2021-2022学年上海市冠龙高级中学高三数学文期末试题含解析

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2021-2022学年上海市冠龙高级中学高三数学文期末试题含解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),那么点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是()
A.B.C.D.
参考答案:
D
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】基本事件总数N=6×6=36,再利用列举法求出点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件个数,由此能求出点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率.
【解答】解:连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),
基本事件总数N=6×6=36,
点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件有:
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,
∴点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是p==.
故选:D.
2. 从1,2,3,4这四个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为()
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
基本事件总数n6,它们之和为偶数包含的基本事件个数m2,由此能求出它们之和为偶数的概率.
【详解】从1,2,3,4这4个数字中随机选择两个不同的数字,
基本事件总数n6,它们之和为偶数包含的基本事件个数m2,
∴它们之和为偶数的概率为p.
故选:B.
【点睛】本题概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
3. “”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
可得
当时,必有成立;
当成立时,不一定有成立
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选A.
4. 已知函数,则

参考答案:
,所以。

5. 已知O为坐标原点,F是椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()
A.B.C.D.
参考答案:
A
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k(x+a),分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值.
【解答】解:由题意可设F(﹣c,0),A(﹣a,0),B(a,0),
令x=﹣c,代入椭圆方程可得y=±b=±,
可得P(﹣c,±),
设直线AE的方程为y=k(x+a),
令x=﹣c,可得M(﹣c,k(a﹣c)),令x=0,可得E(0,ka),
设OE的中点为H,可得H(0,),
由B,H,M三点共线,可得k BH=k BM,
即为=,
化简可得=,即为a=3c,
可得e==.
故选:A.
6. 双曲线的两顶点为,虚轴两端点为,两焦点为,若以
为直径的圆内切于菱形,则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点:双曲线的几何性质.
7. 在实数集中定义一种运算“”,,为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意,;(2)对任意,.
关于函数的性质,有如下说法:①函数的最小值为;②函数为偶函数;③函数的单调递增区间为.其中正确说法的序号为()
A.①B.①②C.①②③D.②③
参考答案:
B
知识点:命题的真假判断与应用
解析:∵ =(e x)?+(e x)*0+*0=1+e x+,
对于①,∵1+e x+≥1+=3(当且仅当x=0时取“=”),∴f(x)min=3,故①正确;
对于②,∵f(x)=1+e x+=1+e x+e﹣x,∴f(﹣x)=1+e x+e﹣x=1+e x+e﹣x=f(x),
∴函数f(x)为偶函数,故②正确;
对于③,∵f′(x)=e x﹣e﹣x=,∴当x≥0时,f′(x)≥0,即函数f(x)的单调递增区间为[0,﹣∞),故③错误;∴正确说法的序号为①②,故选:B.
【思路点拨】依题意,可得f(x)=1+e x+e﹣x,对于①,可由基本不等式1+e x+≥1+=3判断其正误;对于②,利用偶函数的定义可判断其正误;
对于③,由f′(x)≥0,求得其单调递增区间,可判断其正误.
8. 函数的一条对称轴方程为,则
A.1 B. C.2 D.3
参考答案:
B

9. 已知向量,.若向量满足,,则()
A. B. C. D.
参考答案:
D 解析:不妨设,则,对于,则有
;又,则有,则有
10.
已知向量,,且+=(1,3),则等于
(A)(B)(C)(D)
参考答案:
答案: C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若命题“?x0∈R,x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数m的取值范围是
参考答案:
[2,6]
【考点】特称命题;复合命题的真假.
【分析】由于命题P:“”为假命题,可得¬P:“?x∈R,x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题,因此△≤0,解出即可.
【解答】解:∵命题P:“”为假命题,
∴¬P:“?x∈R,x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题,∴△≤0,即m2﹣4(2m﹣3)≤0,解得2≤m≤6.∴实数m的取值范围是[2,6].
故答案为:[2,6].
【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系,属于基础题.
12. 某程序框图如上(右)图所示,该程序运行后输出的的值


参考答案:
13.
如图, 已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点, 且,∶∶∶∶. 若与该圆相切,则线段的长为 .
参考答案:
设,则,. 则由相交弦定理,得,
即,即. 由切割线定理,得,所以.
14. 将5位志愿者分成4组,其中一组为2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有种(用数字作答)。

