运筹学01.10单纯形法的算法步骤
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2011-3-10
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运筹学
Operations Research
∴ ( LP)的最优解为(50,250,0,50,0)T ，最优值为27500. 故原线性规划问题的最优解为(50,250)T ，最优值为27500. ▌
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Operations Research
例2 利用单纯形法求解线性规划问题：
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运筹学
Operations Research
解：（1）（2）
（3） max z = 5 x + 3x 1 2
s. t. 1 4 8 x2 ≤ − x1 − 5 25 5 4 x1 + x 2 ≤ 2 5 x1 , x 8
故 [ x , x ]都是原规划的最优解.▐
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运筹学
Operations Research
∃rk = 0（xk为非基变量），
注：（1）在最终的单纯形表中，若
则只需以第k列为枢轴列，仍按最小比原则选择枢轴行，转 轴后即可得线性规划问题的另一最优解. （2）图解法：
基本最优解
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运筹学
Operations Research
例1 利用单纯形法求解线性规划问题：
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
解：将所给线性规划问题化为标准形
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3
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Operations Research
至此，得原规划的一个最优解
Q r5 = 0,∴以b25 = 1为枢轴元转轴
x1 = (50,250)T，最优值为15000.
可得原规划的另一个最优解 x
1 2
2
= (100,200)T
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 + x3 = 300 ( LP ) : 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3
Operations Research
B 例6 问 λ 是何值时， = ( P5 , P6 , P7 ) 是线性规划问题
z = (λ − 6) x1 + (λ − 5) x 2 + (3 − λ ) x3 + (4 − λ ) x 4 x1 − x2 − x3 + x5 =1 − x1 + x2 − x4 + x6 =1 − x2 + x3 + x7 = 1 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
的最优基？ 解： 6 − λ ≥ 0 5 − λ ≥ 0 ⇒4≤λ ≤5 λ − 3 ≥ 0 λ − 4 ≥ 0
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Operations Research
例7 设利用单纯形法求解某“max”型线性规划问题（LP） 计算到某一步时的单纯形表为
且（LP）的目标函数为 z = 5 x1 + 3x 2 ，不等式约束条件为 x3 , “ ”型，x 4 为松弛变量． ≤ （1）求a～g的值； （2）问当前基本解是否为最优解？ （3）写出（LP）的具体形式．
x2
解：取初始可行基
B = ( P1 , P2 , P3 ) = I 3
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Operations Research
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Operations Research
至此，返回到第一张单纯形表，出现“循环”. 1976年，R. G. Bland提出Bland规则：枢轴列往前取，枢轴行 往上取.
取初始可行基B = ( P3 , P4 ) = I 2
无上界.▌
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Operations Research
例3 利用单纯形法求解线性规划问题：
+ 2 x3 max z = 3 x1 s. t. 2 x1 + x 2 =4 x1 + x3 = 6 x1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学
Operations Research
§1.10
over
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max z = 50 x1 + 50 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
解：将所给线性规划问题化为标准形
max z = 50 x1 + 50 x2 s. t. = 300 x1 + x2 + x3 ( LP ) : 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
解：取初始可行基 B = ( P2 , P3 ) = I 2
典式
=4 2 x1 + x 2 x1 + x3 = 6 z − x = 12 1
最优解为(2,0,4)T ，最优值为14. ▌
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Operations Research
例4 利用单纯形法求解线性规划问题：
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运筹学
Operations Research
最优解为
5 3 T ( ,0,0,1,0,1,0) ， 最优值为 4 4
.▐
注：“循环”极“罕 见”.
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max s.t.
