深圳北大附中深圳南山分校选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（）
A．2449 B．2451 C．2455 D．2458
2．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（）
A．己申年B．己酉年C．庚酉年D．庚申年
3．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测：
同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学；
同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；
同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；
同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.
结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（）
A．管理学、医学、法学、教育学B．教育学、管理学、医学、法学
C．管理学、法学、教育学、医学D．管理学、教育学、医学、法学
4．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到333
12?50
+++（）
A．1205 B．1225 C．1245 D．1275
5．我们知道，在边长为a 3
，类比上述
结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ）
A ．a
B ．
2
a C ．
3
a D ．
3
a 6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
==
=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35
B ．48
C ．63
D ．80
7．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相
等．设由椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状
的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．24
3
a b π B ．243
ab π C ．22a b π
D ．22ab π
8．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在
()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间
[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，
其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---=
==---.若令10x =，2π2
x =，3πx =，请依据上述
算法，估算2π
sin 5
的近似值是（ ） A ．
2425
B ．
1725
C ．
1625
D ．
35
9．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:
黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9
老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:
甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌.
甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3
B ．方块7
C ．红心7
D ．黑桃Q
10．定义两个运算：12
1
2
a b a lgb ⊗=+
，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1
227
N =⊕
，则(M N += ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
11．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有
=⨯大吕黄钟太簇，()2
3=⨯大吕黄钟夹钟，()2
3=⨯太簇黄钟夹钟．据此，可得正项等比
数列{}n a 中，k a =（ ）
A ．11n k n k n a a --+⋅
B ．11n k n k n a a --+⋅
C ．111n k k n n a a ---⋅
D ．111k n k n n a a ---⋅
12．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截
得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22
149
x y +=绕y 轴
旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．32π
二、填空题
13．把数列121n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：
111351111791113111115
172729
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 14．已知a ，b 是正整数，a
b ，当(),0,x y ∈∞时，则有()2
22
a b a b x y x y
++≥
+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的最小值______． 15．在Rt ABC ∆中，若90,,C AC b BC a ∠=︒==，斜边AB 上的高位h ，则有结论
22
2
2
2
a b h a b
=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c 且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论__________．
16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______
17．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，
如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,
,
n OA OA OA ⋅的长度构成数列
{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．
18．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+
3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则
m=_____.
19．甲、乙、丙三位同学被问到是参加了学校组织的A 、B 、C 三个活动兴趣小组时， 甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A 兴趣小组； 乙说：我没参加过B 兴趣小组； 丙说：我们三人参加了同一兴趣小组； 由此可判断乙参加的兴趣小组为__________．
20．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么
10010a b c ++=______.
三、解答题
21．在各项均为正数的数列{}n a 中，1a a =且122n n n
a a a +=+. (1)当32a =时，求a 的值；
(2)求证:当2n ≥时，1
n n a a +≤. 22．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题： （1）计算：
cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos 78sin 57sin123︒︒+︒︒
； （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程. 23．()1已知(
)f x =
[)x 0,∞∈+，如1x ，[)2x 0,∞∈+，且12x x ≠，求证：
()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
； ()2用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2n 1n 232+++能被7整除．
24．证明下列不等式.
（1）当1a >
时，求证：0>；
（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=
，求证：23a b +≥+. 25．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且22
n a n n
=
+． （1）试求出1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想n S 的表达式． （2）用数学归纳法证明你的猜想． 26．设()
1111
122334
1n S n n =
++++
⨯⨯⨯⨯+，写出1S ，2S ，3S ，4S 的值，归纳猜
想出结果，并给出证明.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
设第()n 个图案的点的个数为n a ，推测得到12(1)n n a a n --=-，利用1n -个式子相加，由等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】
设第()n 个图案的点的个数为n a ，
由题意可得123451,3,7,13,21,a a a a a =====， 可得213243542,4,6,8,a a a a a a a a -=-=-=-=，
由此推测12(1)n n a a n --=-，
则()()()()21324312462(1)n n a a a a a a a a n --+-+-+-=++++-，
化简可得(1)(222)
1(1)2
n n n a n n -+--=
=-，所以(1)1n a n n =-+
所以5050(501)12451a =⨯-+=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中构造数列并得出的数列的递推关系式，结合等差数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．B
解析：B 【分析】
由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案． 【详解】
解：天干是以10为公差构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，
则80108÷=，则2029的天干为己，
80126÷=余8，则2029的地支为酉，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了学生合情推理的能力，涉及等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．3．C
解析：C
【分析】
根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解.
【详解】
假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学；
则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；
同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误；
假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；
则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；
同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；
假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；
则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；
同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；
同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.
假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.
则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；
同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；
综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.故选：C
【点睛】
本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.
4．D
解析：D
【分析】
根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解.
