广东省东莞市第七高级中学高二数学下学期第二次月考试

东莞市第七高级中学2011-2012学年高二下学期第二次月考数学（理）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：2n ad bc k a b c d a c b d (-)(+)(+)(+)(+)
＝
ˆˆˆ∑∑n
i i
i=1
n
2
2i
i=1
x y
-nxy
b
=,a =y -bx.x
-nx
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．为了准备晚饭，小张找出了5种不同的新鲜蔬菜和4种冷冻蔬菜．如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，不同的选择
种数是( )
A ．5
B ．4
C ．9
D ．20 2、若复数(a 2
-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1
B.2
C.1或2
D.-1
3、下列各式正确的是 （ ）
（A ）(sin )cos (ααα'=为常数) （B ）(cos )sin x x '= （C ）(sin )cos x x '= （D ）5
6
1()5
x x --'=-
4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) A ．1 440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种 5、下列那个图形可以与空间平行六面体进行类比（ ）
A 、三角形
B 、梯形
C 、平行四边形
D 、矩形
6．若13n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3
的项的系数为( )
A ．－5
B ．5
C ．405
D ．－405
7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45 B ．0.6 C ．0.65
D ．0.75
8、若随机变量X ～B (n,0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)的值是( )
A ．2×0.44
B ．2×0.45
C ．3×0.44
D ．3×0.64
9、证明),(2
1214131211+∈>-+++++
N n n n Λ假设n=k 时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是 ( )A.1项 B.1-k 项 C. k 项 D.k
2项
10、如右图，函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间
),(b a 内有极大值点（ ）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11、函数3
()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最大值是_________最小值是_______
12、7
2x x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，x 4
的系数是________．
13、某校 1 000 名学生的某次数学考试成绩 X 服从正态分布，其密度函数曲线如右图，则成绩 X 位于区间(53,68]的人数大约是________．
(()0.6826;(22)0.9544(33)0.9974)
P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=参考资料：
14、观察下列的图形中小正方形的个数，第n 个图中有 _____个小正方形.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）设复数z 满足
()12i z +=，其中i 为虚数单位，求复数z
16.（本小题满分12分）
某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果．现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用．
问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？
17．（本小题满分14分）
在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了56人，其中女性28人，男性28人，女性中有16人主要的休闲方式是看电视，另外12人主要的休闲方式是运动，男性中有8人主要的休闲方式是看电视，另外20人的主要休闲方式是运动，
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关系．
参考数据
18.（本小题满分14分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列；
(2)求X 的数学期望
19．（本小题满分14分）已知函数3
2
2
()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （1）求m 的值；
（2）若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程.
20．（本小题满分14分）在数列{}{}n n b a ,中，,21=a 41=b 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列
()*
N n ∈．
（1）求432,,a a a 及432,,b b b ，由此猜测{}{}n n b a ,的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论； (2)证明：
12
5
1112211<++++++n n b a b a b a Λ
东莞市第七高级中学2011—2012学年度第二学期第2 次月考
高二年级理科数学试题答案及评分标准
一、
选择题（本大题10小题，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）
4、解析： 两名老人相邻用捆绑法排法为A 22
种，又不能排在两端，所以只能排在中间四个位置有A 41种方法．其余5人排在余下的5个位置方法数为A 55
，故不同排法有A 22
A 41
A 55
＝960(种)．答案： B
6、解析： 由题意知2n
＝32，∴n ＝5
⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 5展开式的通项为C 5k (3x )5－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k
＝C 5k 3
5－k
·(－1)k ·x
5－2k
令5－2k ＝3，得k ＝1
∴x 3
项的系数为C 5134
(－1)1
＝－405答案： D 7、解析： 目标被击中的情况有： ①甲击中，乙未击中； ②甲未击中，乙击中； ③甲击中，乙也击中． 因此目标被击中的概率为
P ＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，
所以所求概率为0.6
0.8
＝0.75. 答案： D
8、解析： ∵X ～B (n,0.6)，∴E (X )＝n ×0.6＝3，∴n ＝5，
∴P (X ＝1)＝C 51
×0.6×0.44
＝3×0.44
. 答案： C
二、填空题：(本大题4小题，共20分)
11． 3, -17 12． 84 13 682 14．
2
)
2)(1(++n n
12、解析： 由题意可转化为求⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，T r ＋1＝C 7r x 7－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x r ＝(－2)r C 7r x 7－2r
.令7－2r ＝3
得r ＝2，即所求系数为(－2)2C 72
＝84. 答案： 84 13、解析： 由题图知 X ～N (μ，σ2
)，
其中 μ＝60，σ＝8，
∴P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝P (52＜X ≤68)＝0.682 6. ∴人数为 0.682 6×1 000≈682. 答案： 682 二、 解答题：本大题共6小题，满分80分，．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16（本小题满分12分） 解析： 由于要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序依次放入某种液体中，因此需要分步计数．由于同一类物质不同的放入顺序，反应结果可能会不同，因此这是一个排列问题．……2分
第1步，放入甲类物质，共有A 32
种方案；……4分 第2步，放入乙类物质，共有A 53种方案．……6分
根据分步乘法计算原理，共有A 32
A 53＝360种方案．……10分 因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果．……12分 17（本小题满分14分）
解析： (1)依题意得2×2列联表
看电视 运动 合计 男性 8 20 28 女生 16 12 28 合计
24
32
56
……6分
(2)假设H 0：性别与休闲方式无关……8分 由2×2列联表中的数据知
K 2
的观测值为k ＝
56×12×8－20×16
2
24×32×28×28
≈4.667，……10分
从而6.635≥k ≥3.841，……12分
故在犯错误的概率不超过0.005的情况下认为性别与休闲方式有关．……14分 18．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
解：(1) f ’(x )＝3x 2
+2mx －m 2
=(x +m )(3x －m )=0,则x =－m 或x =3
1
m , …… 2分 当x x
(－∞,－m )
－m
(－
m,m 3
1) m 3
1 (
m 3
1
,+∞) f’(x ) + 0 － 0 + f (x ) 极大值
极小值
即f (－m )＝－m 3+m 3+m 3
+1=9,∴m ＝2. ……8分
(2)由(1)知，f (x )=x 3+2x 2
－4x +1,
依题意知f ’(x )＝3x 2
＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－3
1
.…… 10分 又f (－1)＝6，f (－
31)＝27
68，…… 12分 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋3
1
)，
即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0. ……14分
20． （本小题满分14分） （1）12++=n n n a a b ，12
1++=n n n b b a
得,9,622==b a 123=a ，163=b ，204=a ，254=b ，…… 4分
于是猜测)1(+=n n a n ，2
)1(+=n b n …… 6分
下面用数学归纳法证明
①当1=n 时，结论显然成立 ②假设k n =时，结论成立。

即)1(+=k k a k ， 2
)1(+=k b k ，那么1+=k n 时，
)2)(1(21++=-=+k k a b a k k k ，2211
)2(+==++k b a b k
k
k ，所以，当1+=k n 时结论成立，由（1）
（2）可知)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n 对一切正整数成立。

…… 10分
（2）证明：当1=n 时，12
5
61111<=+b a ，…… 11分
当2≥n 时，)12)(1(++=+n n b a n n ≥)1(2+n n ，
所
以
<++++++n n b a b a b a 1112211Λ))1(1
431321(2161+++⨯+⨯+n n Λ11141313121(2161+-++-+-+=n n Λ）=)1121(2161+-+n 12
5
4161=+<，故原不等式成立。

…… 14分。