电磁能量
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1 q 1 q σ 2 = = ( ) = 2 2 2 4πR 8πε 0 R 2ε 0 4πε 0 R 2ε 0
2 2 e
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
问题： 问题：
若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
4πR 3 q 2 4πR 3 2 W自 = = ( ) = σe 2 8πε 0 R 2ε 0 4πR 2ε 0 q2
n
4.107
( 2)
Ui:除点电荷 外其它 除点电荷i外其它 除点电荷 点电荷单独存在时q 点电荷单独存在时 i 所在处的电势总和
2005.5
1 n A' = ∑ qiU i 2 i =1
(3)
北京大学物理学院王稼军编
点电荷组的静电势能
点电荷组的静电势能W 等于电场力所做的功A’ 点电荷组的静电势能 e等于电场力所做的功 相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111) 相应的表达式为 、 、 1 n i −1 qi q j n i −1 We = ∑ qi ∑ r = ∑ qi ∑U ji (1) 4πε 0 i =1 j =1 ji i =1 j =1
2005.5
能量定域于场中
2
北京大学物理学院王稼军编
例题
例题15： 例题 ：p267 例题二：两个半径为R 的同心球壳， 例题二：两个半径为 1，R2的同心球壳， 均匀带电， 均匀带电，电量分 别为 Q1、Q2,求带电体 求带电体 系的相互作用能 例题三： 求原子核静电能——近似模型为 例题三 ： 求原子核静电能 近似模型为 均匀带电球体，半径为R，带电量为Q， 均匀带电球体，半径为 ，带电量为 ，球 外真空
磁场的能量和能量密度
线圈建立电流过程中， 线圈建立电流过程中，电源克服感应电动 势所做的功转变成磁能储存在线圈内 ——充磁 充磁 磁能储存在何处？ 磁能储存在何处？ 近距作用观点
与电场相同， 磁能同样应当定域在磁场中， 与电场相同 ， 磁能同样应当定域在磁场中 ， 凡磁场不为零处便有相应的磁能， 凡磁场不为零处便有相应的磁能 ， 能量是磁 场的重要属性
从公式看， 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面 积进行，在其他地方，积分等于零 积进行，在其他地方， 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ 以平行板电容器为例说明 板间电压 极板上 1 1 1 1 体积为 V 的电量 We = Q0U = σ 0 SEd = DESd = DEV 内的W 内的 2 2 2 2 1 1 电能密度： 电能密度：单位体积内的电能 ωe = DE = D ⋅ E 2 2 1 普遍 W = e ∫∫∫ω e dV = ∫∫∫ 2 D ⋅ EdV D = ε 0ε E ⇒ ωe = 1 ε 0εE 2 适用
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P266 4.106式 式
第二种表达式
可以证明， 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
1 1 qi q j ∴ q jU ij = qiU ji = (q jU ij + qiU ji ) q jU ij = qiU ji = 2 4πε 0 rij
n 1 1 n n qi q j A' = ∑ qi ∑ U ji = 8πε ∑ ∑ r 2 i =1 j =1, j ≠i 0 i =1 j =1, j ≠ i ji n qj 1 U i = U ( Pi ) = ∑≠i r 4πε 0 j =1,在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
点 电 荷 A' = A' + A' + A' +L+ A' = A' ∑ i n 1 2 3 组 的 总 i =1 功应为 n i −1 1 n i−1 qi q j = ∑qi ∑U ji = ∑∑ r (1) 4πε0 i=1 j =1 ji i =1 j =1
A'1 = 0, A'2 = q2U12 , A'3 = q3 (U13 + U 23 )L A'n = qn (U1n + U 2 n + L + U n −1, n ) ⇒ A'i = qi ∑U ji
j =1 =1 i −1
U ji = U j ( Pi ) = − ∫
Pi
∞
qi E j ⋅ dl = 4πε 0 rij 1
静电能W 静电能 e：
把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功 A’=-A （电场力做功） 电场力做功）
2005.5
北京大学物理学院王稼军编
两个点电荷的情形
先移动q 先移动 1 到M点，———外力不做功 点 外力不做功 q 单独存在 再移动q 再移动 2 到N点，———外力做功 时N的点电势 点 外力做功 的点电势
F 1 ∂W 1 ∂ 4π 2 2 f = =− =− (4πRσ e ) = − σe 2 2 4πR 4πR ∂R 2ε 0 ∂R 2ε 0
与前面得到的不同，那个对？为什么？ 与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？ 求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