【详解】
因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，
3
50
++=1+2+…+50=(150)50
2
+⨯
=1275.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.
5．D
解析：D
【解析】
试题分析：类比在边长为a, 在一个正
四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图：
由棱长为a 可以得到36,BF BO AO OE =
==-, 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BO BE OE =+， 把数据代入得到6OE a =
∴棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和664=， 故选D.
考点：类比推理．
【方法点晴】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．
6．C
解析：C 【分析】
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为2222
2233121==⨯+333
33388232
==⨯
⨯+ 444441515343==⨯⨯+，555
5552424454
==⨯
⨯+ 所以8888
8
88878763
n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
7．A
解析：A 【分析】
先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积． 【详解】
椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，
先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为:
()22214
2233
V V V a b a b a b πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，
故选：A.
【点睛】
本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.
8．A
解析：A 【分析】
直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论． 【详解】
解：函数()sin y f x x ==在0x =，π
2
x =
，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π
()12
y f ==，3(π)0y f ==，
故211212y y k x x π-=
=-，32322y y k x x π-==--，122314
k k k x x π
-==--， 故2222
4
44
()()2f x x x x x x ππ
πππ
=
-
-=-+， 即22
4
4
sin x x x π
π
≈-+
，
∴222424224sin
()55525
ππ
πππ≈-⨯+⨯=， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．
9．B
解析：B 【分析】
根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可． 【详解】
解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】
本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．
10．B
解析：B 【分析】
根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】
根据题意，12
1
925925352
M lg lg =⊗=+
=+，
1
3112()232727
N lg -===+，
则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。

故选：B ． 【点睛】
本题考查对数运算与指数运算，关键是理解题目中所给的运算，考查基本运算求解能力．
11．C
解析：C 【分析】
根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示， 因为1
1n n a a q
-=
，所以=q
所以1
1=k k a a -⎛ ⎝
11
11=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭
11
1
1
=n k k n n n
a a ----
⋅=.
故选：C. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.
12．C
解析：C 【分析】
根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积. 【详解】
由椭圆方程22
149
x y +=,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥 当截面与底面距离为()03h h ≤≤时，截圆锥得到的截面小圆半径为r 则
132h r =，即23
h r = 所以截面面积为22
4449
h r ππππ-=-
把y h =代入椭圆方程22149x y +=
，可求得x = 所以橄榄球形状几何体的截面面积为22
449
h x π
ππ=-
由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为()
12=24343=163
V V V πππ⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝
⎭
圆柱圆锥 故选:C 【点睛】
本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.
二、填空题
13．【分析】第行有个数知每行数的个数成等比数列要求先要求出就必须求出前行一共出现了多少个数根据等比数列的求和公式可求而由可知每一行数的分母成等差数列可求出令即可求出【详解】由第行有个数可知每一行数的个数 解析：
12053
【分析】
第k 行有12k -个数知每行数的个数成等比数列，要求(),A t s ，先要求出(),1A t ，就必须求出前1t -行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由1
21
n -可知，每一行数的分母成等差数列，可求出(),A t s ，令11t =，4s =即可求出()11,4A .
【详解】
由第k 行有12k -个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是1，公比是2， 所以，前1t -行共有
()111122112
t t --⨯-=--个数，
所以，第t 行第一个数为()111
,1221
21
t t
A t -=
=⋅--， ()()11,2121223t t A t s s s ∴=
=-+-+-，因此，()111111,422432053
A ==+⨯-. 故答案为：12053
. 【点睛】
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.
14．【分析】先分析题意再结合不等式的结构配凑当再结合不等式的性质即可得解【详解】解：由当时则有成立当且仅当取等号则当当且仅当即时取等号故答案为【点睛】本题考查了运算能力重点考查了类比能力及分析处理数据的 解析：25
【分析】
先分析题意，再结合不等式的结构配凑，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，2949
1212x x x x
+=+--， 再结合不等式的性质即可得解. 【详解】
解：由当(),0,x y ∈∞时，则有()2
22a b a b x y x y ++≥
+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，则当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22
949(23)2512122(12)x x x x x x ++=+≥=--+-，当且仅当23122x x =-，即
1
5
x =
时取等号， 故答案为25. 【点睛】
本题考查了运算能力，重点考查了类比能力及分析处理数据的能力，属基础题.
