高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)

专题4 数形结合、分类讨论思想
一．知识探究：
1．数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

数形结合的途径:（1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解 数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）简单性原则
2．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；
二．命题趋势
分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

三．再现性题组
1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是（ ）。

A. 0≤a≤1
B. a≤1
C. a<1
D. 0<a<1 对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；
2. 若θ∈(0, π2
)，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθ
θ＋θ-的值为（ ）。

A. 1或－1
B. 0或－1
C. 0或1
D. 0或1或－1 分θ＝
π4、0<θ<π4、π4<θ<π
2
三种情况，选D 3. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）。

A. 3x －2y ＝0
B. x ＋y －5＝0
C. 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0
D.不能确定 分截距等于零、不等于零两种情况，选C 。

4. 若log 2<log 2<0，则（ ）。

A. 0<a<b<1
B. 0<b<a<1
C. a>b>1
D. b>a>1 由已知画出对数曲线，选B
5. 对每个实数4x 22x 1x 4x f x +-++，，取，设)(中的最小值，那么)(x f 的最
大值是（ ） 2
5D 3
2C 3
1
B 3
8A 、、、、
6. 对a,b ∈R,记max|a,b |=⎩⎨⎧≥b
a b b
a a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x －2||(x ∈R)的最小值
是 。

由()()2
121212
2
≥
⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， 故()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
<-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
≥+=212211
x x x x x f ，其图象如右， 则()2
312121min =+=
⎪⎭
⎫
⎝⎛=f x f 。

点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、
解绝对值不等式，中档题，借形言数。

7. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22
x y +的最小值是 ；
解：由⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则2
2y x +的最小值
是5。

8．解关于的不等式：x ax a x 2
110-++<()
解析：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为2011
0a a x x a
≠--<()()， ①若，则原不等式化为a x x a
<--
>011
0()()， 10
11a a <∴< ，∴<>不等式解为或x a
x 1
1； ②若，则原不等式化为a x x a
>--<011
0()()，
（）当时，，不等式解为i a a a x ><<<1111
1；
()ii a a
x 当时，，不等式解为==∈∅11
1；
()iii a a x a
当时，，不等式解为011111
<<><<；
综上所述，得原不等式的解集为：
当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫
⎬⎭011；{}当时，解集为a x x =>01|；
当时，解集为0111<<<<
⎧
⎨⎩
⎫
⎬⎭
a x x a ；当时，解集为a =∅1； 当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
111。

点评：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a
分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。

而确定这一点之后，又会遇到1与1
a
谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。

故而解题时，需要作三级分类。

四．示范性题组
题型1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题
例1．（1）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是_____.
（2）如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M ∩P ）∩S
B.（M ∩P ）∪S
C.（M ∩P ）∩
I S
D.（M ∩P ）∪
I S
解析：（1）a ≤－2；
∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数轴上覆盖关系， 因此有a ≤－2.
（2）Ｃ；由图知阴影部分表示的集合是M ∩P 的子集且是
I S
的子
集，故答案为Ｃ。

点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。

题型2：数形结合解决方程、不等式问题
例2．（1）若方程()
()lg lg -+-=-x x m x 2
33在()
x ∈03，内有唯一解，求实数m
的取值范围。

解析：（1）原方程可化为()()--+=<<x m x 21032
设()()y x x y m 12
22103=--+<<=，
在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。

由原方程在（0，3）内有唯一解，知y y 12与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-<≤10m 或m =1。

（2）已知u v ≥≥11，且()()()()()log log log log a a a a
u v au
av a 2
2
2
2
1+=+>，
求()log a uv 的最大值和最小值。

解析：令x u y v a a ==log log ，，
则已知式可化为 ()()()x y x y -+-=≥≥114002
2
，，
再设()(
)
t uv x y x y a ==+≥≥log 00，，由图3可见，则当线段y x t =-+
()x y ≥≥00，与圆弧()()()x y x y -+-=≥≥114002
2
，相切时，截距
t 取最大值
t max =+222（如图3中CD 位置）；当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值t min =+13
（如图中AB 位置）。

因此log ()a uv 的最大值是222+，最小值是13+。

点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。

深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。

题型3：代数式的几何意义应用
例3．（1）（06湖南卷）如图，OM ∥AB ，点P 在由
射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ；当1
2
x =-
时,y 的取值范围是 。

解析：如图，AB OM //, 点P 在由射线OM ，线段
OB 及AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动，且y x +=，由向量加法的
平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围是(－∞，0)； 当21-
=x 时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD=21OB ，CE=2
3OB
，
∴ y 的取值范围是(
21，2
3)。

