高中数学 1.3.2三角函数的诱导公式课件 新人教A版必修4

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正解：由|cos α|＝sin32π－α得|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
纠错心得：角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分 为象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了象 限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
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典例剖析 知识点 1 综合问题 【例 1】 已知 x∈R，f(sin x)＝sin[(4n＋1)x](n∈Z)，求 f(cos x)． 思路点拨：f(cos x)＝fsinπ2－x，把已知函数中的 x 换为π2－x， 再化简即可． 解：由已知得，f(cos x)＝fsinπ2－x ＝sin4n＋1π2－x＝sin2nπ＋π2－4n＋1x ＝sinπ2－4n＋1x＝cos(4n＋1)x(n∈Z)．
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自主探究 已知△ABC 的三内角分别为 A，B，C，给出下列等式： ①sin B＋2 C＝cos A2； ②cos B＋2 C＝－sin A2； ③tan A＋B2－C＝tan C．其中正确的等式序号是______． 【答案】①
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预习测评
1．
(2013
年广东)已知
【答案】34 4．若tanα－ tan4π3π·＋cosαπ·c＋osα2·5s2πin＋2αα＋3π＝－12，则 tan α 的值为
________． 【答案】± 3
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要点阐释 1.π2＋α，2π－α，32π＋α，32π－α 的正弦(余弦)函数值分别等于角 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把角 α 看成锐角时原函数值 的符号．
平方得 1＋2sin xcos x＝2，所以 sin xcos x＝12.
于是
tan
x＋tan32π－x＝csoins
xx＋csoins
xx＝sin
1 x·cos
x＝2.
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知识点 3 诱导公式的综合运用 【例 3】 设 tanα＋87π＝m，求ssiinn125707ππ＋－αα＋－3ccoossαα＋－212737ππ的值． 思路点拨：由已知可得 tanα＋π7＝m，再利用诱导公式把待求 式中各三角函数值化为 α＋7π的三角函数值．
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课堂总结
π 1.2±α
与32π±α
的诱导公式可以用下面的顺口溜帮助记忆：“函
数名互余，符号看象限”．
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2．2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，2π±α 与32π±α 的诱导公式 可以统一记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的奇偶是指π2的 奇数倍或偶数倍，π2±α 与32π±α 都是2π的奇数倍，2kπ＋α(k∈Z)，π ＋α，－α，π－α 都是π2的偶数倍，因为 π＋α＝2×π2＋α，－α＝0×π2 －α.奇变是指π2±α 与32π±α 的正弦函数变为角 α 的余弦函数、而2π±α 与32π±α 的余弦函数要变为角 α 的正弦函数，偶不变是指 2kπ＋α(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α 的三角函数与角 α 的函数名称相同．符号 看象限是指，前面加上一个把角 α 看成锐角时原函数值的符号．
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自学导引 1．公式五：sinπ2－α＝_co_s__α__，cosπ2－α＝_s_i_n_α__. 2．公式六：sinπ2＋α＝_c_o_s_α__，cosπ2＋α＝－__s_i_n_α_.
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3．sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝_－__s_i_n_α__. 4．sin32π＋α＝_－__c_o_s_α__，cos32π＋α＝__s_in__α_. 5．当 α 是锐角时，2π－α 是第_一___象限的角；当 α 是第一象限 的角时，π2＋α 是第_二___象限的角．
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1．若 f(sin x)＝3－cos 2x，则 f(cos x)＝( ) A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x 【答案】C
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知识点 2 2π±α 与32π±α 的诱导公式的应用 【例 2】 已知 tan32π＋θ＝ 3，求 cosθ＋72π的值． 思路点拨：利用诱导公式对已知式和待求式分别变形，再利用 同角三角函数关系求值．
sin(
5
2
+α)=
1 5
பைடு நூலகம்
,那么
cosα=(
)
A．
2 5
B．
1 5
1
C． 5
2
D. 5
【答案】C
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2．已知 cos 31°＝m，则 sin 239°·tan 149°的值是( )
1－m2 A. m
B. 1－m2
m2－1 C. m
D．－ 1－m2
【答案】B
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3．已知 cos(π＋θ)＝－35，且 θ∈0，π2，则 tan32π－θ的值为 ________．
2．(1)化简：sin2cπo－sα2π·t＋anαπ2·＋coαt3·2cπo＋t3α2π －α. (2)已知 sin x－sin32π－x＝ 2，求 tan x＋tan32π－x的值．
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解：
(1)原式＝－sincoαsα－·ctaont
α·tan α
α＝－1.
(2)由 sin x－sin32π－x＝ 2 得 sin x＋cos x＝ 2，
不少同学总是记不住诱导公式，根源就是没有理解“奇变偶不 变，符号看象限”的含义.
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解： 由 tanα＋87π＝m 得 tanπ＋α＋π7＝m，即 tanα＋π7＝m. 原式＝sinsin2π2＋π＋π－α＋α＋π7π7＋－3ccooss－2π2＋π＋π＋α＋α＋7ππ7 ＝sinπs－inαα＋＋π7π7＋－3ccoossπα＋＋π7α＋π7＝ssiinnαα＋＋π7π7＋＋3ccoossαα＋＋π7π7 ＝ttaannαα＋ ＋7π7π＋ ＋31＝mm＋＋31.
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方法点评：解答诱导公式的综合应用问题，关键是要看清题中 条件．本题充分利用诱导公式，由 tanα＋87π＝m 得，tanα＋π7＝ m，再利用诱导公式把157π＋α，α－137π，207π－α，α＋227π全部化为 α＋7π的形式，从而使问题得到圆满解决．
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3．已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根， 求sinα＋32πscinos32ππ2－－αα··tcaons2π22＋π－ααtanπ－α的值．
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解： ∵tan32π＋θ＝ 3，∴csoins3322ππ＋＋θθ＝ 3，即－sicnosθ θ＝ 3. 得到csoins22θθ＝3，1－sinsi2nθ2θ＝3，sin2θ＝14. 故 cosθ＋72π＝cos2π＋32π＋θ＝cos32π＋θ＝sin θ＝±12.
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2．虽然这些诱导公式容易记混，但还是有规律可循的，除了 用顺口溜“函数名互余，符号看象限”来记忆，也可用三角函数的 定义来推导：因为π2－α 与角 α 的终边关于直线 y＝x 对称，所以角 α 的终边上的点 P(x，y)关于直线 y＝x 对称的点是 P′(y，x)，于是 立即得到 sinπ2－α＝xr＝cos α，cosπ2－α＝yr＝sin α.由π2＋α＝π－ π2－α可得 sinπ2＋α＝sinπ－π2－α＝sinπ2－α＝cos α，cosπ2＋α ＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α＝－sin α.只要大家善于摸索，总会 有办法记住这些公式的．
解：
由 5x2－7x－6＝0 得，x1＝－35，x2＝2，所以 sin α＝－35.
原式＝－cos
α·－cos α·tan2α·－tan sin α·－sin α
α＝tan
α＝±34.
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误区解密 对角的终边位置考虑不全面而出错 【例题】 若|cos α|＝sin32π－α，请指出角 α 的终边的位置． 错解：由|cos α|＝sin32π－α得|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限． 错因分析：由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．