初三数学中考总复习练习—平行四边形与多边形

初三数学基础知识总复习—平行四边形与多边形
命题点1平行四边形的判定
1．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能够判定四边形ABCD为平行四边形的是()
A. AD∥BC
B. OA＝OC，OB＝OD
C. AD∥BC，AB＝DC
D. AC⊥BD
2．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．
第2题图
3．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
第3题图
命题点2平行四边形的相关证明与计算
4．已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD是等边三角形，且AD＝4，则AB等于() A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 43
5．如图□ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G.则S△DEG∶S△CFG＝()
A. 2∶3
B. 3∶2
C. 9∶4
D. 4∶9
第5题图
6．如图，在□ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线的点E处．若∠B ＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为()
A. 12
B. 15
C. 18
D. 21
第6题图
7．如图，在□ABCD中，AD＝7，AB＝23，∠B＝60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE 沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为________．
第7题图
8．如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小是________．
第8题图
9．在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标是________．
10．在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于________．11．已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．
求证：BE＝DF.
第11题图
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10.
(1)求证：∠BEC＝90°；
(2)求cos∠DAE.
第12题图
13．如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH.
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)已知：AB＝22，EB＝4，tan∠GEH＝23，求四边形EHFG的周长．
第13题图
命题点3 多边形及其性质
14．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是()
A. 180°
B. 360°
C. 540°
D. 720°
第14题图
15．如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是()
A. 150米
B. 160米
C. 180米
D. 200米
第15题图
16．正十边形的外角和为()
A. 180°
B. 360°
C. 720°
D. 1440°
17．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝23，则它的边长是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
第17题图
18．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b，则a＋b不可能是()
A. 360°
B. 540°
C. 630°
D. 720°
第18题图
19．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为________．
20、用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图
②所示的正五边形ABCDE.图中，∠BAC＝________°.
第20题图
19.如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠OAD＝________°.
第21题图
中考冲刺集训
(时间：60分钟满分：70分)
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为()
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 90°
2．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()
A. 24
B. 30
C. 36
D. 42
第2题图
3．如图，□ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．则下列说法正确的是()
A. EH＝HG
B. 四边形EFGH是平行四边形
C. AC⊥BD
D. △ABO的面积是△EFO的面积的2倍
第3题图
4．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若□ABCD 的周长为28，则△ABE的周长为()
A. 28
B. 24
C. 21
D. 14
第4题图
5．如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD ＝40°，则∠E为()
A. 102°
B. 112°
C. 122°
D. 92°
第5题图
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
6．如图，□ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝________度．
第6题图
7．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD 的周长为________．
第7题图
8．在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是________．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为________．
第9题图
10．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE .下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ∶BD ＝21∶7；④FB 2＝OF ·DF .其中正确的结论有________(填写所有正确结论的序号)．
第10题图
三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)
11．)如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BD . (1)求证：四边形BCED 是平行四边形；
(2)若DA ＝DB ＝2，cosA ＝1
4
，求点B 到点E 的距离．
第11题图
12．如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 于点F ，G . (1)求证：BF ＝CF ；
(2)若BC ＝6，DG ＝4，求FG 的长．
第12题图
13．如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF;
(2)设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求S
T的值．
第13题图
14．在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如图①，若∠D＝30°，AB＝6，求△ABE的面积；
(2)如图②，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF.求证：ED－AG＝FC.
第14题图
教材改编题拓展
1．已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF.
第1题图
【1－变式拓展】平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝6，求tan∠ABD的值．
1－变式拓展题图
2．已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE＝∠DCF.
第2题图
【2－变式拓展】如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：AE＝CF.
2－变式拓展题图
3．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD 于点P，Q，求BP∶PQ∶QR.
第3题图
【3－变式拓展1】如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为()
3－变式拓展1题图
A. 24
25 B.
4
5 C.
3
4 D.
12
25
【3－变式拓展2】(2018雅安)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q.