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平移
设想带电体系有一微小位移δ l
δA = F ⋅ δ l = Fl δl = −δW
δl 0 →
设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移δθ 力矩在转轴 δA = Lθ δθ = −δW δθ 0 Lθ = − δW → 方向的投影 δθ
转动
电场力在δ l方向上的投影 方向上的投影
借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍 适用的磁场能量密度公式
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磁场能量密度公式
长直螺线管自感
L = µ 0 µn V
2
1 2 1 2 2 自感磁能为 Wm = LI = µ 0 µn I V 2 2 1 1 1 = ( µ 0 µnI )(nI )V = BHV = B ⋅ HV 2 2 2 磁能密度： 磁能密度：单位体积内的磁能
带电体各部分电荷 1 ⇒ We = ∫∫∫ ρ eUdV (4) 在积分处的总电势 2 1 1 线电荷 ：We = ∫ η eUdl；面电荷 ：We = ∫∫ σ eUd S 2 2
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电场的能量和能量密度
1 1 体电荷 ：We = ∫∫∫ ρ eUdV；面电荷 ：We = ∫∫ σ eUdS 2 2
(3)
将上式推广到电荷连续分布的情形， 将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体 分布， 分布， 体密度为ρ e，把连续分布的带电体分割成许 多电荷元，其电量∆ 多电荷元，其电量∆qi=ρe∆Vi，则有
总静电能 不是相互 作用能
1 We = ∑ ρ e ∆ViU i 2 i
∆V → ∆Vi 0
1 1 Wm = ∫∫∫ B ⋅ HdV = ∫∫∫ ( B1 + B2 ) ⋅ ( H1 + H 2 )dV 2 2 =
∫∫∫ ( H + H ) ⋅ ( H + H )dV 2 µµ = ∫∫∫ ( H + H + 2 H ⋅ H )dV 2
1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2
µ0 µ
自感 磁能
δW Fl = − δl
用虚功原理：虚设位形变化时， 用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁） 或磁） 场力做虚功——求力 场力做虚功 求力
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例题: 例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在 2 单位面积上受到的静电排斥力为 σ e / 2ε 0
一个总电量为q 半径为R 一个总电量为q，半径为R q2 W自 = 均匀带电的球壳的自能为 8πε 0 R 设想球面稍有膨胀 R R + δR → 则单位面积所受的斥力 F 1 ∂W 1 ∂ q2 f = =− =− ( ) 2 2 2 4πR 4πR ∂R 4πR ∂R 8πε 0 R
带电体系在外场中受的力 或力矩与静电势能的关系
设处在一定位形的带电体系的电势能为W， 设处在一定位形的带电体系的电势能为 ，当它 的位形发生微小变化 的位形发生微小变化 电势能将相应地改变δ 电势能将相应地改变δW 电场力做一定的功δ 电场力做一定的功δA 设系统无能量耗散和补充， 设系统无能量耗散和补充，能量守恒 δA= -δW δ 电场力的功等于电势能的减少 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系 受力的关系
q2 单独存在时 M点的电势 点的电势
系统的静电能
2005.5
q1q2 1 We = = (q1U 2 + q2U1 ) 4πε 0 r 2
北京大学物理学院王稼军编
1
q2 单 独 存 在 时 在q1处的电势
多个点电荷的情形
把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相 应位置， 应位置，计算外力所做的功 代表第j 代表第
W = − qU (r ) + qU (r + l )
∂U U (r + l ) = U (r ) + l r r ∂l r U (r + l ) U (r ) = U (r ) + l ⋅ ∇U W = ql ⋅ ∇U = P ⋅ ∇U = − p ⋅ E (r ) = − pE cosθ
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W m = 1 B⋅H ω = m V 2
普遍成立
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1 W = ∫∫∫ ω dV = ∫∫∫ B ⋅ HdV m m 2
磁能定域在磁场中
两个线圈的磁场能量公式
C 电容器 电容 储存电能 线圈 电感 L、M 储存磁能 、 C、L 、M都只与电容器或线圈的几何尺寸、介质 都只与电容器或线圈的几何尺寸、 、 都只与电容器或线圈的几何尺寸 有关， 有关，是交流电路中的元件 两个线圈的磁场能量公式
We = 1 8πε 0
∑ ∑
i =1
n
n
qi q j rji
(2)
Ui:除点电荷 外其它点电 除点电荷i外其它点电 除点电荷 荷单独存在时q 荷单独存在时 i 所在处 的电势总和
j =1, j ≠i
