小学奥数几何五大模型燕尾模型

燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于.
通过一道例题 证明燕尾定理：
如右图，D 是1423:::S S S S BD DC ==
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；
三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；
三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；
综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在
BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． 【解析】 方法一：连接CF ，
根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE
S EC
==△△,
设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标
所以55
1212
DCEF ABC S S ==△
方法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33ABD ABC S S ==△△，
1121
2233
ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111
22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5
12
．
【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，
所以1103ABE ABC S S ==△△，1
152
ABD ABC S S ==△△．
根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD
S CD
==△△,
所以1
7.54
ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，
例题精讲
燕尾定理
所以阴影部分面积是30107.512.5--=．
(法二)连接DE ，由题目条件可得到1
103
ABE ABC S S ==△△，
112
10223
BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111
2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而21
1032
CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，
AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． 【解析】 连接CF ，
根据燕尾定理，
2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36
510
ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，3
10623
CDF S =⨯=+△份，
所以24545
200(6910)(
6)8(6)93(cm )88
DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △
面积的几分之几 【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部
分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59
,,,30306030103020
+===
【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于
点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． 【解析】 方法一：连接PQ ．
由于12CP CB =，1
3
CQ CA =，所以23ABQ ABC S
S =，11
26BPQ BCQ
ABC
S S S ==．
由蝴蝶定理知，21
:::4:136
ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，
所以44122
6 2.455255
ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．
方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分
的面积各是多少? 【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242
217
FDCE S +==
【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC
的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．
【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，2
3
ABF CBF S AE S EC ==△△,
设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，2
4 1.623
AEF S =⨯=+△ 份,3
4 2.423
EFC S =⨯
=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△
【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影
部分)的面积为多少
【解析】 连接BN ．
ABC △的面积为3223⨯÷=
根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△
设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的
面积为31010.3÷⨯=．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米?
【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55
1212
BCD S S ==△阴影平方厘米.
【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边
形BODC 的面积为________． 【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.
【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形
AGCD 的面积是_________平方厘米． 【解析】 连接AC 、GB ，
设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=
【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的
面积是_____平方厘米． 【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，
因此122)210S =
++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以7
12010146
BFHG S =÷⨯=(平方厘米). 【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ． 【解析】 连接CD ．
由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，
根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．
【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE = 【解析】 连接OC ．
因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即3
2
AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=
．则334
2223
AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．
【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =
【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积
比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．
因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，
所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==． 【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且
13AE AB =，1
4
CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的
面积之和为 ．
【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，
所以1
22
AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，
所以12231
1033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．
且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1
152
CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．
所以两三角形面积之和为10515+=．
(法2)如上右图，连接AC 、BG ．
根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，
而1
602
ABC ABCD S S ∆==，
所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，1
60203ABC S ∆=⨯=，
则1103AEG ABG S S ∆∆==，1
54
CFG BCG S S ∆∆==，
所以两个三角形的面积之和为15．
【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ． 【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB . 【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△
【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =
【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .
【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，
且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______． 【分析】 连接AH 、BI 、CG ．
由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =
，故22
55
ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以
::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，9
19BCG S ∆=；
那么2248
551995
AGE AGC S S ∆∆==⨯=；
同样分析可得9
19
ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以
::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，
所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，5511
1919519
GHI BIE S S ∆∆==⨯=．
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形
ABC 的面积． 【解析】 连接BG ，AGC S △=6份
根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△
得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6
19
AGC ABC S S =△△,
同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,6
19
BIC ABC S S =△△,
所以1966611919
GHI ABC S S ---==
△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，
2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍． 【分析】 如图，连接AI ．
根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==， 所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，
那么，22
1247
BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．
同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的
2
7
，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的21
1377
-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．
【巩固】如图在ABC △中，1
2
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． 【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,
得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此2
7
AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得
27ABH ABC S S =△△,2
7
BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，
但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【巩固】如图在ABC △中，
1
3
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． 【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,
得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此3
13
AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得
13ABH ABC S S =△△,3
13
BIC ABC S S =△△,
所以
133334
1313
GHI ABC S S ---==△△ 【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积． 【解析】 连接BG ，AGC S △=12份
根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△
得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此12
37
AGC ABC S S =△△,
同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =△△,12
37BIC ABC S S =
△△, 所以
371212121
3737
GHI ABC S S ---==
△△ 三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是1
74237
⨯
= 【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，
则阴影四边形的面积是多少
【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，
则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．
方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下
飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=
【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ． 【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的
字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.
