高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案理新人教A版2

第1讲 直线与圆
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－4
3
B ．－34
C ． 3
D ．2
解析：选A ．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得
|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3.
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 2
4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半
轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标
准方程为(x －m )2
＋y 2
＝r 2
(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪
⎧m 2
＋4＝r 2
，(4－m )2＝r 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧m ＝3
2
，
r 2
＝254.
所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254
.
答案：(x －32)2＋y 2＝254
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线
l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.
(1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0. Δ＝16k 2
＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2
＋4k
2.
所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2
＋4
k
2.
由题设知4k 2
＋4
k
2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即
y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则
⎩
⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2
＝(y 0－x 0＋1)2
2＋16， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧x 0＝3，y 0＝2
或⎩⎪⎨
⎪
⎧x 0＝11，y 0＝－6.
因此所求圆的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝16或(x －11)2
＋(y ＋6)2
＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2，6]
B ．[4，8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析：选A ．圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1
∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝1
2|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP
面积的取值范围是[2，6]．
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
解析：选C ．设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则⎩⎪⎨⎪
⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪
⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.
所以圆的方程为x 2
＋y 2
－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，
所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |
＝46，故选C ．
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．
解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2
＝23，得d ＝3，即
||
3m －3m 2＋1
＝3，解得m ＝－
3
3
，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |
cos 30°
＝4.
答案：4
[明考情]
1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
直线的方程 [考法全练]
1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2
)，C (3，a 3
)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0
C ．2±5
2
D ．2＋52
或0
解析：选A ．因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2
)，C (3，a 3
)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a
2－1
＝
a 3＋a
3－1
，即a (a 2
－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A ．
2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0
D ．4
解析：选B ．因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B ．
3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m
的取值范围是( )
A ．[－2，0)∪[3，＋∞)
B ．(－∞，－1]∪(0，6]
C ．[－2，－1]∪[3，6]
D ．[－2，0)∪(0，6]
解析：选C ．由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两
侧(或其中一点在直线上)，所以⎝
⎛⎭⎪⎫m －6m
－2＋1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或
3≤m ≤6，故选C ．
4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2
＝2，所以k ＝0或k ＝4
3.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.
答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0
5．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．
解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1
的交点(1，0)在l 2上．
又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y －2
2－1＝0，y ＋2
x
×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，
y ＝－1.
即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0.
法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 1
2－y ＋y 1
2－1＝0，
y －y
1x －x 1
×1＝－1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.
因为(x 1，y 1)在l 1上，
所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0
(1)两直线的位置关系问题的解题策略
求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．
(2)轴对称问题的两种类型及求解方法
圆的方程 [典型例题]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2
－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .
(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．
【解】 由曲线Γ：y ＝x 2
－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2
－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2
－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．
(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2
＝0，所以
m ＝0或m ＝－1
2
.
由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－1
2
，
此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋142
＋y 2
＝1716.
(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2
－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，
所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2
＋y 2
－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2
＋y 2
－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45，
故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，45.
求圆的方程的2种方法
1．若方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0 C ．(－2，0)
D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D ．若方程表示圆，则a 2
＋(2a )2
－4(2a 2
＋a －1)>0，化简得3a 2
＋4a －4<0，解得－2<a <2
3
.
