(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(含答案解析)(1)
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一、选择题
1.已知函数()()22
ln x x t f x x
+-=,若对任意的[]2,3x ∈,()()0f x f x x '+>恒成立,则实数t 的取值范围是( )
A .(),2-∞
B .5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C .103⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭,
D .()2,+∞
2.函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ,则 ( ) A .a b = B .a b >
C .a b <
D .,a b 的大小不能确
定
3.已知函数()()
ln 1x
x
f x x e e -=-++,则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值
范围是( ) A .()(),11,-∞-+∞
B .()2,1--
C .()1,1,3⎛
⎫-∞-+∞ ⎪
⎝⎭
D .()(),21,-∞-⋃+∞
4.已知函数32
13()32
f x x x c =++有3个不同的零点,则c 的取值范围是( ) A .9,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭ B .4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
C .4,03⎛⎫
-
⎪⎝⎭ D .9,(0,)2⎫⎛
-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
5.若函数()3
2
21f x x x mx =+++在()-∞+∞,
内单调递增,则m 的取值范围是( ) A .4
3
m ≥
B .43
m >
C .43
m ≤
D .43
<
m
6.已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点,则实数m 的取值范
围是( )
A .3,4
4ππ⎫
⎡-
-⎪⎢⎣⎭ B .3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C .,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D .,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
7.函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x ',则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为( )
A .
B .
C .
D .
8.函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为( ) A .34
B .16
C .24
D .17
9.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>,(0)4f =,则不等式
()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A .(0)(0)-∞+∞,
, B .(0)(3)-∞⋃+∞,
, C .(0)+∞,
D .(3)+∞,
10.已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞,
,部分对应值如下表;()f x '为()f x 的导函数,函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤,则a 的取值范围是( ) x
2-
0 4 ()f x
1
1-
1
A .33,22⎛⎫-
⎪⎝
⎭ B .13,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ C .33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ D .13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
11.若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值,则实数a 的取值范围为( ) A .3
4
a >-
B .53
a <-
C .5334
a -
<<- D .53
34
a -
≤≤-
12.函数3()3f x x x =-在[0,]m 上最大值为2,最小值为0,则实数m 取值范围为( ) A .[1
B .[1,)+∞
C .(1
D .(1,)+∞
二、填空题
13.已知a R ∈,对于任意的实数[]
1,2x ∈,不等式()110x
x e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝
⎭
恒成立,则实数a 的取值范围是________________.
14.已知函数()cos sin f x x x x =-,下列结论中, ①函数()f x 的图象关于原点对称; ②当(0,)x π∈时,()0f x π-<<; ③若120x x π<<<,则
11
22
sin sin x x x x >; ④若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭恒成立,则a 的最大值为2
π
,b 的最小值为1. 所有正确结论的序号为______. 15.函数2
1f x x x 的极大值为_________. 16.函数()3
1443
f x x x =
-+的极大值为______. 17.函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e
上不单调,则实数a 的取值范围是_____. 18.已知函数()()
()2
ln f x x x x x a a R =+-∈,若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦
,使得()()f x xf x '>成
立,则实数a 的取值范围是______________. 19.已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数,f
x 为()f x 的导函数,且当 0
x >时,()()20xf x f x '+>成立,则函数()()2
g x x f x =的零点个数是_______________. 20.已知函数18ln ,y a x x e e
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的图象上存在点P ,函数22y x =--的图象上存
在点Q ,且P ,Q 关于x 轴对称,则a 的取值范围为________.
三、解答题
21.已知函数21
()ln 2
x f x x x -=-.
(1)求()f x 的单调区间;
(2)设()*
ln 1,1,2,k k a n k n n ⎫⎛=+∈=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
N ,在(1)的条件下,求证:
12321
4
n n a a a a ++++⋅⋅⋅+<
()*n ∈N .
22.已知a 为实数,()()()2
4
f x x x a =--.
(1)若1x =-是函数()f x 的极值点,求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值; (2)若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增的,求a 的取值范围. 23.已知e 是自然对数的底数,函数()1
22x f x e
ax -=-,其中a R ∈.
(1)当1a =时,若()()g x f x '=,求()g x 的单调区间; (2)若()f x 在R 上恰有三个零点,求a 的取值范围.
24.已知函数()ln 1f x a x =,a R ∈.