1 n We = ∑ qiU i 2 i=1
2005.5
(3)
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电荷连续分布情 1 n We = ∑ qiU i 形的静电能 2 i=1
1
A' = − A = − ∫ F 12 ⋅ d l = q2 ∫ E1 ⋅ d l = q2U1
N
N
交换移动次序可得
N N
∞
∞
A' ' = − A = − ∫ F 21 ⋅ d l = q1 ∫ E 2 ⋅ d l = q1U 2 ∞ ∞ 1 q1q2 时q q2U1 = q1U 2 = ⇒ A' = A' ' q1 单 独 存 在 时 2 处的电势 4πε 0 r
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互感磁能
例题22： 例题 ： 求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
磁场只存在于 R1 < r < R2 区域内
µ 0 µI B = µ 0 µH = H= 2πr 2π r 1 1 I µ 0 µI µ 0 µI 2 ωm = B ⋅ H = = 2 2 2 2 2πr 2πr 8π r 例题23 例题23 1 R2 I µ 0 µI Wm = ∫∫∫ωm dV = ∫ 2πrldr 2 R1 2πr 2πr 讲座 2 µ 0 µI l R2 dr 1 µ 0 µl R2 2 1 2 = ∫R1 r = 2 2π ln R1 I = 2 LI 超导 4π 超导1
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
电荷或电荷组在外电场中的能量
电荷或电荷组（最简单的是偶极子） 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场） 电体产生的电场（外场）中具有电势能 一个电荷在外电场中的电势能 一个电偶极子在外电场中的电势能
W ( P ) = qU ( P )
外场中P点的电势 外场中 点的电势
电磁能
p292 4-63、67、69、72 、 、 、
点电荷之间的相互作用能 电荷连续分布情形的静电能 电场的能量和能量密度 电荷或电荷组在外电场中的能量 磁场的能量和能量密度
点电荷之间的相互作用能
定义静电能为零的状态
设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小 单元， 单元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位 置上，规定这种状态下系统的静电能为零。 置上，规定这种状态下系统的静电能为零。 ——We=0
2 2 e
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问题： 问题：
若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
4πR 3 q 2 4πR 3 2 W自 = = ( ) = σe 2 8πε 0 R 2ε 0 4πR 2ε 0 q2
n
4.107
( 2)
Ui:除点电荷 外其它 除点电荷i外其它 除点电荷 点电荷单独存在时q 点电荷单独存在时 i 所在处的电势总和
2005.5
1 n A' = ∑ qiU i 2 i =1
(3)
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点电荷组的静电势能
点电荷组的静电势能W 等于电场力所做的功A’ 点电荷组的静电势能 e等于电场力所做的功 相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111) 相应的表达式为 、 、 1 n i −1 qi q j n i −1 We = ∑ qi ∑ r = ∑ qi ∑U ji (1) 4πε 0 i =1 j =1 ji i =1 j =1
2005.5
能量定域于场中
2
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例题
例题15： 例题 ：p267 例题二：两个半径为R 的同心球壳， 例题二：两个半径为 1，R2的同心球壳， 均匀带电， 均匀带电，电量分 别为 Q1、Q2,求带电体 求带电体 系的相互作用能 例题三： 求原子核静电能——近似模型为 例题三 ： 求原子核静电能 近似模型为 均匀带电球体，半径为R，带电量为Q， 均匀带电球体，半径为 ，带电量为 ，球 外真空
磁场的能量和能量密度
线圈建立电流过程中， 线圈建立电流过程中，电源克服感应电动 势所做的功转变成磁能储存在线圈内 ——充磁 充磁 磁能储存在何处？ 磁能储存在何处？ 近距作用观点
与电场相同， 磁能同样应当定域在磁场中， 与电场相同 ， 磁能同样应当定域在磁场中 ， 凡磁场不为零处便有相应的磁能， 凡磁场不为零处便有相应的磁能 ， 能量是磁 场的重要属性
从公式看， 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面 积进行，在其他地方，积分等于零 积进行，在其他地方， 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ 以平行板电容器为例说明 板间电压 极板上 1 1 1 1 体积为 V 的电量 We = Q0U = σ 0 SEd = DESd = DEV 内的W 内的 2 2 2 2 1 1 电能密度： 电能密度：单位体积内的电能 ωe = DE = D ⋅ E 2 2 1 普遍 W = e ∫∫∫ω e dV = ∫∫∫ 2 D ⋅ EdV D = ε 0ε E ⇒ ωe = 1 ε 0εE 2 适用