2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2 B ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2 C ．(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝4 D ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝4
解析：选A ．设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2
＋b 2
＝r 2
①，(a －2)2
＋b 2
＝r 2
②，
b
a －2
＝1③，
联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2
＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.故选A ．
3．(2019·安徽合肥模拟)已知圆M ：x 2
＋y 2
－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →
＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )
A ． 5
B ． 6
C ．7
D ．2 2
解析：选C ．圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2
＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因
为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →
＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2
＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C ．
直线与圆、圆与圆的综合问题
[典型例题]
命题角度一 切线问题
已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，点P 为直线x 4＋y
2
＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，
A ，
B 为切点，则直线AB 经过定点( )
A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14 B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12 C ．⎝
⎛⎭
⎪⎫
34，0 D ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，
34 【解析】 因为点P 是直线x 4＋y
2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是
圆x 2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝ ⎛
⎭⎪⎫
2－m ，m 2，且半径的平
方r 2
＝(4－2m )2
＋m
2
4
，
所以圆C 的方程为(x －2＋m )2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －m 22
＝
(4－2m )2＋m 2
4，①
又x 2＋y 2
＝1，②
所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0， 即公共弦AB
所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩
⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，
2x －y ＝0得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
4，y ＝12
，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B ．
【答案】 B
过一点求圆的切线方程的方法
(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法
若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜
率为－1
k
，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.
(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法
当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0
＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．
命题角度二 弦长问题
已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．
【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，
即(a ＋2)2
＋(a －0)2
＝(a －0)2
＋(a －2)2
＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为
x 2＋y 2＝4.
(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 2
1＋d 2
＝1. 又|PQ |＝2×4－d 2
，|MN |＝2×4－d 2
1， 所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 2
1
＝216－4(d 2
1＋d 2
)＋d 21d 2 ＝212＋d 21
d 2≤212＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫d 21＋d 2
22
＝2
12＋1
4
＝7，
当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PMQN 面积的最大值为7.
求解圆的弦长的3种方法
已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2
＋y 2
＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→
； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．
【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上， 故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .
因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2
＋(a －2)2
， 所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2
－4a ＋1，
所以a ＝0或a ＝170.
又圆C 的圆心在圆x 2
＋y 2
＝2的内部，
所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2
＋y 2
＝4得2x 2
＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3
2
.
所以BA 1→·BA 2→
＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋
x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线PA 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)， 直线PA 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 02－y 0，0.
直线PB 的方程为y ＝
y 0
x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2y 02－x 0. 所以|AN |·|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0 ＝4＋4⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)
＝4＋4×y 20－2y 0＋x 2
0－2x 0＋x 0y 0
(x 0－2)(y 0－2)
＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0
(x 0－2)(y 0－2)
＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0
4－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，
综上，|AN |·|BM |为定值8.
讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
[对点训练]
1．自圆C ：(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )
A ．8x －6y －21＝0
B ．8x ＋6y －21＝0
C ．6x ＋8y －21＝0
D ．6x －8y －21＝0
解析：选D ．由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．
因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ， 所以|PO |2
＋r 2
＝|PC |2
，
所以x 2
＋y 2
＋4＝(x －3)2
＋(y ＋4)2
，
即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D ．
2．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝25
5
，则直线l 的方程为________．
解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2，3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|
k 2＋1
，
由R 2
＝d 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫|MN |22
，得1＝(2k －2)2
k 2＋1＋15，
解得k ＝2或12
，
故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝1
2x ＋1.
答案：y ＝2x ＋1或y ＝1
2
x ＋1
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与y 轴相切，且过点M (1，3)，N (1，－3)． (1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为－2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)因为圆C 过点M (1，3)，N (1，－3)， 所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上， 故设圆心为C (a ，0)，易知a >0， 又圆C 与y 轴相切， 所以圆C 的半径r ＝a ，
所以圆C 的方程为(x －a )2
＋y 2
＝a 2
. 因为点M (1，3)在圆C 上， 所以(1－a )2
＋(3)2
＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)， 则其方程为y ＝kx .
联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2
＋y 2
＝4，y ＝kx ，
消去y ，得(k 2＋1)x 2
－4x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝4
k 2
＋1
. 所以A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫4k 2＋1，4k k 2＋1.
由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k
，直线OB 的方程为y ＝－2
k
x ， 在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k
2
k 2＋4，－8k k 2＋4.
当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2
＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.
当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2
k 2＋4，即k 2
≠2.