(1)若函数()f x 在()1,+∞上单调递减,求a 的取值范围; (2)若函数()f x 存在最大值,且最大值不大于0,求a 的值. 25.已知函数()1ln f x ax x =--.
(1)当1a =时,证明:()f x 存在唯一的零点; (2)若()0f x ≥,求实数a 的取值范围. 26.已知函数2()ln (0)f x x a x a =->.
(1)若2a =,求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程; (2)若()y f x =在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有两个零点,求a 的取值范围.
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一、选择题 1.B 解析:B 【分析】
求导函数()f x ',化简()()0f x f x x
'+>得1
0x t x
+
->在[]2,3x ∈恒成立,参变分离即可求参数范围. 【详解】
∵()22
2
2ln 2x x t f x x
-+-'=, ∴对任意的[]2,3x ∈,()()0f x f x x
'+
>恒成立
⇔对任意的[]2,3x ∈,()()0xf x f x '+>恒成立,
⇔对任意的[]2,3x ∈,1
0x t x
+->恒成立, ⇔
1
x t x
+>恒成立, 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()22
5min g x g ==, ∴52t <
.则实数t 的取值范围是5,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
故选:B 【点睛】
对于恒成立问题,常用到以下两个结论: (1)()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥; (2) ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.
2.A
解析:A 【分析】
根据函数的单调性分别求出函数()f x ,()g x 的最小值,比较a ,b 即可. 【详解】
()f x 的定义域是()0,∞+,
11
()1x f x x x
'-=-
=, 令()0f x '<,解得:01x <<,令()0f x '>,解得:1x >,
()f x 在(0,1)递减,在(1,)+∞递增, ()f x 的最小值是()1f 1=,故1a =,
()x g x xe lnx x =--,定义域(0,)+∞,
()()()
11111x x
x g x x e xe x x
+=+--=-',
令()1x
h x xe =-,则()()10x
h x x e '=+>,(0,)x ∈+∞
则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增,且()010h =-<,()110h e =->, 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即0
01x x e
=,即000x lnx +=,
当0(0,)x x ∈时,()0h x <,()0g x '<,函数()g x 单调递减,
当()0x x ∈+∞,
时,()0g x '>,函数()g x 单调递增, 故当0x x =时,函数取得最小值0000000()11x
g x x e lnx x lnx x =--=--=,即1b =,
所以a b =
【点睛】
关键点睛:题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,解答本题的关键是由()()()
11111x
x x g x x e xe x x
+=+-
-=-',得出当0(0,)x x ∈时,函数()g x 单调递减,当()0x x ∈+∞,
时,函数()g x 单调递增,根据000x lnx +=,求出最小值,属于中档题.
3.D
解析:D 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,从而可得关于x 的不等式,求出其解后可得正确的选项. 【详解】
()f x 的定义域为()
(),11,-∞-+∞,且()()()ln 1x x f x x e e f x --=--++=,
又当1x >时,()()ln 1x
x
f x x e e -=-++,
()11
001x x f x e e e x e
-'=
+->+->-,故()f x 在()1,+∞为增函数, 故()()12f x f x +<即为11211112121x x
x x x x ⎧<+<⎪
+-+⎨⎪-⎩
或或,解得2x <-或1x >,
故选:D. 【点睛】
方法点睛:解函数不等式,往往需要考虑函数的奇偶性和单调性,前者依据定义,后者可利用导数,注意定义域的要求.
4.A
解析:A 【分析】
求出三次函数的导数,根据导函数正负情况分析单调性和极值,图象要与x 轴三个交点,据此得出取值范围. 【详解】
由条件得2
()3(3)f x x x x x '=+=+,
令()0f x '>,可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<,可得解集为(3,0)-
则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增,在(3,0)-上单调递减,又9
(3)2
f c -=
+,(0)f c =,要使()f x 有3个不同的零点,则902c c <<
+,所以9
02
c -<<. 故选:A
导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
5.A
解析:A 【分析】
由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立,利用参数分离求得参数范围. 【详解】
因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立,则()2
340f x x x m '=++≥所以
234m x x ≥--在R 上恒成立,令()2
34g x x x =--,则()max m g x ≥
因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-,所以()max 24
33g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
故4
3m ≥
故选:A 【点睛】
方法点晴:本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题,结合参数分离法求得参数范围.
