立体几何共线、共点、共面问题（学生版）

立体几何共线、共点、共面问题（学生版）
领航立体几何中的共点、共线、共面及异
面直线夹角问题
一、共线问题
1、若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：
(1)AB和A1B1、BC和B1C
1、AC和A1C1分别在同一平面内；
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).
2、点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC ＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD ＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.
3、如图1，正方体
1111
ABCD A BC D
中，
1
AC与截面
1
DBC交O点，AC BD
，交M
点，求证：
1
C O M
，，三点共线．
二、共面问题
1、如图3，设P Q R S M N ，，，，，
分别为正方体1111A B C D A B C D
的棱11
11
11
A B B C C C
C D
A D A A ，，，，，的中点，求证：P Q R S M N ，，，，，共面．
2、直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、
B 、
C 、
D 、
E 、
F ，如图，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面.
3、已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面.
4、在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足
MB AM ＝NB
CN
＝QD AQ ＝PD
CP
＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.
(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)
三、共点问题
1、如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是AB AD ，的中点，G H ，分别是
BC CD ，上的点，且
2BG DH
GC HC
==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ．
2、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB α，CD β，求证：AB ，CD ，l
共点（相交于一点）．
A 1
四、异面直线夹角问题
1、S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，
且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2
π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．
求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．
2、正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．
3、如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．
4、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、
CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

M A N
C S
A C
B N
M A C
B
5、如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（）
A ．515arccos
B ．
4π C ．5
10arccos D ．
2
π
6、设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大
小等于_________．
7、如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．
8、空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD
的中点，
EF =,AD BC 所成的角。

图
1
C
图2
1
A 1
B 1
C 1
D B
C
D
E F
G
P
B
C
A
A B
C
D E F
G
9、正四面体P －ABC 中，M 为棱AB 的中点，则P A 与CM 所成角的余弦值为( )
图K42－3
A.
32 B.34 C.36 D.33
10、已知：如图K42－7，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 上的点，F 、
G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG
CD
＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、
GH 与AC 的位置关系．。