点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。

（2）(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)当x 、
y 满足条件1<+y x 时，变量
3
-=
y x u 的取值范围是( )
A.)3 3(，-
B.)3
1 31(，- C.]31 31[，- D. )31
0(0) 31(，， -
答案：B
题型4：集合中分类讨论问题
例4．（1）已知集合M=｛a 2
, a+1,－3｝, N=｛a －3, 2a －1, a 2
+1｝, 若M ∩N=｛－3｝, 则a 的值（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 解析：A ； M ∩N=｛-3｝，
∴∈-3 N=｛a -3，2a -1，a 2+1｝，
若a －3=-3, 则a=0,此时M={0,1,－3}，N={－3，－1，1}，则 M ∩N=｛-3，1｝，故不适合。

若2a －1=－3，则a =－1，此时M={1, 0,－3}, N={－4,－3, 2}， 若a 2
+1=－3，此方程无实数解。

点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。

（2）设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，
{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

解析：由f （x ）为二次函数知0a ≠，
令f （x ）＝0解得其两根为1211x x a a =-=+由此可知120,0x x <>
（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>，A B φ⋂≠的充要条件是23x <，即
13a 解得67
a >；
（ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<，A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即
11a >解得2a <-；
综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7
-∞-⋃+∞。

点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。

题型5：函数、方程、不等式中分类讨论问题
例5．设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t ) （Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a 。

解析：（Ⅰ）令t =要使有t 意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1,
∴22[2,4],t =+t ≥0 ①
t 的取值范围是2
112
t =-
∴m(t)=a(
2112t -)+t=21
,2]2
at t a t +-∈
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数2
1(),2]2
m t at t a t =+-∈的最大值。

注意到直线1t a =-是抛物线2
1()2
m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论。

（1）当a>0时，函数y=m(t), t ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，
由1
t a
=-
<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2。

(2)当a=0时，m(t)=t, t ∈,∴g(a)=2。

(3)当a<0时,函数y=m(t), t ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，
若1t a =-
∈，即2
a ≤-则()g a m =
若12]t a =-∈，即122a -<≤-则11()()2g a m a a a =-=--， 若1(2,)t a =-
∈+∞，即1
02
a -<<则()(2)2g a m a ==+，
综上有2,1(),2a g a a a ⎧+⎪
⎪
=--⎨
1
2
1,22
a a a >-
<<-≤-
(III)解法一： 情形1：当2a <-时
112a >-
，此时()g a =11()2g a a
=+
由1212
a a +
==--
，与a<-2矛盾。

情形2
：当2a -≤<
11
22
a -
<≤-
时，此时()g a =11()2a g a a =--
12
a
a =--解得，
a =
a <
情形3
：当2
a ≤
-
12a ≤≤-
时，此时1()()g a g a ==
所以2
a ≤≤-
情形4
：当1
2
a <≤-
时，12a -≤<1()2g a a a =--
，
1()g a
=12a a a a --==>解得与矛盾。

情形5：当102a -
<<时，12a <-，此时
g(a)=a+2, 1
()g a
=
由2a +=
1
2,2
a a =>-与矛盾。

情形6：当a>0时，10a >，此时g(a)=a+2, 11
()2g a a
=+
由1
221a a a
+=+=±解得，由a>0得a=1.
综上知，满足1()()g a g a =的所有实数a
为2
a ≤-
或a=1。

点评：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

例6．解不等式
()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a≠－1
2
)
【分析】 含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，故对
参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12<a<0、a<－1
2分别加以讨论。

【解】 2a ＋1>0时，a>－1
2
； －4a<6a 时，a>0 。

所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ； 当a ＝0时，x 2
>0，解得：x ≠0；
当－1
2<a<0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得: x<6a 或x>－4a ；
当a>－1
2
时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

综上所述，当a>0时，x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x ≠0；当－
1
2
<a<0时，x<6a 或x>－4a ；当a>－1
2
时，6a<x<－4a 。

【注】 本题的关键是确定对参数a 分四种情况进行讨论，做到不重不漏。

一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

题型6：数列中分类讨论问题 例5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),2(1++n n S a 在直线54-=x y 上，
其中*N n ∈.
令
n n n a a b 21-=+，且11=a ，
（1）求数列
{}n b 的通项公式；
（2）若n
n x b x b x b x b x f ++++= 33221)(，求)1(f '的表达式，并比较)1(f '与
n n 482-的大小.
解：（1）∵5)2(41-+=+n n a S ，∴341+=+n n a S .
∴341+=-n n a S （2≥n ）. ∴1144-+-=n n n a a a （2≥n ）. ∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a （2≥n ）. ∴
2221
11=--=-+-n n n n n n a a a a b b （2≥n ）. ∴数列{}n b 为等比数列，其公比为2=q ，首项1212a a b -=，
而34121+=+a a a ，且11=a ，∴62=a . ∴4261=-=b . ∴11224+-=⨯=n n n b . （2）∵
n n x b x b x b x b x f ++++= 33221)(，
∴ 1232132)(-++++='n n x nb x b x b x b x f .
∴)1(f 'n nb b b b ++++= 32132. ∴)1(f '1
4
3
2
2
23222+⋅++⋅+⋅+=n n ， ①
∴2)1(f '2
543223222+⋅++⋅+⋅+=n n . ②
①-②得 -)1(f '21
4
3
2
22222++⋅-++++=n n n ，
222
1)
21(4+⋅---=
n n n 22)21(4+⋅---=n n n ，
∴)1(f '2
2)1(4+⋅-+=n n .
∴-')1(f （n n 482
-）=)12(42)1(42---⋅-n n n n =[]
)12(2)1(4+--n n n
. 当1=n 时，)1('
f =n n 482-；
当2=n 时，)1('f -（n n 482-）=4（4-5）=-40<，)1('
f <n n 482-；
当3≥n 时，0)1(4>-n ，
且n
n n n n n n n C C C C +++=+=-110)11(2 1222+>+>n n ， ∴3≥n 时，总有122+>n n
. ∴3≥n 时，总有)1('
f >n n 482-
五．思维总结
1、从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何
2
1意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