6.A
解析:A 【分析】
()0f x =
有两解变形为m x
x
e e =
有两解,
设()x
x
g x e
=,利用导数确定函数的单调性、极值,结合()g x 的大致图象可得结论. 【详解】
由()2sin x m f x x +=
-
得m x
x
e e =
,设()x
x
g x e
=
,则()g x '=
, 易知当04
x π
<<时,()0g x '>,()g x 递增,当
34
4
x π
π
<<
时,()0g x '<,()g x 递减,
(0)0g =,414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,34
314g e ππ
⎛⎫= ⎪⎝⎭
,如图是()g x 的大致图象,
由
2sin m
x
x e
e
=有两解得3
44
11
m
e
e e
ππ
≤<,所以3
44
m
ππ
-≤<-.
故选:A.
【点睛】
关键点点睛:本题考查函数的零点问题,解题关键是转化.函数的零点转化为方程的解,再用分离参数变形为
2
m
x
x
e
e
=,问题转化为
2
()
x
x
g x
e
=的图象与直线m
y e
=有两个交点,利用导数研究函数()
g x的单调性、极值后可得.
7.A
解析:A
【分析】
分析函数()
f x、()
f x
'的奇偶性,以及
2
f
π⎛⎫
' ⎪
⎝⎭
、()
fπ
'的符号,利用排除法可得出合适的选项.
【详解】
函数()cos
f x x x
=的定义域为R,()()()
cos cos
f x x x x x f x
-=--=-=-,
即函数()cos
f x x x
=为奇函数,
()cos sin
f x x x x
'=-,函数()
f x
'的定义域为R,
()()()()
cos sin cos sin
f x x x x x x x f x
''
-=-+-=-=,函数()
f x
'为偶函数,排除B、C选项;
22
f
ππ
⎛⎫
'=-
⎪
⎝⎭
,()1
fπ
'=-,则()0
2
f f
π
π
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
''.
对于D选项,图中的偶函数为()
f x
',由0
2
f
π⎛⎫
'<
⎪
⎝⎭
,()0
fπ
'<与题图不符,D选项错误,
故选:A.
【点睛】
思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;
(2)从函数的值域,判断图象的上下位置. (3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (5)函数的特征点,排除不合要求的图象.
8.A
解析:A 【分析】
对函数求导,求出函数()y f x =的极值点,分析函数的单调性,再将极值与端点函数值比较大小,找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值. 【详解】
()31218f x x x =-+,则()2312f x x '=-,令'0f x
,解得2x =±,列表如下:
所以,函数y f x =的极大值为234f -=,极小值为22f =,
又()327f -=,()39f =,因此,函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34, 故选:A . 【点睛】
方法点睛:本题考查利用导数求函数在定区间上的最值,解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行,考查计算能力,属于中等题.
9.C
解析:C 【分析】
构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--,解不等式()0g x >即可,对()g x 求导得
()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->,可得()g x 在R 上单调递增,且(0)0g =,
根据单调性可得0x >,即得正确答案. 【详解】
令()()3x x
g x e f x e =⋅--,
则()()()[()()1]0x x x x
g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->,
所以()g x 在R 上单调递增, 又因为0
(0)(0)30g e f e =⋅--=, 所以()0>g x ⇒0x >,
即不等式的解集是(0)+∞,
,
故选:C 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--,所要解的不等式等价于
()0g x >,且(0)0g =,所以()()0g x g >,因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 10.A
解析:A 【分析】
由导函数的图象得到导函数的符号,利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】
由导函数的图象知:()2,0x ∈-时,()0f x '<,()0,x ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在()2,0-上单调递减,在()0,∞+上单调递增, 因为()211f a +≤,()21f -=,()41f =, 所以2214a -<+<,
可得:3322
a -
<<, 故选:A. 【点睛】
本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性,以及利用函数的单调性解不等式,属于中档题.
11.C
解析:C 【详解】
分析:函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值,则极大值在()1,2之
间,一阶导函数有根在()1,2,且左侧函数值小于0,右侧函数值大于0,列不等式求解 详解:f ′(x )=3ax 2+4x +1,x ∈(1,2).
a =0时,f ′(x )=4x +1>0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去. a ≠0时,△=16﹣12a . 由△≤0,解得4
3
a ≥,此时f ′(x )≥0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去.
由△>0,解得a 43<
(a ≠0),由f ′(x )=0,解得x 123a
--=,
x 223a
-+=
.
当403
a <<时,x 1<0,x 2<0,因此f ′(x )≥0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去.
