数学建模案例汽车保险

汽车保险问题研究
喻璐朱凡俞海乐
摘要：针对实行安全法规，交通事故减少以后，汽车保险公司所定的保险费的变化情况的问题，本文从总投保人数人均所担负的事故赔偿费的角度来讨论保险费用的变化情况。

若人均所担负的赔偿费减少，则意味着人均所担负的风险变小，那么相应的投保人所交的保险费也应减少。

本文就是根据这样的原则通过对人均所担负的赔偿费的变化的讨论来回答题目的保险费变化的问题。

在建模过程中查阅了一些书籍，并根据实际情况作了适当假设，建立了一般模型，代入题中所给数据得到了法规颁布后的保险费会减少的结果。

关键词：人均事故赔偿费净保费基本保险费泊松分布
1问题重述
已知某汽车保险公司的保险规则，即：该公司只提供一年期的综合保险单，若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助；客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类；级别越高，从保险费中得到的回扣越多；当客户续保时，若上一年中没有要求赔偿，则提高一个类别；若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或0类；客户不论是由于自动终止保险还是则某种原因（例如事故死亡），保险公司将退还保险金的适当部分。

现在政府为了减少交通事故，参考其他城市的做法，制定了一系列安全法规。

根据其他城市的经验，实行安全法规以后，死亡的司机减少40％，一般来讲医疗费也会减少20％至40％。

问题是想知道这样以后保险公司所制定的保险费是应该增加还是应该减少，提出一般的解答方法并运用已知的该公司在某一年的保险数据来验证所提出的方法的正确性。

2问题分析
题目所要求的问题是实行安全法规前后该汽车保险公司所制定的保险费的变化情况。

社会保险的作用就在于分担风险，汽车保险费由净保费和附加保费两部份构成，附加保费用于支付保险公司的营业费用，这部份费用可假定是不变的。

因而问题的关键就在于净保费的变化。

净保费又叫做风险保费，在数量上等于保险期间赔款的期望值。

因而通过对下一年的赔款期望值的估算来确定下一年的净保费的金额。

而赔款期望值即人均事故赔偿费的估算涉及到总投保人数的估算和事故赔偿费总额的估算。

虽然投保人数的变化与保险费的多少有关，但通过合理的假设（每辆车都必须投保）以及在颁布法规的情况下各个保险公司的保险费都会发生相似的变化（就可以忽略各保险公司的竞争）可以得到投保人数的变化不依赖于保险费的变化。

所以本题所要解决的主要问题就是下一年的事故赔偿费总额的估算和总投保人数
的估算。

最后通过得到的各类的净保费以及已知的该类的保险费折扣率来计算得到基本保险费。

模型建立部分分为两个过程，首先解决没有颁布法规的情况，再在此基础上解决法规颁布了的情况。

3合理假设
a)该汽车保险公司只提供一年期的综合保险单。

b)若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助。

c)客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类。

d)当客户续保时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别，若上一年中要求过赔偿，
则降低两个类别或0类。

e)客户注销时保险公司将退还保险金的适当部分。

f)每辆汽车必须投保。

g)投保人除注销外不会退出该保险公司而到其他保险公司投保。

h)每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和。

i)注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。

j)每一类别的没有索赔补比例（所交保险费的折扣率）不变。

k)自动终止保险人数与总投保人数比例不变。

l)死亡司机人数与索赔人数比例不变。

m)新车使用三年后报销，即三年后的自动退保人数等于三年前的新投保人数。

且每年的新投保人数按等比例增长。

n)下一年的平均死亡赔偿费不变。

o)下一年的平均修理费不变。

p)下一年的平均医疗费不变。

q)下一年的平均偿还退回的保险金额不变。

r)颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。

s)注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。

4符号说明
n1984---1985年度的人数
m没有颁布法规的情况下，下一年度的人数。

mm颁布了法规的情况下，下一年度的人数。

W1984---1985年度的费用
S没有颁布法规的情况下，下一年度的费用。

SS颁布了法规的情况下，下一年度的费用。

i 取0，1，2，3，代表0，1，2，3类。

k
比例系数
i
r i 类的没有索赔补比例（即所交基本保险费的折扣率）。

ω
新投保人数的增长比例。

i
c 各类投保人所承担的平均事故赔偿费。

Y
没有颁布法规的情况下，下一年的基本保险费。

其中，中文下标“总”表示总投保人数或总索赔费用，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费，“修””表示修理费，“医”表示医疗费，“退索”表示自动退保人中索赔过的人数。

5模型建立
5.1未颁布法规的情况下下一年的基本保险费估算
根据假设6有以下四个式子：
下一年3类总投保人数=3类续保人数—3类注销人数—3类降为1类的人数（索赔人数）+3类注销人中索赔过的人数（包括3类死亡人数和3类自动退保人中索赔过的人数）（因为索赔人数和注销人数中都包括这部份人）+2类升为3类的人数。

