安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三测试数学试卷

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时间：
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60。

0分）
1.已知集合，，则
A. B。

C. D。

2.设的内角A，B，C所对边为a，b，c，若，,，则角
A。

B。

C。

或 D.
3.若，，,则实数之间的大小关系为．
A. B. C。

D。

4.下列说法正确的个数是
5.“”是“”的充分不必要条件；
6.是其定义域上的可导函数，“”是“在处有极值”
的充要条件；
7.命题“若，则”的否命题为“若，则”；
8.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题．
A。

1 B. 2 C。

3 D. 4
9.已知函数，则不等式的解集是
A。

B。

C。

D。

10.函数的部分图
象如图，且,则的值为
A.
B。

C。

D.
11.由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为
A. B. ln3 C。

2 D。

12.已知是定义在R上的奇函数,且对任意都有
，且,则的值为
A。

6 B。

C。

0 D。

3 13.已知函数的图象向右平移个单位
后关于y轴对称，则在区间上的最小值为
A。

B。

C。

D。

14.已知函数则函数的零点个数
为
A。

1 B。

3 C。

4 D。

6
15.已知函数，若存在，使得,则实
数b的取值范围是
A. B。

C。

D。

16.若函数与函数有公切线,则实数a的取值
范围是
A。

B. C. D。

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
17.已知命题p:“，”，则为______．
18.若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围
为______．
19.已知，则______．
20.在中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知D为边BC上一点，
,，且，则______．
三、解答题（本大题共6小题,共70.0分）
21.已知等比数列的前n项和为，,，成等差数列，且
．
22.求数列的通项公式；
23.若，证明：数列的前n项和．
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.已知函数．
32.求函数在上的单调递减区间;
33.在锐角的内角A，B,C所对边为a，b，c，已知,,求
的面积的最大值．
34.
35.
36.
37.
38.如图，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点,现以AE为折痕将
向上折起，D变为，使得平面平面ABCE．
39.
40.求证：平面平面;
41.求直线CE与平面所成角的正弦值．
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.已知F是抛物线C：的焦点，过的直线l与抛物线分別交于
A,B两点．
50.设直线AF，BF的斜率分別为,，证明：；
51.若的面积为，求直线l的方程．
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本4元,且以9元的价格出
售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂．根据以往100天的资料统计，得到如表需求量表：
需求量
个
天数1525302010该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个，以单位：个,,
表示当天的市场需求量，单位：元表示当天出售这款蛋糕获得的利润．当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；
当时,根据上表,从利润T不少于560元的天数中,按需求量分层抽样抽取6天．
求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式,并求这6天中利润为650元的天数；
再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为,求随机变量的分布列及数学期望．
60.已知函数，a，b是函数的两个极值点．
61.求k的取值范围；
62.证明：．
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
答案
1.【答案】D
【解析】解：，,
则或，
则，
故选：D．
求出集合A，B的等价条件，解集合交集以及补集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法求出集合A，B的等价条件是解决本题的关键．
2。

【答案】B
【解析】解：由正弦定理得：,
，
，
，，又,
，
故选：B．
先利用正弦定理求出，再结合大边对大角判断角C的范围，即可得到角C的值．
本题主要考查了正弦定理，是基础题．
3。

【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数式与指数式的互化，对数函数和指数函数的单调性,以及函数单调性的定义．
可以得出，，,从而得出a，b，c的大小关系．【解答】
解：,，，
．
故选：B．
4。

【答案】A
【解析】解：“"“”，反之不成立,所以“”是“”的必要不充分条件;
是其定义域上的可导函数，“”不能说明“在处有极值”，反之成立,所以是其定义域上的可导函数，“"是“在处有极值”的必要条件；
命题“若，则”的否命题为“若，则"；满足否命题的条件，正确;
若“p且q"为假命题，则p、q至少一个是假命题，所以原判断不成立．
故选：A．
利用充要条件判断;函数的极值的体积判断；否命题判断；复合命题的真假判断．
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，命题的否定关系，函数的极值，是基本知识的考查．
5。

【答案】C
【解析】解：因为即为奇函数,
因为恒成立，
故在R上单调递增,
由可得,
所以,即，
解可得或．
故选：C．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
6。

【答案】A
【解析】解：根据函数的部分图象,
可得：,
解得：．
再根据五点法作图可得，
可得：,
故：
由于：，
可得：,可得
则．
故选：A．
由周期求出，由五点法作图求出的值，由函数的特殊值求出A，可得函数的解析式，从而求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，由函数的特殊值求出A，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：方法一：由，可得交
点坐标为，由,可得交点坐标为
，
由，可得交点坐标为，
由曲线，直线，所围成的平面
图形的面积为
，
故选：D．
方法二：由，可得交点坐标为，
由，可得交点坐标为，
由,可得交点坐标为，
对y积分，则，
故选：D．
方法一：求得交点坐标，根据定积分的几何意义，对x进行积分，分段即可求得封闭图形的面积;
方法二：求得交点坐标，根据定积分的几何意义，对y进行积分，即可求得封闭图形的面积．
本题考查定积分的几何运算,定积分的运算性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．
8。