则直线l 的斜率为4k k 2
＋1－－8k
k 2
＋4
4k 2＋1－
4k 2k 2＋4
＝
4k (k 2＋4)＋8k (k 2＋1)4(k 2＋4)－4k 2(k 2＋1)＝3k (k 2
＋2)4－k 4＝3k
2－k 2.
故直线l 的方程为y －
4k k 2＋1＝3k 2－k 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －4k 2＋1.
即y ＝3k 2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43，所以直线l 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，0.
一、选择题
1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )
A ．(3，3)
B ．(2，3)
C ．(1，3)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，
32 解析：选C ．直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝
3
3
，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝3
3(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －
2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，
解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．
2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 B ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝4 D ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝4
解析：选A ．由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝2，故选A ．
3．已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆
N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解析：选B ．圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)可化为x 2
＋(y －a )2
＝a 2
，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝
a
2
，所以a 2
＝a 2
2＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2
＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．
4．(2019·皖南八校联考)圆C 与直线2x ＋y －11＝0相切，且圆心C 的坐标为(2，2)，设点P 的坐标为(－1，y 0)．若在圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则y 0的取值范围是( )
A ．[－12，9
2
]
B ．[－1，5]
C ．[2－11，2＋11]
D ．[2－23，2＋23]
解析：选C ．由点C (2，2)到直线2x ＋y －11＝0的距离为|4＋2－11|
5＝5，可得圆C 的
方程为(x －2)2
＋(y －2)2
＝5.若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，∠CPQ ≥30°，可得sin ∠CPQ ＝CQ CP
＝5
CP
≥sin 30°，即CP ≤25，则9＋(y 0－2)2
≤25，解得2－11≤y 0≤2＋11.
故选C ．
5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2
＋|MQ |2
＝( )
A ．
102
B ．10
C ．5
D ．10
解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2
＋|MQ |2
＝|PQ |2
＝9＋1＝10，故选D ．
6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
解析：选C ．法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4
得(k 2＋1)y 2
－2ky －3＝0，
则Δ＝4k 2＋12(k 2
＋1)>0，y 1＋y 2＝
2k k 2
＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1
，因为OM →＝OA →＋OB →
，故M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2
(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0.
法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →
，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝
11＋k
2
＝1，解得k ＝0.
二、填空题
7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．
解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，
所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤1
2
，
当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ， 则|OH |＝
22
， 于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝22
2＝1
2，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，
则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33
. 答案：－
33
8．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．
解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12
＋1
2
＝
|a |
2
<3，解得a ∈(－32，32)．
答案：(－32，32)
9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．
解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2
＋(－1＋2)2
＝ 5.
法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以
m ＋1
0－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2
＝ 5. 答案：－2 5
三、解答题
10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．
解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2
＋y 2
＝3·(x －1)2
＋y 2
， 整理得x 2
＋y 2
－4x ＋1＝0，即(x －2)2
＋y 2
＝3为所求．
(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.
设直线CD ：y ＝－x ＋t ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12
|CD |＝|ED |2－|EP |2
，
而|NP |2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫t －222
，|ED |2＝3，
|EP |2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫|2－t |22
，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －222
＝3－(t －2)2
2，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3， 所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.
11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：
设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.
又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC
的情况．
(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 2
2
)．
由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m
2
.
联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2
(x －x 2
2)，
又x 2
2
＋mx 2
－2＝0，
可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－1
2.
所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m
2，－12)，半径r ＝m 2
＋92
.
故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m
2
)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦
长为定值．
12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝2x －4，
y ＝x －1，
得圆心C (3，2)，
又因为圆C 的半径为1，
所以圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝1，
又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，
所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－3
4，
所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－3
4x ＋3，
即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，
则圆C 的方程为(x －a )2
＋(y －2a ＋4)2
＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有
x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，
整理得x 2
＋(y ＋1)2
＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，
所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2
＋(2a －4＋1)2
≤2＋1，
解得0≤a ≤125
，
所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。