(1)求证：△ABC≌△DCE；
(2)求PQ
PR的值．
3－变式拓展2题图
【3－变式拓展3】(2019湖州)如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
3－变式拓展3题图
4．已知：如图，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
第4题图
【4－变式拓展】如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB＝13，AD＝20，DE＝12，求□□BEDF的面积．
4－变式拓展题图
第十六讲 平行四边形与多边形
命题点分类集训
1．B 2．AD ∥BC (答案不唯一)
3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD .∴∠F AE ＝∠CDE ，∠AFE ＝∠DCE . ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE ＝DE .(2分)
在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠F AE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，
∴△AEF ≌△DEC (AAS )．··········(4分) ∴EF ＝EC . 又∵AE ＝DE ，
∴四边形ACDF 是平行四边形．··········(6分) 4．D 5.D 6.C 7.20 8.21° 9.(1，2)
10．163或83 【解析】情况有2种：(1)如解图①，当∠ABD 是锐角时， 过点D 作DE ⊥AB 交
AB 于点E ，则∠AED ＝∠DEB ＝90°，在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°，AD ＝4 3 ，∴DE ＝1
2AD
＝23，AE ＝AD ·cos 30°＝6. 在Rt △DEB 中，∵DB ＝4，DE ＝23，∴EB ＝DB 2－DE 2＝2 .∴AB ＝6＋2＝8，∴S □ABCD ＝8×23＝16 3 .(2)如解图②， 当∠ABD 是钝角时，过点D 作DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，则∠AED ＝90°，在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°，AD ＝4 3 ，∴DE ＝12AD
＝23，AE ＝AD ·cos 30°＝6，在Rt △DEB 中，∵DB ＝4，DE ＝23，∴EB ＝DB 2－DE 2＝2，∴AB ＝6－2＝4.∴S □ABCD ＝4×23＝8 3 . 综上所述，□ABCD 的面积为163或8 3.
第10题解图
11．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC .··········(4分)
∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴DE ＝BF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴BE ＝DF .··········(8分)
12．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，AB ∥CD .
∵AE 平分∠DAB .∴∠DAE ＝∠BAE . ∵CD ∥AB ，
∴∠DEA ＝∠EAB ＝∠DAE . ∴DE ＝AD ＝10＝BC .
在△BCE 中，CE 2＋BE 2＝62＋82＝100＝BC 2， ∴△BCE 为直角三角形． ∴∠BEC ＝90°；··········(5分) (2)解：∵CD ∥AB ，∠BEC ＝90°， ∴∠ABE ＝90°，
∵AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝10＋6＝16， ∴AE ＝AB 2＋BE 2＝162＋82＝85，
∴cos ∠DAE ＝cos ∠EAB ＝AB AE ＝1685＝255.··········(10分)
13．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝CD ，∠BAC ＝∠DCA ＝45°. ∴∠EAB ＝∠FCD ＝135°. ∵EH ∥GF ， ∴∠DFC ＝∠BEA . ∴△DFC ≌△BEA . ∴DF ＝BE . ∵BH ＝DG . ∴HE ＝GF ， ∵HE ∥GF ，
∴四边形EHFG 是平行四边形；··········(5分)
(2)解：如解图，连接BD 交AC 于O ，过点D 作DM ⊥BE 于M ，过点G 作GN ⊥BE 于N .
∵四边形EHFG 是平行四边形， ∴四边形GNMD 是矩形． ∴GN ＝DM ，GD ＝MN . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，DO ＝BO ＝AO . ∵AB ＝22， ∴BO ＝2，
∴cos ∠OBE ＝OB BE ＝1
2.
∴∠OBE ＝60°.
∴DM ＝BD ·sin ∠DBM ＝4×
3
2
＝23，BM ＝BDcos ∠DBM ＝4cos 60°＝2. ∵tan ∠GEH ＝GN
EN ＝23，∴EN ＝1.
∴EG ＝EN 2＋GN 2＝13.
∵MN ＝EB －BM －EN ＝4－2－1＝1，
∴EH ＝BE ＋BH ＝BE ＋GD ＝BE ＋NM ＝4＋1＝5.
∴平行四边形EHFG 的周长为2(EG ＋EH )＝2(13＋5)＝213＋10.(10分)
第13题解图
14．C 15.C 16.B 17.D
18．C 【解析】如解图，直线可将矩形ABCD 分成的图象有四种情况：解图①，一个三角形和一
个五边形，a ＝180°，b ＝540°，∴a ＋b ＝720°；解图②，一个三角形和一个四边形，则a ＝180°，b ＝360°，∴a ＋b ＝540°；解图③，两个四边形，即a ＝b ＝360°，∴a ＋b ＝720°；解图④，两个三角形，则a ＝b ＝180°，∴a ＋b ＝360°.则a ＋b 不可能是630°.
