可得：2
2
2
(
,
)22k
N k
k ++， ……8分
如
222
22
122k k k =
++,得1k =±,则直线MN 斜率不存在，
此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2
(,0)3
P . ……9分
（法一）若直线MN 斜率存在，则
22224222
(33)3122222221
122MN
k k
k k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---
++,
直线MN 为2
22
32
()2212k k y x k
k k --=⨯-+-+，……11分
令0y =,得22222
2212312232323
k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++，
综
上，直线MN
过定点
2(,0)3。

……12分
（法二）动直线MN 最多过一个定点,由对称性可知,定点必在x 轴上，
设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2
(,0)3
P 。

当1k ≠±时，PM
k
=222
23122221123
k
k
k k k k -+=⨯
--
+,……10分
同理将上式中的k 换成1k
-，可得2
2
1()3312211PM
k k k
k k -==⨯
--， (11)
分
则PM
PN
k
k =,直线MN 过定点2(,0)3
P . ……12分
（3）由第(2）问可知直线MN 过定点2(,0)3
P ，
故S △FMN =S △FPM +S △FPN 22
1111||||2322312k k
k k -=⨯+⨯++
2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252
k k k k k k k k ++==⨯
++++ ……13分
22
1(||)
1||2
225k k k k +
=
++，
令1||[2,)||
t k k =+∈+∞,S △FMN 21
()22(2)5t
f t t ==⨯
-+21221
t t =⨯
+ ……14分
则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分
当
2
t =时
()
f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值
19
，此时
1
k =±。

……16分
学必求其心得，业必贵于专精。