当a <0时,x 1>0,x 2<0,∵函数f (x )=ax 3+2x 2+x +1在(1,2)上有最大值无最小值, ∴必然有f ′(x 1)=0,∴1243a
---<<2,a <0.
解得:53-<a 34
-
<. 综上可得:53
-<a 34
-<. 故选:C .
点睛:极值转化为最值的性质:
1、若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值,且无极大值,那么极小值为()f x 的最小值;
2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值,且无极小值,那么极大值为()f x 的最大值;
12.A
解析:A 【分析】
求导得()3(1)(1)f x x x =+-',从而知函数()f x 的单调性,再结合(0)0f =,f (1)
2=,即可得解 【详解】
.
3()3f x x x =-,2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-',
令()0f x '=,则1x =或1-(舍负),
当01x <时,()0f x '>,()f x 单调递增;当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减. 函数()f x 在[0,]m 上最大值为2,最小值为0,且(0)(3)0f f ==,f (1)2=,
13m ∴≤≤
故选:A. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值问题,理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联
系是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
二、填空题
13.【分析】当时证明出由题意可得出可得出结合函数的单调性可求得实数的取值范围【详解】当时先证明出构造函数则则函数在区间上单调递增所以所以函数在区间上单调递增当时所以由可得所以当时即令则所以函数在区间上单
解析:11,e e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
【分析】
当[]
1,2x ∈时,证明出11x
x e x e +>-,由题意可得出11x
x
x a e e -≤≤+,可得出
()max min
11x x x a e e ⎛⎫
-≤≤+
⎪⎝
⎭,结合函数的单调性可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当[]
1,2x ∈时,先证明出11x
x e x e +
>-,构造函数()11x
x f x e x e
=+-+, 则()1
1x
x f x e e
'=-
-,则函数()f x '在区间[]1,2上单调递增, 所以,()()1
110f x f e e
''≥=-
->,所以,函数()f x 在区间[]1,2上单调递增, 当[]
1,2x ∈时,()()110f x f e e ≥=+>,所以,1
1x x e x e
+>-. 由()110x
x e a x a e ⎛
⎫+
---≤ ⎪⎝
⎭
,可得11x
x x a e e -≤≤+,所以,()max min
11x
x x a e e ⎛⎫
-≤≤+
⎪⎝
⎭. 当[]
1,2x ∈时,011x ≤-≤,即()max 11x -=, 令()1x
x g x e e =+
,则()10x
x
g x e e
'=->,所以,函数()g x 在区间[]1,2上单调递增, 当[]
1,2x ∈时,()()min 1
1g x g e e ==+
,所以,11a e e
≤≤+. 因此,实数a 的取值范围是11,e e
⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
. 故答案为:11,e e
⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
(1)x D ∀∈,()()min m f x m f x ≤⇔≤; (2)x D ∀∈,()()max m f x m f x ≥⇔≥; (3)x D ∃∈,()()max m f x m f x ≤⇔≤; (4)x D ∃∈,()()min m f x m f x ≥⇔≥.
14.①②④【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确;利用导数研究函数的单调性求得函数的值域判断②正确;利用导数研究函数的单调性进行变形得到③是错误的数形结合思想可以判断④是正确的【详解】因为所以所以
解析:①②④ 【分析】
首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确;利用导数研究函数的单调性,求得函数的值域,判断②正确;利用导数研究函数sin ()x
g x x
=的单调性,进行变形得到③是错误的,数形结合思想可以判断④是正确的. 【详解】
因为()cos sin f x x x x =-,
所以()()cos()sin()cos sin ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-, 所以()f x 为奇函数,所以函数()f x 的图象关于原点对称,所以①正确; 因为'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-, 因为(0,)x π∈,所以'()0f x <, 所以()f x 在(0,)π上单调递减,
所以()()(0)0f f x f ππ-=<<=,所以()0f x π-<<,所以②正确;
令sin ()x g x x
=
,2
cos sin '()x x x
g x x -=, 由②可知,()f x 在(0,)π上单调递减,所以)'(0g x <,
所以()g x 在(0,)π上单调递减, 若120x x π<<<,所以12
12
sin sin x x x x >, 即
11
22
sin sin x x x x <,所以③错误; 若sin ax x bx <<对于0,
2x π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
恒成立,相当于sin y x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上落在直线y ax =的上方,落在直线y bx =的下方, 结合图形,可知a 的最大值为连接(0,0),(
,1)2
π
的直线的斜率,即
2π
,
b 的最小值为曲线sin y x =在(0,0)处的切线的斜率,即0'|1x y ==,
所以④正确;
故正确答案为:①②④. 【点睛】
方法点睛:该题属于选择性填空题,解决此类问题的方法: (1)利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性; (2)利用导数研究函数的单调性,从而求得其值域; (3)转化不等式,构造新函数,求导解决问题; (4)数形结合,找出范围.
