2020版高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量的应用课件

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(5)已知两非零向量a与 b,a⊥b⇔a·b=0⇔ x1x2+y1y2=0 ;a∥b⇔a·b=±|a||b|. (6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立),即
|x1x2+y1y2|≤ ������12 + ������12 · ������22 + ������22.
3.已知向量������������ =
1 2
,
3 2
, ������������ =
3 2
,
1 2
,则∠ABC=(
)
A.30° B.45° C.60° D.120°
由题意得
cos∠ABC= ������������·������������ =12×
|������������||������������|
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8.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量 的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理 学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积, 即W= |F||s|cos θ (θ为F与s的夹角).
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6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行 转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.
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7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件, 通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来 解答.
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ= x1x2+y1y2 .
(2)模:|a|= ������·������ = ������12 + ������12. (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离
(6)若������������ ∥ ������������,则 A,B,C 三点共线. ( )
(7)在△ABC 中,若������������ ·������������<0,则△ABC 为钝角三角形. ( )
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(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√基自测
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2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8
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由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,
故选D.
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D
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2
所以|a+2b|= 12=2 3.
23
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5.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=π,则������������ ·������������=
4
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|AB|=|������������|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
(4)夹角:cos θ=|������������|·|������������| =
������1������2+������1������2 .
������12+������12· ������22+������22
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5.向量在平面几何中的应用 (1)要证 AB=CD,可转化为证明������������2 = ������������2或|������������|=|������������|. (2)要证两线段 AB,CD 平行,只要证存在唯一实数 λ≠0,使等式 ������������=λ������������成立即可. (3)要证两线段 AB,CD 垂直,只需证������������ ·������������=0. (4)求夹角问题,利用夹角公式 cos θ=|������������|·|������������|.
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1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.
() (2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.
() (3)若a·b=0,则必有a⊥b. ( ) (4)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c. ( )
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3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
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4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
5.3 平面向量的数量积与平面
向量的应用
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1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= |a||b|cos θ ,规定 零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. (2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
23+
23×
1 2
1×1
=
23,
A所以∠ABC=30°,故选 A.
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4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
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.
因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4×|a|×|b|×cos 60°+4|b|2=22+4×2×1×1+4×1=12,