黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟考试数学(文)试题(wd无答案)

黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟考试数学（文）
试题
一、单选题
(★★) 1. 已知集合，，则集合的子集共有（）
A．个B．个C．个D．个
(★★) 2. 已知复数满足，则（）
A．2B．C．4D．
(★★) 3. 设函数，则的值为( )
A．-7B．-1C．0D．
(★★) 4. 双曲线 C: 的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40°B．2cos40°C．D．
(★★★) 5. 已知平面向量, 的夹角为，且，，则 ( )
A．B．C．D．
(★★) 6. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇
店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表
达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）
A．B．C．D．
(★★★) 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为 m k的星的亮度为 E k（ k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
(★★★) 8. 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：，，，，，，，，，，，……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）
A．B．C．D．
(★★★) 9. 已知函数的最大值、最小值分别为和，关于函数
有如下四个结论：
① ，；
②函数的图象关于直线对称；
③函数的图象关于点对称；
④函数在区间内是减函数．
其中，正确的结论个数是（）
A．B．C．D．
(★★★★) 10. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且
其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．B．C．D．
(★★★) 11. 已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点（点在第
四象限），若，则的值为（）
A．B．C．D．64
(★★) 12. 已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
二、填空题
(★) 13. 曲线在点处的切线方程为__________．
(★★) 14. 已知实数满足约束条件，则取最大值时的最优解是
_________．
(★★★) 15. 在长方体中，，直线与平面所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为______.
(★★★)16. △ ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c.已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0， a＝2， c ，则 C＝______.
三、解答题
(★★★) 17. 已知数列
是递增的等差数列，
， ，
，
成等比数列．
（I ）求数列 的通项公式； （II ）若
，求数列
的前 项和
.
(★★★) 18. 如图，在四棱锥
中，底面
是边长为 的正方形，
，
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点 为线段
的中点，求 到平面
的距离.
(★★★) 19. 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 （单位：万件）
与月销售单价 （单位：元/件）之间的关系，对近 个月的月销售量 和月销售单价
数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价（元/件）
月销售量（万件）
（1）若用线性回归模型拟合 与 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：
，
和
，其中有且仅有一位实习员工的计算结
果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由； （2）若用
模型拟合
与
之间的关系，可得回归方程为
，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数
分别
为
和
，请用
说明哪个回归模型的拟合效果更好；
（3）已知该商品的月销售额为 （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 ）
参考数据：
.
(★★★) 20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
(★★★) 21. 已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．如
果函数存在不动点，求实数 a的取值范围．
(★★) 22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），直线
（ t为参数），以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线 C与直线 l的极坐标方程；
（2）若直线 l与曲线C相交，交点为，直线与 x轴交于 Q点，求的取值范围．(★★★) 23. 已知对任意实数，都有恒成立.
（1）求实数的范围；
（2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值.。