15.【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增;当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为:【点睛】本题考查利用导数求解函数 解析:
427
【分析】
利用导数研究函数2
1f x x x 的单调性,由此可求得该函数的极大值.
【详解】
()()2
1f x x x =-,定义域为R ,()()()()()2
121311f x x x x x x '=-+-=--.
令()0f x '=,可得1
3
x =或1x =. 当1
3
x <
或1x >时,()0f x '>,此时,函数2
1f x x x 单调递增;
当1
13x <<时,()0f x '<,此时,函数2
1f x x x 单调递减.
所以,函数2
1f x
x x 在13
x =处取得极大值,且极大值为
2
1114133327
f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:427
. 【点睛】
本题考查利用导数求解函数的极值,考查计算能力,属于中等题.
16.【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为:【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析:
283
【分析】
求函数导数,解得()0f x '=的根,判断导函数在2x =±两侧区间的符号,即可求解. 【详解】
()31
443
f x x x =-+,
2()4,f x x '∴=-
由()0f x '=解得2x =±,
2x ∴<-或2x >时,()0f x '>,当22x -<<时,()0f x '<, 2x ∴=-是()f x 的极大值点,
∴函数的极大值为128(2)(8)8433
f -=⨯-++=
, 故答案为:283
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的求导公式,二次函数的图象,以及函数极大值点的定义及其求法,属于中档题.
17.【分析】求得函数的导函数根据在区间上有极值求得的取值范围【详解】令得由于分离常数得构造函数所以在上递减在上递增下证:构造函数当时①而即所以所以由①可得所以当时单调递增由于所以当时故也即由于所以所以的 解析:4
(2,
)ln 21
+ 【分析】
求得函数()f x 的导函数()'
f x ,根据()f x 在区间2
(
,2)e
上有极值,求得a 的取值范围. 【详解】
()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--,令'0f x
得2ln 0x a x a --=,
由于
22
2,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e
<<<<<+<, 分离常数a 得21ln x
a x
=
+.
构造函数()21ln x h x x =+,()()'22ln 1ln x h x x =+,所以()h x 在2,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减,在()1,2上递增,()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln e
e
h h h e e e e
⎛⎫
======
⎪+⎝⎭+. 下证22e e >:
构造函数()22x
g x x =-,()'
2ln 22x
g x =-,当2x ≥时,
22ln 222ln 22x -≥-①,
而1
ln 2ln 2e =<=<,即1ln 212
<<,所以222ln 24<<,所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时,()g x 单调递增.
由于()20g =,所以当2x >时,()()20g x g >=,故()0g e >,也即
22022e e e e ->⇒>.
由于()22ln 2ln 2e
e
e e >⇒>,所以()22h h e ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
. 所以a 的取值范围是4
(2,)ln 21
+ 故答案为:4
(2,)ln 21
+ 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.
18.【分析】求得导函数后代入不等式则可将不等式化为根据能成立的思想可得利用基本不等式可求得最小值进而得到结果【详解】即为整理得到即使得成立(当且仅当即时取等号)即实数的取值范围为故答案为:【点睛】本题考
解析:
)
+∞
【分析】
求得导函数后,代入不等式则可将不等式化为1
2a x x
>+
,根据能成立的思想可得min 12a x x ⎛
⎫>+ ⎪⎝
⎭,利用基本不等式可求得最小值,进而得到结果.
【详解】
()()()2
ln 12f x x x a x x a '=++-+-,
()()f x xf x '∴>即为()()()2
2
2ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a +->++-+-,
整理得到2
2210x ax -+<,即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得2211
22x a x x x
+>=+
成立,
12x x +
≥
=12x x =
,即x =
时取等号),a ∴>, 即实数a
的取值范围为)
+∞.
故答案为:)
+∞.
【点睛】
本题考查利用导数解决能成立的问题,关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题,进而通过求解函数最值得到结果.