而
2类升为3类的人数=2类续保人数—2类注销人数—2类索赔人数+2类死亡人数，即：
2222333333死索注续退索死索注续总n n n n n n n n n m +−−+++−−=（1）
下一年2类总投保人数=1类升为2类的人数=1类续保人数—1类注销人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即：
111112退索死索注续总n n n n n m ++−−=（2）
下一年1类总投保人数=0类升为1类的人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类降为1类的人数（3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数），即：
333000001退索死索退索死索注总总n n n n n n n n m −−+++−−=（3）
下一年0类总投保人数=0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数）+2类降为1类的人数（2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数）+下一年的新投保人数，即：
新退索死索退索死索退索死索总m n n n n n n n n n m +−−+−−+−−=2221110000（4）
由假设11可得：下一年的自动退保人数与总投保人数成比例；再由假设9可得：注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和。

即：
i i i i m k m m 死自总注+×=（5）
由假设12可得：下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即：
i i i k m m 死索死×=（6）
对于i 类总投保人数中的每一个人，因为它服从泊松分布，所以它索赔k 次的概率p 为：
!
)()(k e k K p k i i ÷×==−λλ)0(>i λ（7）
所以，它至少索赔一次的概率µ为：
i e K p K p i i i λµ−==−=≥=)0(1)1(（8）
所以在i n 总个人中有x 个人向保险公司索赔的概率为：
k n k
n x n i x i x n i e e C C x p −−−−×−×=−××=)()1()1()(λλµµ（9）
索赔人数用它的期望来表示即为：
)1(])([1
i i
e n x x p n i n x i i λ−=−×=×=∑总索总（10）
所以：
)ln(ln i i i i n n n 索总总−−=λ（11）
由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为：
)1(i e m m i i λ−−×=总索（12）
由假设13可得：下一年的新投保人数等于这一年的新投保人数与等比例之积，即：
ω×=新新n m （13）
由假设14，15，16可得以下式子：
i i w s 死死=；i i w s 修修=；i i w s 索索=（14）
所以，总的死亡赔偿费可表示为：
i i i s m s 死死死×=（15）
总的修理费用可表示为：
i i i s m s 修修修×=（16）
总的医疗费可表示为：
i i i i s m m s 医死索医（×−=)（17）
总赔偿费=总死亡赔偿费+总修理费+总医疗费，即：
i i i i s s s s 医修死总++=（18）
由假设17可得：
退退w s =（19）
所以总的偿还退回金额等于人均退回金额与注销人数之积，即：
i i m s s 注退退×=（20）
根据以上所有式子，有各类投保人人均所承担的事故赔偿费=（该类总赔偿费+该类总偿还退回金额）∕该类总投保人数，可表示为：
i i i i m s s c 总退总÷+=)(（21）
下一年的基本保险费为Y 可用各类人均事故赔偿费（即各类的净保费）和各类的保险费折扣率表示为：0类净保费×0类总投保人数+1类净保费×1类总投保人数+2类净保费×2类总投保人数+3类净保费×3类总投保人数=基本保险费×0类保费折扣率×0类总投保人数+基本保险费×1类保费折扣率×1类总投保人数+基本保险费×2类保费折扣率×2类总投保人数+基本保险费×3类保费折扣率×3类总投保人数，即：
i i i i i i m c m r Y 总总×=−×∑∑==3
30
)1(（22）
所以，Y 为：
i i i i i i m r m c Y 总总)1()(3
30
∑∑==−÷×=（23）
5.2颁布了法规的情况下下一年的基本保险费的估算
根据假设，法规颁布了的情况下和没有颁布法规的情况下有下列这些因素不变：新投保人数，各类别总的投保人数，平均修理费，平均医疗费，平均死亡赔偿费。

所以有：
新新m mm =，i i m mm 总总=，修修s s s =，医医s s s =，死
死s s s =法规颁布了的情况下变动的因素有：死亡人数，索赔人数，注销人数。

它们的变动如下列三个式子所示，其余步骤与（一）中所列相同，在此不再重述。

由假设18：颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。

可得：
%60×=i i m mm 死死（24）
由假设12：死亡人数与索赔人数比例不变，可得：
%60%)60(×=÷×=÷=i i i i i i m k m k mm mm 索死死死死索（25）
因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和，在死亡人数变动的情况下，注销人数可表示为：
%40×−=i i i m m mm 死注注（26）
6模型求解及结果分析
题目中所给的表1、表2的数据摘要如下：
表11984―1985年度发放的保险单数
基本保险费为：$775
类
没有索赔补比例
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
别（％）00128070838462018264166532812517648971282401764898240115446101387511544613
50
8760058
324114
8760058
总收入（M$）：6182，偿还退回（M$）：70，净收入（M$）：6112，支出（M$）：149，索赔支出（M$）：6093，总支出（M$）：6242，超支（M$）：130。