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运筹学
max s. t. z= x1
Operations Research
例5 利用单纯形法求解线性规划问题：1955年，E. M. Beale
3 1 x 4 − 20 x5 + x6 − 6 x7 4 2 1 + x 4 − 8 x5 − x 6 + 9 x 7 = 0 4 1 1 + x 4 − 12 x5 − x6 + 3x7 = 0 2 2 x3 + x6 =1 x j ≥ 0, j = 1, L,7
max z = x1 + x2 s. t. x1 − x2 ≤ 1 − 3x1 + 2 x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0
解：化为标准形
max z = x1 + x2 s. t. x1 − x2 + x3 =1 ( LP ) : − 3x1 + 2 x2 + x4 = 6 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
1在最终的单纯形表中若xk为非基变量0?kr则只需以第k列为枢轴列仍按最小比原则选择枢轴行转轴后即可得线性规划问题的另一最优解
运筹学
Operations Research
§1.10 单纯形法的算法步骤 1.10
Simplex Method
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算法步骤：
Operations Research
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Operations Research
∴ ( LP)的最优解为(50,250,0,50,0)T ，最优值为27500. 故原线性规划问题的最优解为(50,250)T ，最优值为27500. ▌
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例2 利用单纯形法求解线性规划问题：
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解：（1）（2）
（3） max z = 5 x + 3x 1 2
s. t. 1 4 8 x2 ≤ − x1 − 5 25 5 4 x1 + x 2 ≤ 2 5 x1 , x 8
故 [ x , x ]都是原规划的最优解.▐
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Operations Research
∃rk = 0（xk为非基变量），
注：（1）在最终的单纯形表中，若
则只需以第k列为枢轴列，仍按最小比原则选择枢轴行，转 轴后即可得线性规划问题的另一最优解. （2）图解法：
基本最优解
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Operations Research
例1 利用单纯形法求解线性规划问题：
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
解：将所给线性规划问题化为标准形
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3
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Operations Research
至此，得原规划的一个最优解
Q r5 = 0,∴以b25 = 1为枢轴元转轴
x1 = (50,250)T，最优值为15000.
可得原规划的另一个最优解 x
1 2
2
= (100,200)T
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 + x3 = 300 ( LP ) : 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3
Operations Research
B 例6 问 λ 是何值时， = ( P5 , P6 , P7 ) 是线性规划问题
z = (λ − 6) x1 + (λ − 5) x 2 + (3 − λ ) x3 + (4 − λ ) x 4 x1 − x2 − x3 + x5 =1 − x1 + x2 − x4 + x6 =1 − x2 + x3 + x7 = 1 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
的最优基？ 解： 6 − λ ≥ 0 5 − λ ≥ 0 ⇒4≤λ ≤5 λ − 3 ≥ 0 λ − 4 ≥ 0
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运筹学
Operations Research
例7 设利用单纯形法求解某“max”型线性规划问题（LP） 计算到某一步时的单纯形表为
且（LP）的目标函数为 z = 5 x1 + 3x 2 ，不等式约束条件为 x3 , “ ”型，x 4 为松弛变量． ≤ （1）求a～g的值； （2）问当前基本解是否为最优解？ （3）写出（LP）的具体形式．
x2
解：取初始可行基
B = ( P1 , P2 , P3 ) = I 3
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至此，返回到第一张单纯形表，出现“循环”. 1976年，R. G. Bland提出Bland规则：枢轴列往前取，枢轴行 往上取.
取初始可行基B = ( P3 , P4 ) = I 2
无上界.▌
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例3 利用单纯形法求解线性规划问题：
+ 2 x3 max z = 3 x1 s. t. 2 x1 + x 2 =4 x1 + x3 = 6 x1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学
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§1.10
over
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max z = 50 x1 + 50 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
解：将所给线性规划问题化为标准形
max z = 50 x1 + 50 x2 s. t. = 300 x1 + x2 + x3 ( LP ) : 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
解：取初始可行基 B = ( P2 , P3 ) = I 2
典式
=4 2 x1 + x 2 x1 + x3 = 6 z − x = 12 1
最优解为(2,0,4)T ，最优值为14. ▌
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例4 利用单纯形法求解线性规划问题：
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12
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运筹学
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最优解为
5 3 T ( ,0,0,1,0,1,0) ， 最优值为 4 4
.▐
注：“循环”极“罕 见”.
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max s.t.
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运筹学
max s. t. z= x1
Operations Research
例5 利用单纯形法求解线性规划问题：1955年，E. M. Beale
3 1 x 4 − 20 x5 + x6 − 6 x7 4 2 1 + x 4 − 8 x5 − x 6 + 9 x 7 = 0 4 1 1 + x 4 − 12 x5 − x6 + 3x7 = 0 2 2 x3 + x6 =1 x j ≥ 0, j = 1, L,7
max z = x1 + x2 s. t. x1 − x2 ≤ 1 − 3x1 + 2 x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0
解：化为标准形
max z = x1 + x2 s. t. x1 − x2 + x3 =1 ( LP ) : − 3x1 + 2 x2 + x4 = 6 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
1在最终的单纯形表中若xk为非基变量0?kr则只需以第k列为枢轴列仍按最小比原则选择枢轴行转轴后即可得线性规划问题的另一最优解
运筹学
Operations Research
§1.10 单纯形法的算法步骤 1.10
Simplex Method
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算法步骤：
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