19.1【分析】分析可得g (x )为R 上连续的奇函数且在R 上为增函数说明函数只有1个零点可得选项【详解】函数是定义在R 上连续的奇函数则函数其定义域为R 则则为R 上连续的奇函数则又由当时则有即函数为上的增函数又
解析:1 【分析】
分析可得g (x )为R 上连续的奇函数,且在R 上为增函数,说明函数()2
()g x x f x =只有
1个零点,可得选项. 【详解】
()()2g x x f x =,函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数,
则函数()()2
g x x f x =,其定义域为R ,
则()()()()2
g x x f x g x -=--=-,
则()g x 为R 上连续的奇函数,()()2
g x x f x =,
则()()()()()2
22g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦,
又由当 0x >时,()()20xf x f x '+>,
则有()0g x '>,即函数() g x 为()0,∞+上的增函数, 又由()g x 为R 上连续的奇函数,且()00g =, 则()g x 为R 上的增函数,
故函数()()2
g x x f x =只有1个零点,
故答案为:1. 【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性、以及函数的零点个数的判断,属于中档题.
20.【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得:;由可得:所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为:【点睛】本题主要考查了利
解析:2
168ln 2,10e ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦
【分析】
设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式,得到两个方程联立可得2
008ln 2a x x =-+,
2000()8ln 2h x x x =-+,1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,让a 取0()h x 值域即可.
【详解】
设()00,Q x y 、则()00,P x y -
所以2002y x =--,008ln y a x -=+,联立可得2
008ln 2a x x =-+ 即2
008ln 2a x x =-+对于1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
有解,
令2
000()8ln 2h x x x =-+,
200000
28
8()2x h x x x x -'=-=,
由0()0h x '>可得:2x e <<;由0()0h x '<可得:
1
2x e
<<, 所以0()h x 在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减,在[]2,e 上单调递增,
20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-,
2
211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
()()2
28ln 26h e e e e =-+=-,
所以0max 2
1()10h x e =+
, 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡
⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
, 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
, 故答案为:2168ln 2,10e ⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了利用导数解决存在性问题,涉及求函数的值域,属于中档题.
三、解答题
21.(1)()f x 单调递增区间为(0,)+∞,无递减区;(2)证明见解析. 【分析】
(1)求导数()'
f x ,由()0f x '>确定增区间,由()0f x '<得减区间;
(2)由(1)得1x >时,()0f x >,即11
ln ()2x x x
<
-,令1,1,2,
,k x k n n =+=,代
入后得n 个不等式,相加后可得证明题设结论. 【详解】
(1)解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞
由21
()ln 2
x f x x x -=-,得()ln 1f x x x '=--
令1()ln 1()1g x x x g x x
'=--⇒=-
()0(1,)()0(0,1)g x x g x x ''>⇒∈+∞<⇒∈
即()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,
故()(1)0f x f '
''≥=,于是()f x 单调递增区间为(0,)+∞,无递减区
(2)证明:由(1)可知()f x 在(0,)+∞上单调递增函数,又(1)0f =,
∴当1x >时,()0f x >,11ln 2x x x ⎫
⎛∴<- ⎪⎝⎭
1ln 112k k k n k k a n n n k +-⎫⎫⎛⎛∴=+<+- ⎪ ⎪+⎝⎝⎭⎭1(1,2,)2k
k k n n n k ⎫⎛=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭
123112122111n n n a a a a n n n n n n ⎫
⎛∴+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭
1121221n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎫⎛=+ ⎪+⎝⎭(1)(1)12122214n n n n n n n ++⎫
⎛⎪ +=+=⎪ +⎪
⎝⎭
于是()*12321
4
n n a a a a n ++++⋅⋅⋅+<∈N 得证. 【点睛】
关键点点睛:本题考查用导数求单调区间,用导数证明数列不等式.这类问题的解决,通常后一小题需要用到前一小题(或前面所有)的结论,通过变形,赋值等手段进行证明求解.如本题第(1)小题函数单调性得出不等式11
ln ()2x x x
<-,只要在此不等式中对x 赋值1,1,2,,k
x k n n
=+
=,n 个不等式相加即可.
22.(1)最大值为92
,最小值为5027-;(2)[]2,2-.
【分析】
(1)求出导数,由()10f '-=求出参数值,代入导函数中,求出极值点.比较极值点处函数值与区间端点函数值的大小,得出最值.
