高考数学二轮复习专题六概率与统计第2讲随机变量及其分布课件理

探究提高 对于复杂事件的概率，要先辨析事件的构成，理清 各事件之间的关系，并依据互斥事件概率的和，或者相互独立 事件概率的积的公式列出关系式；含“至多”“至少”类词语 的事件可转化为对立事件的概率求解；并注意正难则反思想的 应用(即题目较难的也可从对立事件的角度考虑).
[微题型2] 独立重复试验的概率 【例1－2】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当 n ＝ 19 时 ， E(Y) ＝ 19×200×0.68 ＋ (19×200 ＋ 500)×0.2 ＋ (19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
分布列为
X0
1
2
3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X) ＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
探究提高 在解题时注意辨别独立重复试验的基本特征： (1)在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； (2)在每次试验中，事件发生的概率相同.
解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日 销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天 的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为 P(X＝0) ＝C03·(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋… ＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差. (4)性质 ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； ③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年 内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2， 0.4，0.2，0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
解 (1)C 班学生人数约为 100×5＋87＋8＝100×280＝40(人). (2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i＝1， 2，…，5. 事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”，j＝1，2，…， 8. 由题意可知 P(Ai)＝15，i＝1，2，…，5； P(Cj)＝18，j＝1，2，…，8.
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立 重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0， 1，2，…，n.
4.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0，1，2，…，m，其中 m＝min{M， n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量 X 服从超 几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参 数是 M，N，n.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝15×18＝410，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…， 8.设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由 题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2 ∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此 P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3) ＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3) ＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×410＝38. (3)μ1＜μ0.
热点一 相互独立事件、独立重复试验概率模型 [微题型1] 相互独立事件的概率
【例1－1】 (2016·北京卷)A，B，C三个班共有100名学生，为 调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一 周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数； (2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记 为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A，B，C三个班中各任取一名学生，他们该周的锻炼时 间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据 构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试 判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明).
热点二 离散型随机变量的分布列 [微题型1] 利用相互独立事件、互斥事件的概率求分布列 【例 2－1】 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的 区域 C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向 乙回球.规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球，队员小明回球 的落点在 C 上的概率为12，在 D 上的概率为13；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为15，在 D 上的概
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个 容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝11050＝230，P(X＝1.5)＝13000＝130，P(X＝2)＝12050＝14， P(X＝2.5)＝12000＝15，P(X＝3)＝11000＝110.
【训练1】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安 排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据， 如下表所示.
一次购物 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
量
顾客数(人) x
30
25
y
10
结算时间
1
1.5
2
2.5
3
(分种/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列 与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾 客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 钟的概率. (注：将频率视为概率)
当n＝20时， E(Y) ＝ 20×200×0.88 ＋ (20×200 ＋ 500)×0.08 ＋ (20×200 ＋ 2×500)×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的 期望值，故应选n＝19.
考点整合 1.条件概率
在 A 发生的条件下 B 发生的概率 P(B|A)＝PP（（AAB））. 2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B). 3.独立重复试验
由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3， 由事件的独立性和互斥性，得 P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3) ＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3) ＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝130， 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 130.
率为35.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回 球互不影响.求：
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和X的分布列与数学期望.
解 (1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i＝0，1，3)， 则 P(A3)＝12，P(A1)＝13，P(A0)＝1－12－13＝16； 记 Bj 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分” (j＝0，1，3)， 则 P(B3)＝15，P(B1)＝35，P(B0)＝1－15－35＝15. 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次落点在乙上”.
X的分布列为
X 1 1.5 2 2.5 3
P
3 20
3 10
1 4
1 5
1 10
X 的数学期望为 E(X)＝1×230＋1.5×130＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.
(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”， Xi(i＝1，2)为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1 ＝1 且 X2＝1)＋P(X1＝1 且 X2＝1.5)＋P(X1＝1.5 且 X2＝1). 由于各顾客的结算相互独立，且 X1，X2 的分布列都与 X 的分 布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5) ×P(X2＝1)＝230×230＋230×130＋130×230＝890. 该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为890.
5.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，ξ 取 每一个值 xi 的概率为 P(ξ＝xi)＝pi，则称下表
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
P
p1
p2
p3
…
pi
…
为离散型随机变量ξ的分布列. (2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1，2，3，…). (3)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学 期望或均值.
第2讲 随机变量及其分布
高考定位 概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、 互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期 望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位 置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布 的期望等.
真题感悟 (2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年 后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外 购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备 件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购 买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使 用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换 的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更 换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零 件数. (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19 与n＝20之中选其一，应选用哪个？
日销售量的频率分布直方图，如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量 相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100 个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随 机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).