第18题解图
19．420.36°21.30
中考冲刺集训
1．C2.B3.B4.D5.B6.617.16
8．4∶25或9∶25 9.2或22
10．①③④【解析】∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∵AB∥CD，∴∠CEB＝∠DCE，∴∠ECB＝∠CEB，∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形．∴BC＝EB＝CE.∵AB＝2BC，∴AE ＝EB＝EC，∴AC⊥BC.∵AO＝OC，∴OE∥BC，OE为△ABC的中位线，∴OE⊥AC，即①正确；∵OE为△ABC的中位线，∴OE∶BC＝1∶2，∵OE∥BC，∴△OFE∽△BFC，∴OF∶FB ＝1∶2，∴S△OBC＝3S△OFC，易证△AOD≌△COB，∴S△AOD＝S△OBC，∴S△AOD＝3S△OFC，即②错误；∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴AC∶BC＝3∶1，∵O为AC的中点，∴OC∶BC＝3∶2.
∴OB∶OC＝7∶3，即AC∶BD＝3∶7＝21∶7，即③正确；∵OE∥BC，BC＝2OE，∴OF∶FB＝1∶2(a)，∴OB∶FB＝3∶2，∴BD∶BF＝6∶2，∴DF∶BF＝4∶2，即DF∶BF＝2∶1(b)．a式与b式相乘即可得BF2＝OF·DF，即④正确．
11．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵DE＝AD，
∴DE∥BC，DE＝BC.
∴四边形BCED是平行四边形；··········(4分)
(2)解：如解图，连接BE交CD于点O，
∵BD＝DE，
∴四边形BCED是菱形．
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠BCD .··········(7分)
∵cosA ＝14，∴OC ＝BCcos ∠BCD ＝2×cosA ＝12.
∴BO ＝BC 2－OC 2＝
15
2
. ∴BE ＝2BO ＝15.··········(10分)
第11题解图
12．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∴∠E ＝∠EDC . ∵BE ＝AB ，AB ＝CD ，
∴BE ＝CD .在△BEF 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠EFB ＝∠DFC ，∠E ＝∠CDF ，BE ＝CD ，
∴△BEF ≌△CDF (AAS )． ∴BF ＝CF ；··········(4分) (2)解：由(1)知AB ∥CD . ∴△CDG ∽△AEG . ∴DG EG ＝CD
AE . ∵AB ＝BE ＝CD ， ∴AE ＝AB ＋BE ＝2CD . ∴CD AE ＝12
. ∴DG EG ＝12.··········(7分) ∵DG ＝4， ∴EG ＝8.
∴DE ＝DG ＋EG ＝4＋8＝12.由(1)知△BEF ≌△CDF .
∴DF ＝12DE ＝1
2
×12＝6.
∴FG ＝DF －DG ＝6－4＝2.(10分)
13．(1)证明：如解图，延长F A 与CB 的延长线交于点M ，
∵AD ∥BC ， ∴∠F AD ＝∠M ， 又∵AF ∥BE ， ∴∠M ＝∠EBC ， ∴∠F AD ＝∠EBC . 同理得∠FDA ＝ECB ， 在△BCE 和△ADF 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠EBC ＝∠F AD ，BC ＝AD ，∠ECB ＝∠FDA ，
∴△BCE ≌△ADF (ASA )；··········(5分) (2)解：如解图，连接EF ，由(1)知△BCE ≌△ADF ， ∴AF ＝BE ， 又∵AF ∥BE ，
∴四边形ABEF 为平行四边形． ∴S △AEF ＝S △AEB . 同理S △DEF ＝S △DEC ∴T ＝S △AEB ＋S △DEC .
∴T ＝S △AED ＋S △ADF ＝S △AED ＋S △BCE ， ∴S ＝S △AEB ＋S △DEC ＋S △AED ＋S △BEC ＝2T . ∴S
T
＝2.··········(10分)
第13题解图
14．(1)解：如解图①，过点B 作BH ⊥AD 交DA 延长线于点H ，
第14题解图①
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC .
∴∠BAH ＝∠D ＝30°，∠EBC ＝∠AEB . ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠EBC . ∴∠AEB ＝∠ABE . ∴AE ＝AB ＝ 6.
在Rt △ABH 中，BH ＝12AB ＝6
2
，
∴S △ABE ＝12AE ·BH ＝12×6×62＝3
2
；··········(5分)
(2)证明：如解图②，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，交DF 的延长线于点K ，连接BF ，
第14题解图②
∵AM ⊥BE ，
∴∠KAF ＋∠BGA ＝90°. ∵AF ⊥DC ，AB ∥CD ， ∴∠BAG ＝90°. ∴∠GBA ＋∠BGA ＝90°. ∴∠KAF ＝∠GBA . 在△ABG 和△F AK 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠GBA ＝∠KAF ，AB ＝AF ，∠BAG ＝∠AFK ， ∴△ABG ≌△F AK (ASA )． ∴AG ＝KF ，∠K ＝∠AGB .