(2)由导函数为二次函数,且在(],2-∞和[)2,+∞函数值恒大于等于零,结合二次函数图像求解. 【详解】
解:(1)由原式的()3
2
44f x x ax x a =--+,∴()2
324f x x ax '=--;
由()10f '-=,得12
a =
,此时有()2
34f x x x '=--; ()10f '-=得43x =
或1x =-,故极值点为4
3
x =和1x =- 又450327f ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
,()912f -=,()20f -=,()20f =, 所以()f x 在[]2,2-上的最大值为
92
,最小值为50
27-. (2)()2
324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点()0,4-的二次函数,
由条件知,()2
324f x x ax '=--在(]
,2-∞-和[)2,+∞上恒大于等于零
故仅须满足()20f '-≥,()20f '≥, ∴22a -≤≤.
所以a 的取值范围为[]2,2-. 【点睛】
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
23.(1)()g x 的单调递减区间为(,1)-∞,单调递增区间为(1,)+∞;(2)2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,
. 【分析】
(1)当1a =时()1
22x f x e
x -=-,先对()f x 求导得()g x 的解析式,再对()g x 求导,
由()0g x '<得单间区间,由()0g x '>得单增区间; (2)由题意可得方程()1
2
02x f x e
ax --==有三个不等的实根,等价于方程1
22x e a x
-=有
三个不等的实根,即y a =与12
2()(0)x e
h x x x
-=≠两个函数图象有三个不同的交点,对()h x 求导判断其单调性,作出其图象,数形结合即可求解.
【详解】
(1)当1a =时,1
()22x f x e x -'=-, 令()()g x f x '=,则1
()22x g x e -'=-,
当1x <时()0g x '<,()g x 在(,1)-∞上单调递减; 当1x >时()0g x '>,()g x 在(1,)+∞上单调递增.
所以()g x 的单调递减区间为(,1)-∞,单调递增区间为(1,)+∞; (2)
2
(0)0f e
=
≠,0x ∴≠,
所以若()f x 在R 上恰有三个零点等价于()1
202x f x e
ax --==有三个不等的实根,
等价于方程1
2
2x e a x -=有三个不等的实根, 设1
2
2()(0)x e h x x x
-=≠, 则y a =与12
2()(0)x e
h x x x
-=≠两个函数图象有三个不同的交点, 因为121143
2222(2)
()x x x e x e x e x h x x x
---⋅-⋅-'== 令()0h x '=,得2x =,且(2)2
e
h =
当()x ∈∞-,0时,()0h x '>,()h x 单调递增且()()0,h x ∈+∞,
当()0,2x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
,, 当()0,x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增且()+2e h x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
,
作出其图象如图所示:
当2x =时,212
2(2)22
e e
h -==, 由图知当2
e
a >
时,y a =与()y h x =的图象有三个交点, 即()f x 有三个不同的零点,
所以a 的取值范围是2
e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,
. 【点睛】
方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 24.(1)12a ≤;(2)12
a =. 【分析】
(1)对函数求导,根据题中条件,得到()0f x '≤在()1,+∞上恒成立,推出2
a ≤
在()1,+∞上恒成立,进而可得出结果;
(2)对函数求导,先讨论0a ≤,判断函数在定义域上单调,无最值,舍去;再讨论
0a >,利用导数的方法研究函数的单调性,得出最大值,进而可求出结果. 【详解】
(1)因为()ln 1f x a x =,所以()0
a f x x '=≤在()1,+∞上恒成立,
所以a ≤
在()1,+∞上恒成立,
又1x >1
2
>,所以只需12a ≤即可,
即a 的取值范围是1
2
a ≤
;
(2)因为函数()ln 1f x a x =的定义域为()0,∞+, 为使函数()f x 存在最大值,则()f x 在定义域内不单调; 因为()
a f x x '=
, 当0a ≤时,()0
a f x x '=
-<在()0,∞+上显然恒成立,所以()f x 在定义域上单调递减,无最值,不满足题意; 当0a >时,由()0
a f x x '=
=可得24x a =, 所以当()2
0,4x a ∈时,()0
a f x x '=
>,则()f x 单调递增; 当()2
4,x a ∈+∞时,()0