【答案】D
【解析】解：根据题意，对于任意都有，令可得：，变形可得；
则，变形可得，
又由为奇函数，则,则有,
故有，即函数是周期为8的周期函数，
；
故选：D．
根据题意，在中，令变形可得，即可得
，结合函数奇偶性可得，进而可得
，即函数是周期为8的周期函数,据此可得
,即可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.【答案】C
【解析】解：知函数,的图象向右平移个单位后，
可得的图象,
再根据所得图象关于y轴对称，可得，，故
,
在区间上，，，
故的最小值为，
故选：C．
利用函数的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，求得
在区间上的最小值．
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数零点的问题，考查分段函数的图象，属于中档题．
令得,，，再画出的图象,结合图象可得答案．
【解答】
解：令，
当时，，解得，，
当时,，解得，
综上解得，，，
由,得或或,
作出的图象，如图所示：
由图象可得当无解，
有3个解，
有1个解，
综上所述函数的零点个数为4，
故选C．
11.【答案】B
【解析】解：，，
，
，存在，使得,
，
设，
，
,
当时，解得：，
当时，即时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，
当时，函数取最大值，最大值为，
，
故选：B．
求导函数，确定函数的单调性,进而可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．
本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．12。

【答案】D
【解析】解：设的切点为，因为，
所以切线为:，即，．
设的切点为，因为，
故切线为：
即．
因为是公切线，所以，
消去得，，
令，．
，开口向上，且，．
所以,故在上单调递减，故，
即，故．
故选：D．
分别设出切点，求出切线，然后根据切线相等，得到的切点横坐标与a的关系式，转化为函数的值域问题．
本题考查导数的几何意义以及公切线的性质,同时考查学生利用函数与方程思想解决问题的能力以及运算能力．属于中档题．
13。

【答案】，
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p：“，”，则：，．
故答案为：，．
利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可．
本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．
14。

【答案】
【解析】解：由题意可得,在上恒成立，
因为在上单调递增，
故，解可得．
故答案为：
由题意可得，在上恒成立，结合单调性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性与极值关系的简单应用,属于基础试题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
则
．
故答案为：．
由已知结合诱导公式及同角平方关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角平方关系及诱导公式在三角化简求值中的应用,属于基础试题．
16。

【答案】
【解析】解：，
,
整理得：，
，又，
，
，
，,
在中，有，又，
，
由得:,
整理得：，
故答案为:．
由余弦定理可得，代入已知等式求出，进而得到，在利用正弦定理结合已知条件得到，由化简即可得到tan C的值．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
17。

【答案】解：设等比数列的公比为q，
由，,成等差数列知，，
即，
所以,即，
又，所以，所以，
所以等比数列的通项公式;
证明：由知，
所以，
所以数列的前n项和，
由，可得．
【解析】设等比数列的公比为q，运用等差数列的中项性质，结合等比数列的通项公式可得首项和公比，可得所求通项公式；
由对数的运算性质，可得,，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质,即可得证．
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质的运用,考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
18。

【答案】解：利用三角公式化简变形由已知得．
，
函数在的单调递减区间为和．
为锐角三角形,，
又，即．
,又，，
当且仅当时，的面积取得最大值．
【解析】先把函数化简成标准型得再利用三角基本函数
的单调性求单调区间．
把代入函数解析式求出A，再有余弦定理列出b，c的方程，利用均值不等式求出bc的最大值,进而求的面积的最大值．
本题考查三角公式的化简求值,三角函数的图象和性质,以及解三角形问题,属于有一定综合性质的中档题．
19。

【答案】证明：,，
，，
平面平面ABCE,且交线为AE，
平面，，
又,，面,面，
面面．
解：如图建立空间直角坐标系,
则2，、0,、2,、，0，，
从而0，，，．
设为平面的法向量，
则取．
，
故直线CE与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ证明，，结合,推出面,然后证明面面．
Ⅱ建立空间直角坐标系,求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CE与平面所成角的正弦值即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
20。

【答案】解：证明：当直线l的斜率为不存在时,l与抛物线只有一个交点，不合题意；
设直线l的方程为，，，
与联立得:，则，，
，
，
解得，
直线l的方程为：．
【解析】当直线l的斜率为不存在时，说明不合题意，设直线l的方程为，，，与联立，利用韦达定理以及斜率关系，化简求解即可．
通过，解得然后求解直线l的方程．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：时,元，时，
元，
．
当时，利润，
当时，即，即，
又，所以需求量,共有60天,
按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数为．由题意可知，1，2，3；
,
，
，
．
故的分布列为
P0123
．
【解析】时,求出，时，求出，判断即可．
当时，利润，求出时的天数，通
过分层抽样抽取,求解这6天中利润为650元的天数．
由题意可知，1，2，3；求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
本题考查分层抽样的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22。

【答案】解:函数的定义域为，．函数在其定义域内有两个不同的极值点a，b．
方程在有两个不同根；
即得，
转化为函数，与函数的图象
在上有两个不同交点．
又，即时，，
时，，
故在上单调增，在上单调减．故．
又有且只有一个零点是1,且在时，,在在时，，故的草图如右图，
，即故k的取值范围为
由可知a，b分别是方程的两个根,
即，，
要证明只需证明
两式相加，得：，即，
两式相减，得：，即，
联立，得，
设，,，
，，
只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，
设函数,，
在上单调递增，故时，，
，即证得当时，,
即证得，
，即证得．
【解析】由导数与极值的关系知可转化为方程在有两个不同根；利用参数分离法进行转化求解即可
根据极值的定义得a，b分别是的两个根，不等式只需证明,根据条件构造函数,求出函数的导数，利用导数与不等式之间的关系进行证明即可．
本题主要考查导数的综合应用，结合函数极值与导数之间的关系，转化为的两个根，根据不等式之间的关系进行转化，构造函数，利用导数进行证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。