参考答案:

15. 根据浙江省新高考方案,每位考生除语、数、外3门必考科目外,有3门选考科目,并且每门选
考科目都有2次考试机会,每年有两次考试时间,某考生为了取得最好成绩,将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中,且每次至多考2门,则该考生共有种不同的考试安排方法.
参考答案:
114
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】依题意,分两大类:①四次考试中选三次(有种方法),每次考两科;②四次考试都选,有两次考两科,另外两次各考一科,分别分析、计算即可求得答案.
【解答】解:将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中,且每次至多考2门,有两种情况:
①四次考试中选三次(有种方法),每次考两科,第一次有种方法,第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科,有?种方法,第三次只能是种方法,根据分布乘法计数原理,共有: ??(?)?=24种方法;
②四次考试都选,有两次考两科,另外两次各考一科,共=6种方法;分别为方案2211,2121,2112,1221,1212,1122.
若为2211,第一次有种方法,
第二次有两种情况,1°选考过的两科,有种方法,则第三次只考剩下的第三科有1种方法;第四次只有1种方法,故共有??1?1=3种方法;
2°剩下的一科与考过的两科中的一科,有?种方法,则第三次与第四次共有种方法,故共有???=12种方法;
综上所述,2211方案共有15种方法;
若方案为2121,共有(??+??)=15种方法;
若方案为2112,共有(??+??)=15种方法;
同理可得,另外3种情况,每种各有15种方法,
所以,四次考试都选,共有15×6=90种方法.
综合①②得:共有24+90=114种方法.
故答案为:114.16. 已知平面直角坐标内两点,,AB的中点是,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标为(角用反三角表示)
参考答案:
17. 函数处的切线方程为
参考答案:
15

三、解答题:本大题共5小题,共72分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知公差不为0的等差数列的前3项和=9,且成等比数列.(1)求数列的通项公式和前n项和;
(2)设为数列的前n项和,若对一切恒成立,求实数的最小值.
参考答案:
(1)设,
由=9得:①;……2分
成等比数列得:②;联立①②得;……4分故………………………………6分
(2)∵…………………………8分∴………………………………10分
由得:
令,可知f(n)单调递减,即………………………………12分
19. 不等式选讲.
已知.
(I)求解集;
(Ⅱ)若,对恒成立,
求x的取值范围.
参考答案:

20. 椭圆的离心率为分别是左、右焦点,过F1的直线与圆相切,且与椭圆E交于A、B两点。

(1)当时,求椭圆E的方程;
(2)求弦AB中点的轨迹方程。

参考答案:解:由椭圆E:()的离心率为,可设椭圆E:
根据已知设切线AB为:,
(Ⅰ)圆的圆心到直线的距离为
∴切线AB为:,
联立方程:,
∴,
∴椭圆E的方程为:。

……………………………9分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,AB的中点或
故弦AB的中点轨迹方程为和。

……………13分
21. (本小题满分12分)
如图,在多面体中,平面,,为正三角形,为的中点,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求多面体的体积.
参考答案:
【知识点】线面平行,几何体体积G4 G8
(Ⅰ)略(Ⅱ)
(Ⅰ)证明:作的中点,连结.
在中,,又据题意知,.
∴,∴四边形为平行四边形.
∴,又面,平面.
∴面.………………………6分
(Ⅱ)据题意知,多面体为四棱锥.
过点作于.
∵平面,平面,
∴平面平面.
又,平面,平面平面,
∴面.
∴在四棱锥中,底面为直角梯形,高.
∴.
∴多面体的体积为.……………………………………………6分
【思路点拨】(Ⅰ)求证线面平行,可以利用线线平行,本题很容易找出;
(Ⅱ)求多面体的体积转化成四棱锥的体积,底面为直角梯形,高很好求,所以利用锥体体积公式即可.22. 分别在下列两种情况下,把参数方程化为普通方程:(1)为参数,为常数;(2)为参数,为常数;
参考答案:
解析:(1)当时,,即;
当时,
而,即
(2)当时,,,即;
当时,,,即;
当时,得,即

即。

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