方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（
），解得2S =阴影. 【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多
少? 【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得
::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33
(84)6344
ACO S x x =⨯+=+△，
再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3
(84):(4030)(6335):354
x x ++=+-解得56x =
:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△ 所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=
【例 11】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分
的面积． 【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．
在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,
所以1
3
ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△
由于11
22
AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =
在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△
设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，
所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,11
48BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,
所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,1111
2248
BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,
所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫
=+==⨯= ⎪⎝⎭
△△阴影(平方厘米)
【例 12】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，
AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米 【解析】 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以1
5
ABM ABC S S =△△；
再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以
:4:3AN NF =，那么
1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫
=-=⨯= ⎪⎝⎭
△△△．
根据题意，有15
7.2528
ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)
【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，
若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．
【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，
那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==，那
么4BM DM =，即4
5
BM BD =．
那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，147
21530
CDMF S =-=
四边形． 另解：得出24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==后，可得1111
55210
ADM ABD S S ∆∆==⨯=，
则117
31030
ACF ADM CDMF S S S ∆∆=-=-=四边形．
【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，
请写出这9部分的面积各是多少? 【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，
CQ ，CM ，CN ．
根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则
1225ABC S =++=△(份)，所以1
5
ABP S =△
同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，121
3721AQG S =-=△．
同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239
273570PQMN S =--=
四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115
321642
GFNQ S =--=四边形
【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四
边形JKIH 的面积是多少 【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．
根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，
所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11
321
AGK ACK S S ∆∆==．
类似分析可得2
15
AGI S ∆=
． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14
ACJ S ∆=． 那么，111742184
CGKJ S =
-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为
17
84
，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为619
17070
-=．
【例 14】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，
求阴影部分面积．
【解析】 设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ， IF ．
∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，9
16
AIF ABC S S ∴=△△ ∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△，
∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴3
64
AHM ABC S S =△△，
∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴3
16
AHF ABC S S =△△ ．
同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33
::1:46416
HM HF ==，
∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==，
∴IF BC ∥ ，
又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==，
∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==，
同理 :2:3HN ND =，∵:1:4HM HF =，∴:2:5HN HD =，
∴177
10160160
HMN HDF ABC S S S ===
△△△． 同理 6个小阴影三角形的面积均为7
160
．
阴影部分面积721
616080
=⨯=．
【例 15】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴
影部分面积. 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP
⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，
::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△
设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),
所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,1
12AIM ABC S S =△△,
所以111
()12126
ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的1
6
⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理
::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,
所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理1
21
BEQ ABC S S =△△
在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△
所以1
5
ABP ABC S S =△△
所以11
11152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭
△△△△△五边形
同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11
105
所以11113
133610570
S =-⨯-⨯=
阴影 【例 16】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中
心六边形面积.
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,
所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,2
7CQB ABC S S =△△
所以2221
17777RQS S =---=△
同理1
7
MNP S =△
根据容斥原理，和上题结果11131
777010
S =+-=六边形
【例 17】 （2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009
平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；
那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可
得231233311
7732
A A G A A A S S S ==⨯⨯△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，
连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔
模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A G S =△份，则233A A G S =△份,313A A G S =△份，
所以2312333111
773214A A G A A A S S S S ==⨯⨯=△△正六边形正六边形，
因此14
1620091148147
S S =-⨯=⨯=阴影正六边形（）（平方厘米）
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正
六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为8
2009114814
⨯=（平
方厘米）
【例 18】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b = 【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，
根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，
∵AE=EF
∴22
=
OM ON a b
::
∴33
==
::1:8 S S a b
乙
甲
∴:1:2
a b=。