人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 本章总结提升

又 =
.

0,2, 2
, =( 3,3,-z),AF⊥PB,所以 ·=0,即
z=2 3(舍去 z=-2 3),
则=(0,0,2 3),所以||=2 3.
2
6- 2 =0,解得
(2)由(1)知=(- 3,3,0),=( 3,3,0), =(0,2, 3).设平面 FAD 的法向量为
学运算和直观想象素养.
【例 1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设1 =a, =b, =c,
M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 分别表示以下各向量:
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解 (1) =
1
1 + 1 1 + 1 =a+c+2b.
π
,F为PC的中点,AF⊥PB.
3
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
解 (1)如图,连接BD交AC于O.因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
又 AC 平分∠BCD,所以 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向分别为
x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz,则
量运算就可以较容易地解决问题.
这三种空间角的求解方法很多,学习中应以向量法为主,侧重渗透向量坐标
法这一特色.
变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分
别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为
6
4
.
解析 利用空间直角坐标系转化为求向量1 与1 的夹角,建立如图所示的
得
令 y1=1,得 n1=(0,1,-2).
21 + 21 + 1 = 0.
同理,平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1),
∴n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥n2,
∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解 ∵点 M 在直线 AE 上,
∴可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ),
·1
|||1 |
=
3

2

1
=- =± .
|| 3 2||
2
-
设 θ 为 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角,则 0°≤θ≤90°.
又 sin
1
θ=|cos<1 ,n>|=2,∴θ=30°.
变式训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,
AC=4,∠ACB=∠ACD=
∵AF∩FE=F,AF,FE⊂平面AEF,
∴B1F⊥平面AEF.
规律方法
证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用
向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及向量垂
直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法将更为灵活方便,但要注
意向量可平移这一特性,例如证明线面平行时需要强调直线上有一点不在
1 ·1
|1 ||1 |
6
弦值为 .
4
=2
3
6
=
6
,∴异面直线
4
B1C 和 C1D 所成的角的余
变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2 a,求AC1与侧
面ABB1A1所成的角.
解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则 A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, 2a),C1(-
∴DE∥平面 ABC.
(2)∵1 =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0),∴1 ·
=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,1 · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0,
∴1 ⊥ , 1 ⊥ ,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF.
(2)求平面的法向量,利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角和直线
与平面所成角的关系求线面角.
(3)利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角的
正弦值求线面角.
3.二面角
(1)可以用定义法作出二面角的平面角解决.
(2)向量法是计算二面角大小的常用方法,只要合理建系,将所求归结为向
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一
空间向量的运算
1.空间向量的运算主要包括空间向量的加减、数乘运算以及坐标运算,一
般与共线向量定理、共面向量定理以及空间向量基本定理综合考查.
2.掌握基本的运算及共面、共线定理以及空间向量基本定理,重点提升数
3
1
2
=
2
.
2
∴θ1=45°,即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°.
(3)设m=(x,y,z)是平面ABD的法向量.
· = 0,
则
· = 0,
∴
3
3
- = 0,
2
2
即
3
1