2、分类讨论问题已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查；其二，解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关. 分类讨论要注意的几点： (1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏;(2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解好分类讨论问题的前提条件; (3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性;(4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程.
六．巩固性题组：
1、已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b ，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β ，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )
A α＜a ＜b ＜β
B α＜a ＜β＜b
C a ＜α＜b ＜β
D a ＜α＜β＜b
2、定义{}⎩⎨
⎧<≥=b a b b a a b a ,,,max ，设实数
y x ,满足约束条件{},3,2max ,22y x y x z y x +-=⎩⎨⎧≤≤则z 的取值范围是（ ） .
Ａ.［－5，6］ Ｂ.［－3，6］ Ｃ.［－5，８］ Ｄ.［－8，８］ 答案：C
3、设,x y 满足约束条件04312
x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是（ ） .A [1,5] .B [2,6] .C [3,10] .D [3,11]
答案：D
4、过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率
k ＝ 。

（数形结合）由图形可知点A 在圆2
2
(
2)4x y -+=
的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l OA ⊥，所以
1l OA k k =-
==。

点评：对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。

5、已知A =｛(x,y )||x |≤1,|y |≤1｝,B =｛(x,y )|(x –a )2+(y –)2≤1，∈R ｝,若A ∩B ≠∅，则的
取值范围是 。

解析：如图，集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界，集合B 所表示的点为以C (a ,a )为圆心，以1为半径的圆的内部及其边界．而圆心C (a ,a )在直线y=x 上，故
要使A ∩B ≠∅， 则221221+≤≤--a 为所求。

点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思路直接求出实数a 的取值范围．
6、 (4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是
解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )
点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线
考虑用点到直线的距离公式求解
答案 7、设等比数列}{n a 的公比为q , 前n 项和为n S , 若12,,n n n S S S ++成等差数列, 求q 的值. 解: 若1q =, 则111(1)(2)2n a n a na +++=,
10,232a n n ≠∴+=, 不合要求; ………3分
若1q ≠, 则12111(1)(1)2(1)111n n n a a a q q q q q q
++-+-=⋅----, ……………………6分 122n n n q q q ++∴+=, ………………………………………9分
220, 2.q q q ∴+-=∴=-综上, 2q =-.
8、已知向量a ax x f a a a m -=>=22
1)()0( )21,1(，将函数的图象按向量m 平移后得到函数)(x g 的图象。

（Ⅰ）求函数)(x g 的表达式；
（Ⅱ）若函数]2,2[)(在x g 上的最小值为)()(a h a h ，求的最大值。

（Ⅰ）设P （x ，y ）是函数)(x f y =图象上的任意一点，它在函数)(x g y =图象上的对应
点),(y x P '''，则由平移公式，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-='+='a y y a x x 21
1 …………2分
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+'=-'=a y y a x x 21
1 代入函数a ax x f y -==221)(中，得
.)1(21212a a
x a a y --'=+
' ………………2分 ∴函数)(x g y =的表达式为.21)1(21)(2a
a a x a x g ---= …………1分 （Ⅱ）函数)(x g 的对称轴为.01>=a x ①当2
2 210><<a a 即时，函数)(x g 在[2,2]上为增函数， ∴2)2()(-==g a h ………………2分 ②当2
221212≤≤≤≤a a 即时，.21)1()(a a a g a h --== ∴2212)21(21)(-=⋅-≤+-=--=a
a a a a a a h 当且仅当22=
a 时取等号； …………2分 ③当2
1021<<>a a 即时，函数)(x g 在[2,2]上为减函数， ∴.2
32212)2()(-=-<-==a g a h …………2分 综上可知，⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<-≤≤-->-=210,2.2221,2122,2)(a a a a a a a h ∴当22=
a 时，函数)(a h 的最大值为 .2)22(-=h。