第二章函数的微分及应用
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fx 0 x fx 0 f'x 0 x
fx fx 0 f' x 0 x
可应用于求函数的近似值
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例8、一个充好气的气球，半径为4m。升空后，因外 部气压降低气球半径增大10cm。问气球的体积近似 增加多少？
例9 ： 计算cos3012'的近似值。
dyNT
即函数y=f(x)的微分dy就是曲线y=f(x)在点p处切线的纵坐标
在相应处x的增量，而△y就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增 量。另外，我们看到当|△x |很小时， |△y-dy |比|△x |小得多
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例 7、 ye3xco2xs，d求 y
解 d d y ( ： e 3 x c2 x o ) e s 3 x d c2 x o cs 2 x o 3 d x s e e 3 x s2 i x n ( 2 x d ) c2 o x 3 x d e s ( 3 x )
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定 义： 设函数y=f(x)在点x的一个邻域内有定义，如果
函数f(x)在点x处的增量△y=f(x+ △x)-f(x)可以表示为
△y=A△x+ə,其中A与 △x无关, ə是 △x的高阶的微分,记作:dy,并称函数y=f(x)
在点x处可微.
dyAx
问题1：当时dy =A△x 时,A=?与f(x)有什么关系？
观察（1）、（2）发现：
例1
A2x0s'x0
例2
A3x0 2V'x0
定理1 设函数y=f(x)在点x可微,则函数y=f(x)在点x处可导,且 A= f(x):反之,如果y=f(x)在点x处可导,则y=f(x)在点x可微.
证明:
例10 ： 计算 4.2的近似值。
例11 ： 试证 h1 时 当 eh， 1h.
2 e 3 x s2 ix n d 3 cx 2 o x 3 x s e dx
e 3x(2si2n x3co 2x)s dx
三、 微分在近似计算中的应用
当|x|很小时， x即 1
y dy
可应用于求函数改变量的近 似值
fx 0 x fx 0 f'x 0 x
因为函数y=f(x)在点x可微.
yAxa
其中lim 0
x0 x
反之因为f(x)在点x处可导
limy f (x) x0 x
y f (x).
x
(lim 0) x0
yf(x ) x x ,
li m y liA m x li(m A ) A x x 0 x 0 x x 0 x
解： 因为 y 21 x
dy 2 dx x
dy|x12xdx|x12dx
二、微分的几何意义
M y f(x)
上面我们已经讨论了增量、微分和 导数之间的关系，下面再从图形上直观 地反映它们之间的关系，以便进一步理
T PN
x xx
解它们。如右图:
P d N , N x y , M N P T ta N f ( n x ) dx
解: 设正方形面积为s，面积增加部分记作 s ，
则
s x 0 x 2 x 0 2 2 x 0 x ( x ) 2
引例2：把例1中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？
解:
v x 0 x 3 x 0 3 3 x 0 2 x 3 x 0 x 2 ( x ) 3
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的在近似计算中的应用
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教学目的： 理解微分的概念，了解概念的抽象
过程及思想方法，了解一阶微分形 式微分不变性，了解微分的几何意 义，熟练求出初等函数的微分。
教学重点： 函数微分的概念及求法
教学方式：启发讲授+自学指导
一、微分的概念
引例1：边长为 x 0 的正方形，当边长增加 x 时，其面积增 加多少？
又 lim xlim 0
x x 0
x 0
所以f(x)在点x可微.
即函数y=f(x)在点x处可导, 且A= f '(x)
且 d y f(x ) x 或 d y f'(x )dx
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例2、求函数y=2lnx在x处的微分,并求当
x=1时的微分 (记作dy|x=1) .
fx fx 0 f' x 0 x
可应用于求函数的近似值
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例8、一个充好气的气球，半径为4m。升空后，因外 部气压降低气球半径增大10cm。问气球的体积近似 增加多少？
例9 ： 计算cos3012'的近似值。
dyNT
即函数y=f(x)的微分dy就是曲线y=f(x)在点p处切线的纵坐标
在相应处x的增量，而△y就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增 量。另外，我们看到当|△x |很小时， |△y-dy |比|△x |小得多
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例 7、 ye3xco2xs，d求 y
解 d d y ( ： e 3 x c2 x o ) e s 3 x d c2 x o cs 2 x o 3 d x s e e 3 x s2 i x n ( 2 x d ) c2 o x 3 x d e s ( 3 x )
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定 义： 设函数y=f(x)在点x的一个邻域内有定义，如果
函数f(x)在点x处的增量△y=f(x+ △x)-f(x)可以表示为
△y=A△x+ə,其中A与 △x无关, ə是 △x的高阶的微分,记作:dy,并称函数y=f(x)
在点x处可微.
dyAx
问题1：当时dy =A△x 时,A=?与f(x)有什么关系？
观察（1）、（2）发现：
例1
A2x0s'x0
例2
A3x0 2V'x0
定理1 设函数y=f(x)在点x可微,则函数y=f(x)在点x处可导,且 A= f(x):反之,如果y=f(x)在点x处可导,则y=f(x)在点x可微.
证明:
例10 ： 计算 4.2的近似值。
例11 ： 试证 h1 时 当 eh， 1h.
2 e 3 x s2 ix n d 3 cx 2 o x 3 x s e dx
e 3x(2si2n x3co 2x)s dx
三、 微分在近似计算中的应用
当|x|很小时， x即 1
y dy
可应用于求函数改变量的近 似值
fx 0 x fx 0 f'x 0 x
因为函数y=f(x)在点x可微.
yAxa
其中lim 0
x0 x
反之因为f(x)在点x处可导
limy f (x) x0 x
y f (x).
x
(lim 0) x0
yf(x ) x x ,
li m y liA m x li(m A ) A x x 0 x 0 x x 0 x
解： 因为 y 21 x
dy 2 dx x
dy|x12xdx|x12dx
二、微分的几何意义
M y f(x)
上面我们已经讨论了增量、微分和 导数之间的关系，下面再从图形上直观 地反映它们之间的关系，以便进一步理
T PN
x xx
解它们。如右图:
P d N , N x y , M N P T ta N f ( n x ) dx
解: 设正方形面积为s，面积增加部分记作 s ，
则
s x 0 x 2 x 0 2 2 x 0 x ( x ) 2
引例2：把例1中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？
解:
v x 0 x 3 x 0 3 3 x 0 2 x 3 x 0 x 2 ( x ) 3
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的在近似计算中的应用
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教学目的： 理解微分的概念，了解概念的抽象
过程及思想方法，了解一阶微分形 式微分不变性，了解微分的几何意 义，熟练求出初等函数的微分。
教学重点： 函数微分的概念及求法
教学方式：启发讲授+自学指导
一、微分的概念
引例1：边长为 x 0 的正方形，当边长增加 x 时，其面积增 加多少？
又 lim xlim 0
x x 0
x 0
所以f(x)在点x可微.
即函数y=f(x)在点x处可导, 且A= f '(x)
且 d y f(x ) x 或 d y f'(x )dx
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例2、求函数y=2lnx在x处的微分,并求当
x=1时的微分 (记作dy|x=1) .