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P266 4.106式 式
第二种表达式
可以证明， 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
1 1 qi q j ∴ q jU ij = qiU ji = (q jU ij + qiU ji ) q jU ij = qiU ji = 2 4πε 0 rij
n 1 1 n n qi q j A' = ∑ qi ∑ U ji = 8πε ∑ ∑ r 2 i =1 j =1, j ≠i 0 i =1 j =1, j ≠ i ji n qj 1 U i = U ( Pi ) = ∑≠i r 4πε 0 j =1,在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
点 电 荷 A' = A' + A' + A' +L+ A' = A' ∑ i n 1 2 3 组 的 总 i =1 功应为 n i −1 1 n i−1 qi q j = ∑qi ∑U ji = ∑∑ r (1) 4πε0 i=1 j =1 ji i =1 j =1
A'1 = 0, A'2 = q2U12 , A'3 = q3 (U13 + U 23 )L A'n = qn (U1n + U 2 n + L + U n −1, n ) ⇒ A'i = qi ∑U ji
j =1 =1 i −1
U ji = U j ( Pi ) = − ∫
Pi
∞
qi E j ⋅ dl = 4πε 0 rij 1
静电能W 静电能 e：
把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功 A’=-A （电场力做功） 电场力做功）
2005.5
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两个点电荷的情形
先移动q 先移动 1 到M点，———外力不做功 点 外力不做功 q 单独存在 再移动q 再移动 2 到N点，———外力做功 时N的点电势 点 外力做功 的点电势
F 1 ∂W 1 ∂ 4π 2 2 f = =− =− (4πRσ e ) = − σe 2 2 4πR 4πR ∂R 2ε 0 ∂R 2ε 0
与前面得到的不同，那个对？为什么？ 与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？ 求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
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平移
设想带电体系有一微小位移δ l
δA = F ⋅ δ l = Fl δl = −δW
δl 0 →
设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移δθ 力矩在转轴 δA = Lθ δθ = −δW δθ 0 Lθ = − δW → 方向的投影 δθ
转动
电场力在δ l方向上的投影 方向上的投影
借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍 适用的磁场能量密度公式
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磁场能量密度公式
长直螺线管自感
L = µ 0 µn V
2
1 2 1 2 2 自感磁能为 Wm = LI = µ 0 µn I V 2 2 1 1 1 = ( µ 0 µnI )(nI )V = BHV = B ⋅ HV 2 2 2 磁能密度： 磁能密度：单位体积内的磁能
带电体各部分电荷 1 ⇒ We = ∫∫∫ ρ eUdV (4) 在积分处的总电势 2 1 1 线电荷 ：We = ∫ η eUdl；面电荷 ：We = ∫∫ σ eUd S 2 2
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电场的能量和能量密度
1 1 体电荷 ：We = ∫∫∫ ρ eUdV；面电荷 ：We = ∫∫ σ eUdS 2 2
(3)
将上式推广到电荷连续分布的情形， 将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体 分布， 分布， 体密度为ρ e，把连续分布的带电体分割成许 多电荷元，其电量∆ 多电荷元，其电量∆qi=ρe∆Vi，则有
总静电能 不是相互 作用能
1 We = ∑ ρ e ∆ViU i 2 i
∆V → ∆Vi 0
1 1 Wm = ∫∫∫ B ⋅ HdV = ∫∫∫ ( B1 + B2 ) ⋅ ( H1 + H 2 )dV 2 2 =
∫∫∫ ( H + H ) ⋅ ( H + H )dV 2 µµ = ∫∫∫ ( H + H + 2 H ⋅ H )dV 2
1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2
µ0 µ
自感 磁能
δW Fl = − δl
用虚功原理：虚设位形变化时， 用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁） 或磁） 场力做虚功——求力 场力做虚功 求力
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例题: 例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在 2 单位面积上受到的静电排斥力为 σ e / 2ε 0