∵∠AGB ＝∠GAE ＋∠AEG ，∠AEG ＝∠ABG ＝∠KAF ，
∴∠AGB ＝∠GAE ＋∠KAF ＝∠KAD . ∴∠K ＝∠KAD . ∴AD ＝DK .
∴FC ＝DK －CD －KF ＝AD －CD －KF ＝AD －AB －AG ＝AD －AE －AG ＝ED －AG .(10分)
教材改编题拓展
1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DO ＝BO (平行四边形的对角线互相平分) AD ∥BC (平行四边形的定义) ∴∠ODE ＝∠OBF . ∵∠DOE ＝∠BOF ， ∴△DOE ≌△BOF . ∴OE ＝OF .
【1－变式拓展】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠ODF ＝∠OBE ，∠OFD ＝∠OEB ， ∵EF 垂直平分BD ， ∴OD ＝OB ，
在△ODF 和△OBE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠OFD ＝∠OEB ，∠ODF ＝∠OBE ，OD ＝OB ，
∴△ODF ≌△OBE (AAS )， ∴OE ＝OF ；
(2)解：如解图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵∠A ＝60°，AD ＝6， ∴DG ＝AD ·sin 60°＝6×32＝33，AG ＝AD ·cos 60°＝6×1
2
＝3. ∵AB ＝2AD ＝12，
∴BG ＝AB －AG ＝12－3＝9.
∴tan ∠ABD ＝DG BG ＝339＝33
.
1－变式拓展题解图
2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，
∴∠ABE ＝∠CDF .
又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，
∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，
∴Rt △ABE ≌Rt △CDF .
∴∠BAE ＝∠DCF .
【2－变式拓展】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD .
∴∠BAE ＝∠DCF .
∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，
∴∠BEA ＝∠DFC ＝90°，
在△BAE 和△DCF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠BEA ＝∠DFC ，∠BAE ＝∠DCF ，AB ＝CD ，
∴△BAE ≌△DCF (AAS )，
∴AE ＝CF .
3．解：∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，
∴AD ＝BC ＝CE ，AC ＝DE ，AC ∥DE .
∵R 为DE 中点，
∴RE ＝DR ＝12DE ＝12
AC . ∴PC 为△BER 的中位线．
∴BP ＝PR ，PC ＝12RE ＝14
DE .
∵AC ∥DE ，
∴△CQP ∽△DQR .
∴PQ QR ＝PC DR ＝12
. ∴QR ＝2PQ .
∴BP ∶PQ ∶QR ＝3∶1∶2，
【3－变式拓展1】A
【3－变式拓展2】证明：(1)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，
∴AB ＝CD ，BC ＝AD ＝CE ，AC ＝DE ，
∴△ABC ≌△DCE (SSS )；
(2)解：在△BER 中，C 为BE 中点且CP ∥RE
∴CP 为△BER 的中位线，
∴CP ∶RE ＝1∶2，
又∵点R 为DE 的中点，
∴RE ＝DR ，
∴CP ∶DR ＝1∶2，
又∵CP ∥DR ，
∴∠CPQ ＝∠DRQ ，∠PCQ ＝∠RDQ ，
∴△CPQ ∽△DRQ ，
∴PQ ∶QR ＝CP ∶DR ＝1∶2，
∴PQ PR ＝13
. 【3－变式拓展3】(1)证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，
∴DF ∥BC ，FE ∥AB .
∴四边形BEFD 是平行四边形；
(2)解：∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝6，
∴DF ＝DB ＝DA ＝12
AB ＝3. 由(1)得，四边形BEFD 是平行四边形，
∴四边形BEFD 是菱形．
∵DB ＝3，
∴四边形BEFD 的周长为12.
4．证明：如解图，连接BD ，交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，
∵AE ＝CF ，
∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
第4题解图
【4－变式拓展】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∴∠BAF ＝∠DCE ，
∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∴BF ∥DE ，∠AFB ＝∠CED ＝90°，
在△ABF 和△CDE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠CED ，∠BAF ＝∠DCE ，AB ＝CD ，
∴△ABF ≌△CDE (AAS )，
∴BF ＝DE ，
又∵BF ∥DE ，
∴四边形BEDF 是平行四边形；
(2)解：∵AB ＝13，
∴CD ＝13.
∴EC ＝CD 2－DE 2＝132－122＝5.
∴AF ＝EC ＝5.
∵AE ＝AD 2－DE 2＝202－122＝16，
∴EF ＝AE －AF ＝11.
∴S □BEDF ＝EF ·DE ＝11×12＝132.。