a f x x '=
<,则()f x 单调递减;
所以()(
)()()2
2
max 4ln 412ln 221f x f a
a a a a a ===-+,
又最大值不大于0,即()
()()2
max
42ln 2210f x f a a a a ==-+≤, 令()ln 1h x x x x =-+,0a >,则()10110h =-+=,
又()ln 11ln h x x x '=+-=,
当()0,1x ∈时,()ln 0h x x '=<,则()ln 1h x x x x =-+单调递减; 当()1,x ∈+∞时,()ln 0h x x '=>,则()ln 1h x x x x =-+单调递增, 所以()()min 10h x h ==,即()()22ln 221h a a a a =-+的最小值为0,此时12
a =, 为使()2ln 2210a a a -+≤恒成立,只能()2ln 2210a a a -+=,即12
a =. 综上,12
a =. 【点睛】 思路点睛:
利用导数的方法研究函数的最值问题时,一般需要先对函数求导,根据导数的方法研究函数单调性,求出极值,结合题中条件,即可求出最值.(有时解析式中会含有参数,求解时,要讨论参数的不同取值范围,再判断函数的单调性,进行求解) 25.(1)证明见解析;(2)1a ≥. 【分析】
(1)当1a =时,求导得到()111x f x x x
-'=-=,判断出函数的单调性,求出最值,可证得命题成立;
(2)当0a ≤且1x >时,()0f x <不满足题意,故0a >,又定义域为()0,∞+,讲不等式化简,参变分离后构造新函数,求导判断单调性并求出最值,可得实数a 的取值范围. 【详解】
(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+,当1a =时,由()11
1x f x x x
-'=-=, 当()0,1x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增;. 且()10f =,故()f x 存在唯一的零点;
(2)当0a ≤时,不满足()0f x ≥恒成立,故0a > 由定义域为()0,∞+,()1ln 0f x ax x =--≥可得1ln x a x
+≥, 令1()lnx h x x +=
,则2()lnx
h x x
'=-, 则当01x <<时,()0h x '>,函数()h x 单调递增,当1x >时,()0h x '<,函数()h x 单调
递减,
故当1x =时,函数()h x 取得最大值h (1)1=, 故实数a 的取值范围是1a ≥.
【点睛】
方法点睛:本题考查函数零点的问题,考查导数的应用,考查不等式的恒成立问题,关于恒成立问题的几种常见解法总结如下:
1.参变分离法,将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题;
2.主元变换法,把已知取值范围的变量作为主元,把求取值范围的变量看作参数;
3.分类讨论,利用函数的性质讨论参数,分别判断单调性求出最值;
4.数形结合法,将不等式两端的式子分别看成两个函数,作出函数图象,列出参数的不等式求解.
26.(1)322ln 20x y ---=;(2)(
2
2,e e ⎤⎦.
【分析】
(1)求出导函数,令()3f x '=求得切点坐标后可得切线方程;
(2)求导函数()'
f x ,确定()f x 在定义域内只有一个极值点,因此这个极值点必在区间
1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭,上,然后得函数在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的极小值,由极小值小于0,区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论. 【详解】
由已知函数()f x 定义域是(0,)+∞,
(1)2
()2ln f x x x =-,22(1)(1)()2x x f x x x x
'
+-=-
=, 由2()23f x x x
'=-
=解得2x =(1
2x =-舍去),
又()422ln 2f =-,所以切线方程为(42ln 2)3(2)y x --=-,即
322ln 20x y ---=;
(2
)222()2x x a x a f x x x x x
⎛-+ -⎝⎭⎝⎭'=-==
,
易知()f x
()f x
有两个零点,则1e e <<,即2
222a e e
<<,
此时在1e ⎛ ⎝上()0f x '<,()f x
递减,在e ⎫
⎪⎪⎭
上()0f x '>,
()f x 递增, ()f x
在x =
时取得极小值2a f a =-,
所以22
111ln 0
()ln 002f a e e
e f e e a e a f a ⎧⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎨⎪
⎪=-<⎪⎩解得22e a e <≤.
综上a 的范围是(
2
2,e e ⎤⎦.
【点睛】
关键点点睛:本题考查导数的几何意义,考查用导数研究函数的零点问题.函数在某个区间上的零点,解题时先从大处入手,由导数确定函数的极值点,利用单调区间上的零点最多只有一个,因此函数的极值点必在给定区间内,从而缩小参数的a 范围,在此范围内计算()f x 的单调性与极值,结合零点存在定理可得结论.。