表2
1984―1985年度索赔款类别索赔人数
死亡司机人数
平均修理费
$平均医疗费
$平均赔偿费
$0582756116521020152631951582463233151223123138862115857229294782329413
700872
7013
805
814
2321
总修理费（M$）：1981，总医疗费（M$）：2218，总死亡赔偿费（M$）：1894总索赔费（M$）：6093
将上表中的数据代入模型求解。

首先，求解ω。

根据假设13可得：1980年新投保人数等于1984年的自动退保人数，为：索赔人数―死亡人数=340221。

81年到84年的新投保人数按等比例增长，有：340221×ω4
=384620。

所以等比例ω=103.1％。

其次，求解自动退保
中的索赔人数，解法如下所示：
设第I 类中某人在该年的第K 天自动退出，则该人在前K 天中索赔过的概率为：
ri P (K)=K ×µi ÷365
因K 是随机变量，且1≤K ≤365，设r P (K=k)=β,易知β=1/365。

从而，第K 类中自动退出的某一个人索赔过的概率在这一年中的期望为：
θi =
∑=3651
(k ri P (k)×β)=∑=365
1
(k µ
β××k i
÷365)=µi /2
与前面计算索赔人数的期望同样的方法可求得该年中在第i 类的自动退出的人群中向保险公司索赔过的人数期望值是：
n 退赔=（n 索i –n 死i ）×(1-e -
i λ)/2
再根据模型步骤逐步求解得到没有颁布法规的情况的结果列表见表3及表后说明。

表3
1985―1986年的总的自动退保人数：350768总死亡人数：44057总注销人数：
394825
偿还退回金总额=人均偿还退回金的金额×总注销人数，为：71.88M$。

总索赔费=）类的平均赔偿费类的总的索赔人数（∑
=×3
i i i ，为：6064.72M$。

最后得到在没有颁布法规的情况下的基本保险费为：762$。

颁布了法规的情况与没有颁布法规的情况类似，计算得出的结果列表见表4及表后说明。

表4
总死亡人数：26434，总注销人数：377202，偿还退回总金额：68.67M$，总索赔支出：6064.7M$。

最后得到法规颁布了的情况下的基本保险费为：461$。

依据题中所给的84―85年的保险数据估算出下一年中没有颁布法规和颁布了法规这两种情况下的基本保险费，分别为：762$，461$。

因此，回答题中问题，在颁布了法规的情况下保险公司所制定的基本保险费是减少的。

7误差分析
本题的结果与现实间的主要误差主要来自于假设7、11、12、13。

在现实生活中，在保险公司间由于报单价格及声誉的影响，中途从一家保险公司改投另一家保险公司的投保人数也有一定数目；自动退保的人数变化是由死亡人数变化和汽车报废到期人数及其他以外因素共同决定，在我们的模型中将它假设成与总投保人成比例变化而产生了误差；车祸中死亡人
类别没有索赔补比例
（％）续保人数新投保人
数总投保人
数索赔人数死亡人数平均赔偿费$0012412663965431627809573124114603195125175829101758291580274232273886240117832301178323118252233929413
50
8782372
8782372
702658
7031
2321
类别没有索赔补比例
（％）续保人数新投保人
数总投保人
数索赔人数死亡人数平均赔偿费$00124126639654316278093438746876319512517582910175829134816413936388624011783230117832370951140329413
50
8782372
8782372
421595
4219
2321
数的变化是服从一定分布的，我们为了简化模型把它假设成于与发生车祸的人数成比例变化而产生了一定误差，但由于在两年中死亡的比例变化不是很大，所以假设12带来的误差不是很大；另外每年来保险公司投保的人数受报单价格和保险公司声誉影响，不一定是按我们假设的成固定增长率增长。

8模型评价
本文所做的模型是在对许多现实做了近似假设的前提下建立起来的，有较大的误差在所难免。

模型中没有讨论现金的现值变化，所求得的一些重要的、所设概率分布的参数只由一年的数据算得，无法十分精确的与现实生活拟合。

但我们的模型给出了一个在简化条件下的求解保险费的较完整的解决方案。

我们对于单个人索赔次数服从泊松分布的假设源于前人的大量统计得出，能够较好地模拟现实。

但遗憾的是我们虽然知道一年中汽车修理费服从伽马分布，但由于题目只给出了一年数据而无法确定其参数。

另外，由于保险公司的保单总数每年的变化不是很大，所以到最后它的各层的人数是一个定值，由于时间有限，我们不能对它的数量做出估计。

参考书目
（1）李秀芳，曾庆五，《保险精算》，中国金融出版社，1999年8月
（2）庄俊鸿，《保险学》，华南理工大学出版社，1994年8月
（3）陶存文，《新编保险会计》，立信会计出版社，2000年1月
（4）汉斯，U·盖伯，《人寿保险数学》，世界图书出版社，1996年5月。