一个总电量为q 半径为R 一个总电量为q，半径为R q2 W自 = 均匀带电的球壳的自能为 8πε 0 R 设想球面稍有膨胀 R R + δR → 则单位面积所受的斥力 F 1 ∂W 1 ∂ q2 f = =− =− ( ) 2 2 2 4πR 4πR ∂R 4πR ∂R 8πε 0 R
带电体系在外场中受的力 或力矩与静电势能的关系
设处在一定位形的带电体系的电势能为W， 设处在一定位形的带电体系的电势能为 ，当它 的位形发生微小变化 的位形发生微小变化 电势能将相应地改变δ 电势能将相应地改变δW 电场力做一定的功δ 电场力做一定的功δA 设系统无能量耗散和补充， 设系统无能量耗散和补充，能量守恒 δA= -δW δ 电场力的功等于电势能的减少 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系 受力的关系
q2 单独存在时 M点的电势 点的电势
系统的静电能
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q1q2 1 We = = (q1U 2 + q2U1 ) 4πε 0 r 2
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1
q2 单 独 存 在 时 在q1处的电势
多个点电荷的情形
把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相 应位置， 应位置，计算外力所做的功 代表第j 代表第
W = − qU (r ) + qU (r + l )
∂U U (r + l ) = U (r ) + l r r ∂l r U (r + l ) U (r ) = U (r ) + l ⋅ ∇U W = ql ⋅ ∇U = P ⋅ ∇U = − p ⋅ E (r ) = − pE cosθ
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W m = 1 B⋅H ω = m V 2
普遍成立
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1 W = ∫∫∫ ω dV = ∫∫∫ B ⋅ HdV m m 2
磁能定域在磁场中
两个线圈的磁场能量公式
C 电容器 电容 储存电能 线圈 电感 L、M 储存磁能 、 C、L 、M都只与电容器或线圈的几何尺寸、介质 都只与电容器或线圈的几何尺寸、 、 都只与电容器或线圈的几何尺寸 有关， 有关，是交流电路中的元件 两个线圈的磁场能量公式
We = 1 8πε 0
∑ ∑
i =1
n
n
qi q j rji
(2)
Ui:除点电荷 外其它点电 除点电荷i外其它点电 除点电荷 荷单独存在时q 荷单独存在时 i 所在处 的电势总和
j =1, j ≠i
1 n We = ∑ qiU i 2 i=1
2005.5
(3)
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电荷连续分布情 1 n We = ∑ qiU i 形的静电能 2 i=1
1
A' = − A = − ∫ F 12 ⋅ d l = q2 ∫ E1 ⋅ d l = q2U1
N
N
交换移动次序可得
N N
∞
∞
A' ' = − A = − ∫ F 21 ⋅ d l = q1 ∫ E 2 ⋅ d l = q1U 2 ∞ ∞ 1 q1q2 时q q2U1 = q1U 2 = ⇒ A' = A' ' q1 单 独 存 在 时 2 处的电势 4πε 0 r
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互感磁能
例题22： 例题 ： 求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
磁场只存在于 R1 < r < R2 区域内
µ 0 µI B = µ 0 µH = H= 2πr 2π r 1 1 I µ 0 µI µ 0 µI 2 ωm = B ⋅ H = = 2 2 2 2 2πr 2πr 8π r 例题23 例题23 1 R2 I µ 0 µI Wm = ∫∫∫ωm dV = ∫ 2πrldr 2 R1 2πr 2πr 讲座 2 µ 0 µI l R2 dr 1 µ 0 µl R2 2 1 2 = ∫R1 r = 2 2π ln R1 I = 2 LI 超导 4π 超导1
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电荷或电荷组在外电场中的能量
电荷或电荷组（最简单的是偶极子） 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场） 电体产生的电场（外场）中具有电势能 一个电荷在外电场中的电势能 一个电偶极子在外电场中的电势能
W ( P ) = qU ( P )
外场中P点的电势 外场中 点的电势
电磁能
p292 4-63、67、69、72 、 、 、
点电荷之间的相互作用能 电荷连续分布情形的静电能 电场的能量和能量密度 电荷或电荷组在外电场中的能量 磁场的能量和能量密度
点电荷之间的相互作用能
定义静电能为零的状态
设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小 单元， 单元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位 置上，规定这种状态下系统的静电能为零。 置上，规定这种状态下系统的静电能为零。 ——We=0