2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：第三部分回顾4平面向量Word版含解析

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平面向量
[ 必记知识 ]
1. 平面向量共线的坐标表示的两种形式
(1)若 a ＝ (x 1 ，y 1)， b ＝ (x 2，y 2)，则 a ∥ b? x 1y 2＝ x 2y 1，此形式对随意愿量
a ， b(
b ≠ 0)都
合用．
x 1 y 1
(2)若 a ＝ (x 1， y 1) ，b ＝ (x 2， y 2)，且 x 2y 2 ≠0，则 a ∥b? ＝
. x 2 y 2
x 1
y 1 需要注意的是能够利用 ＝ 来判断 a ∥b ，可是反过来不必定建立．
2. 向量法证明三点共线
→ → →
(1)关于 OA ＝ λOB ＋ μ OC(λ， μ 为实数 )，若 A ，B ， C 三点共线，则 λ＋μ＝ 1，反之， 也建立．
(2)若 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)三点共线，则 (x 2－ x 1)(y 3－ y 2)＝ (x 3－x 2)(y 2－ y 1)或( x 2
－ x 1)(y 3－ y 1)＝ (x 3－ x 1)(y 2 －y 1)或(x 3－ x 1)(y 3－ y 2)＝ (x 3－ x 2) ·(y 3－ y 1)．相同地， 当这些条件中有一个建即刻， A ，B ， C 三点共线．
3. 平面向量的数目积
已知非零向量
a ＝ ( x 1， y 1)，
b ＝(x 2， y 2)， θ为向量
结论 几何表示 模 |a|＝ a ·a
数目积 a ·b ＝|a||b|cos θ 夹角
cos θ＝
a ·b
|a||b|
⊥
a ·
b ＝0
a b 的充要条件
≤
|a b|· |a||b| |a b|·与 |a||b|的关系
(当且仅当 a ∥b
时等号建立 )
4. 两向量的夹角与数目积
设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则当
θ＝0°时， cos θ＝ 1，a ·b ＝ |a||b|；
当 θ为锐角时， cos θ>0，a ·b>0；当 θ为直角时， cos θ＝ 0， a ·b ＝ 0；
a ，
b 的夹角．
坐标表示
|a|＝ 2
2
x 1＋ y 1
a ·
b ＝ x 1x 2＋y 1y 2
x 1x 2＋ y 1y 2
cos θ＝
2
2
2
2 x 1＋ y 1·
x 2＋ y 2
x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0
2 2
|x 1x 2＋ y 1y 2|≤ x 1＋ y 1·
x 22＋ y 22
当 θ为钝角时， cos θ<0，a ·b<0；
当 θ＝180°时， cos θ＝－ 1， a ·b ＝－ |a||b|.
[ 必会结论 ]
1. 三点共线的判断
→ →
A ，
B ，
C 三点共线 ? AB ， AC 共线； → → →
→→→
向量 PA ， PB ， PC 中三终点 A ， B ， C 共线 ? 存在实数 α， β 使得 PA ＝ αPB ＋ βPC ，且 α
＋β＝ 1.
2. 三角形 “ 四心 ” 向量形式的充要条件
设 O 为△ ABC 所在平面上一点，角 A ，B ， C 所对的边长分别为
a ，
b ，
c ，则
→ → → a
(1)O 为△ ABC 的外心 ? |OA|＝ |OB|＝ |OC|＝ 2sin A .
→ → →
(2)O 为△ ABC 的重心 ? OA ＋ OB ＋ OC ＝0.
→→ →→ → → (3)O 为△ ABC 的垂心 ? OA ·OB ＝ OB ·OC ＝ OC ·OA .
(4)O 为△ ABC 的心里 ? → → →
aOA ＋ bOB ＋ cOC ＝0.
[ 必练习题 ]
1．已知向量 a ＝ (2 ，1)， b ＝ (－ 1，m)，且 (a ＋b) ∥(a － b)，则实数 m 的值为 ( )
A ． 2
B ．－ 2
1
1
C.2
D ．－ 2
分析：选 D. 由于 a ＝ (2，1)，b ＝ (－ 1，m) ，所以 a ＋ b ＝(1 ，1＋m)，a － b ＝(3 ，1－ m)．又
1
由于 (a ＋ b)∥ (a － b)，所以 1× (1－ m)＝ (1＋ m)×3，解得 m ＝－ 2.应选 D.
2．△ ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 → → → → → →
1，2AO ＝AB ＋AC ，且 |OA|＝ |AB|，则向量 CA
在 → ) 向量 CB 方向上的投影为 (
1
3
A. 2
B ．－ 2 1
3 C ．－ 2
D.2
分析： 选 D. 依题意知 ，圆心 O 为 BC 的中点 ，即 BC 是 △ ABC 的外接圆的直径 ， AC ⊥
→ → →
AB.又 AO ＝ OB ＝ AB ＝ 1，所以 ∠ ABC ＝ 60°，∠ACB ＝30°，|CA|＝ 3，CA 在 CB 方向上的投影
→
3
3
，应选 D.
为|CA|cos 30°＝ 3×
2 ＝ 2
3．若两个非零向量 a ， b 知足 |a ＋ b|＝ |a － b|＝ 2|b|，则向量 a ＋ b 与 a 的夹角为 (
)
π π A. 6
B. 3
2π5π
C. 3
D. 6
分析：选 A. 由于 |a＋ b|＝ |a－ b|，所以 |a＋ b|2＝ |a－b|2，所以 a·b＝ 0.又 |a＋ b|＝ 2|b|，所以
|a＋ b|2＝ 4|b|2， |a|2＝ 3|b|2，所以 |a|＝3|b|，cos〈 a＋ b，a〉＝（ a＋ b）·a a2＋ a·b 2
＝＝|a| ＝|a＋ b||a| |a＋ b||a| 2|b||a|
|a|
π
3
，故 a＋ b 与 a 的夹角为
2|b|＝
2 6
.
4．已知单位向量 e1， e2，且〈 e1， e2〉＝
π
，若向量 a＝ e1－ 2e2，则 |a|＝ ________．
3
分析：由于 |e1|＝ |e2 |＝ 1，〈 e1， e2〉＝
ππ
，所以 |a|2＝ |e1－ 2e2|2＝ 1－ 4|e1|·|e2|cos ＋ 4|e2|2＝ 1
3 3
－4× 1× 1×1
＋ 4＝ 3，即 |a|＝ 3. 2
答案： 3。