=
0,
2
2
= ,
= 3.
取 x=1,则 z=1,y= 3,∴m=(1, 3,1).
( B )
A. =
1

3
B. =
1

6
C. =
1

2
D. =
1

3
+
1

6
1
+
6
+
1

6
+
1

6
+
1

3
+
1

3
+
1

3
1
+
3
解析 如图,记点 E 为 BC 的中点,连接 AE,OE,
所以 =
1
(
2
+ ).
又 G 是△ABC 的重心,则
故可取 n2=(3,- 3,2),
从而法向量 n1,n2 的夹角的余弦值为
故二面角 B-AF-D
3 7
的正弦值为 .
8
1 · 2
cos<n1,n2>=| || |
1 2
=
1
,
8
专题四
利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离:已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P
(2)1 = 1 +
1
+ =-a+b+ c.
2
(3) + 1 = 1 + 1 1 + 1 + + 1 =
1
1 1
3 1 3
a+c+ b+ c+a= a+ b+ c.
2
2 2
2 2 2
规律方法
1.空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的,要用类比
空间直角坐标系 A1xyz.可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°.
设 B1C1=1,则 CC1= 3=DD1,
∴C1D1= 3,
∴B1( 3,Βιβλιοθήκη ,0),C( 3,1, 3),C1( 3,1,0),D(0,1, 3),
∴1 =(0,1, 3),1 =(- 3,0, 3),
∴cos<1 , 1 >=
线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直.
2.掌握直线的方向向量与平面的法向量,理解并记忆判定平行与垂直的公
式,提升逻辑推理和直观想象素养.
【例2】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,
∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
(1)求证:DE∥平面ABC;
∴ = 1 1 =(2,0,0),=(2,2,1),1 =(0,1,-2).设平面 AED 的一个法向量为
n1=(x1,y1,z1).
1 · = (1 ,1 ,1 )·(2,0,0) = 0,
由
1 · = (1 ,1 ,1 )·(2,2,1) = 0,
21 = 0,
·
∴cos<m,n>=| |||
=
1
51
=
5
.
5
设平面 ABD 和平面 BDC 的夹角为 θ2,
则 cos
5
θ2=|cos<m,n>|= 5 .
规律方法
1.线线角
(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形.
解 在平面ABC内过B点作z轴垂直于BC,在平面BCD内过B点作x轴垂直于
BC.
∵平面ABC⊥平面DBC,
∴∠xBz=90°.
建立空间直角坐标系Bxyz如图所示,
设AB=a,
则
1
3
3 1
A(0,-2a, 2 a),C(0,a,0),D( 2 a,-2a,0),
∴ =(
3
3
3 1
a,0,a),
2.掌握并理解利用直线的方向向量与平面的法向量求角的公式,提升逻辑
推理和直观想象素养.
【例3】 [人教A版教材习题]如图,△ABC和△DBC所在平面垂直,且
AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
(2)求证:B1F⊥平面AEF.
证明 如图,建立空间直角坐标系Axyz.
令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),A1(0,0,4),B1(4,0,4),D(2,0,2).
(1)=(-2,4,0),平面 ABC 的一个法向量为1 =(0,0,4).
∵ ·1 =0,DE⊄平面 ABC,
所以 =
=
1

6
+
故选 B.
1

2
1
(
6
=
+
1
(
2
2
2
AG= AE= (
3
3
+
1
)=2
1
)=6
+
1

6
+
− ).
1
(
3
1
+ 6 .
−
1
)=6
1
+ 3
专题二
空间向量与线面位置关系
1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量,判定、证明空间中的直
的思想去掌握,在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,要选择适当的向
量为基底,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算,同时还要以相应
的图形为指导.
2.在求一个向量由其他几个向量来表示时,通常利用向量的三角形法则、
平行四边形法则和共线向量的特点,把所求的向量逐步分解最终归结为基
底下的表示.
变式训练1如图,在四面体OABC中,G是△ABC的重心,D是OG的中点,则
n1=(x1,y1,z1),平面 FAB 的法向量为 n2=(x2,y2,z2).
- 31 + 31 = 0,
由 n1·=0,n1· =0,得
21 + 31 = 0,
因此可取 n1=(3, 3,-2).
32 + 32 = 0,
由 n2·=0,n2· =0,得
22 + 32 = 0,
是直线l外一点,则点P到直线l的距离为 ||2 -| ·| 2(如图)(利用勾股定
理和向量夹角公式转化易得).
(2)设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到
平面 α
| ·|
的距离为
(如图).
||
2.通过利用向量计算空间的角,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算
则 M(2,2λ,λ),∴1 =(0,2λ,λ-2).
要使 A1M⊥平面 AED,只需1 ∥n1,
2
即1
-2
,解得
-2
=
故当
2
AM=5AE
2
λ=5,
时,A1M⊥平面 AED.
专题三
空间向量与角
1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量,求直线与直线所成的角、
直线与平面的夹角和平面与平面所成的角.
平面内.
变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在直线AE上求一点M,使得A1M⊥平面AED.
(1)证明 以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建
立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
AC=4,得 AO=AC-OC=3.
又
π
OD=CD·sin
3
= 3,
故 A(0,-3,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),D(- 3,0,0).
π
OC=CDcos3 =1,而由
因为 PA⊥底面 ABCD,可设 P(0,-3,z),=(0,0,-z).由 F 为 PC 边中点,得
F

0,-1, 2
=(0,a,0),
=(
a,a,0).
2
2
2
2
(1)∵ · =0,∴AD⊥BC,
∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°.
(2)设直线AD与平面BCD所成角为θ1,
∵n=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量,
∴sin
| ·|
θ1=|cos< ,n>|=| |||
=
3

2
3
a, ,
2 2
设平面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y),
∴n·=0,n·1 =0,
∴ax=0, 2ay=0,∴x=y=0,∴n=(λ,0,0).
∵1 = -
3

, 2 ,
2
2 ,
2a),则=(0,a,0),1 =(0,0, 2a).
∴cos<1 ,n>=