15．；【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可【详解】如图设为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱三棱锥的高为连接交于两两互相垂直平面平面故答案为
解析：222
2
222222a b c h a b b c c a
=++；
【解析】 【分析】
由平面上的直角三角形Rt ABC ∆中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可． 【详解】
如图，设PA 、PB 、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P ABC -的高为
PD h =，
连接AD 交BC 于E ，
PA 、PB 、PC 两两互相垂直，
PA ∴⊥平面PBC ，PE ⊂平面PBC ， PA PE ∴⊥，PA BC ⊥，
AE BC ∴⊥，PE BC ⊥
22
2
22
b c PE b c ∴=+，
∴2222
22
PA PE h PD PA PE ==+22
2
2
2
222
2
2
b c a b c b c a b c
+=++222222222a b c a b b c c a =++． 故答案为222
2
222222a b c h a b b c c a
=++．
【点睛】
本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．
16．【解析】试题分析：从表格可知第n 行的等差数列的首项为n 公差也为n 根据等差数列的通项公式其位于第n+1个数是n+(n-1)n=n+n2所以位于下表中的第n 行第n+1列的数是n+n2考点：等差数列的通项 解析：
【解析】
试题分析：从表格可知，第n 行的等差数列的首项为n ，公差也为n ，根据等差数列的通项公式，其位于第n+1个数是n+(n-1)n= n+n 2，所以位于下表中的第n 行第n+1列的数是n+n 2.
考点：等差数列的通项公式，观察与归纳的能力.
17．【分析】由图可知由勾股定理可得利用等差数列的通项公式求解即可【详解】根据图形因为都是直角三角形是以1为首项以1为公差的等差数列故答案为【点睛】本题主要考查归纳推理的应用等差数列的定义与通项公式以及数 n 【分析】
由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得22
11n n a a -=+,利用等差数
列的通项公式求解即可. 【详解】
根据图形1122378...1OA A A A A A A =====， 因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，
2211n n a a -∴=+,
2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
()2111n a n n ∴=+-⨯=， n a n ∴n .
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
18．45【解析】【分析】归纳可知的三次方就是个连续奇数相加且从2开始这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现由此规律即可找出的分裂数中有一个是2017时的值【详解】由归纳可得从到正好用去从3开始的连续
解析：45 【解析】 【分析】
归纳可知，n 的三次方就是n 个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出3m 的“分裂数”中有一个是2017时n 的值. 【详解】
由333235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅， 归纳可得，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共
()()21234 (2)
m m m +-++++=
个， 2017是从3开始的第1008个奇数，
当44m =时，32到344，用去从3开始的连续奇数共
()()4424498192
+-=个，
当45m =时，32到345，用去从3开始的连续奇数共
()()45245110092
+-=个，
所以3m 的“分裂数”中有一个是2017，则45m =，故答为45. 【点睛】
本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
19．【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组根据甲不参加乙不参加以及三人参加了同一兴趣小组从而可得结论详解：甲参加的兴趣小组比乙多甲至少参加两个乙只能参加一个小组又甲不参加甲只能参加或又三人参加了同一小组 解析：C
【解析】
分析：先判断乙只能参加一个小组，根据甲不参加A ，乙不参加B ，以及三人参加了同一兴趣小组，从而可得结论.
详解：甲参加的兴趣小组比乙多，
∴甲至少参加两个，乙只能参加一个小组， 又甲不参加A ，∴甲只能参加B 或C ，
又
三人参加了同一小组，乙不参加B ，
∴三人共同参加的小组只有C ，
而乙只能参加一个小组，
∴乙参加的小组是C ，故答案为C .
点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
20．231【分析】由题意经推理可得代入计算即可得解【详解】若甲正确则丙错误则此时故乙也正确与题设矛盾；若乙正确则甲错误此时与题设矛盾；若丙正确则甲错误此时符合题意所以此时故答案为：231【点睛】本题考查
解析：231 【分析】
由题意经推理可得2a =，3b =， 1c =，代入计算即可得解. 【详解】
若甲正确，则丙错误，则3c =，此时1a =，2b =，故乙也正确，与题设矛盾； 若乙正确，则甲错误，此时2b =，2a =，与题设矛盾； 若丙正确，则甲错误，此时2a =，3b =， 1c =符合题意. 所以2a =，3b =， 1c =，此时10010231a b c ++=. 故答案为：231. 【点睛】
本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.
三、解答题
21．(1) 2a =；(2)证明见解析. 【分析】 （1）推导出232222a a a +==
，解得22a =，从而121
2
22a a a +==，由此能求出a 的值；（2）利用分析法，只需证21212n
a +≤，只需证2
4n a ≥，只需证2n a ≥，根据基本不等式
即可得到结果． 【详解】
(1) ∵32a =，∴232
2
22a a a +==
，∴22244a a +=，解得22a =，
同理解得12a = 即2a =；
(2) 要证2n ≥ 时，+1(0)n n n a a a >≤，
只需证11n n
a a +≤，只需证221n n n
a a a +≤，只需证212
12n a +≤，
只需证2
4n a ≥，只需证2n a ≥，
根据基本不等式得1111
22
22n n n n a a a a -
--=+≥
=， 所以原不等式成立． 【点睛】
本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（1
2）()()()
cos 45cos 135sin sin 180θθθ
θ-︒︒-+
=︒-
【分析】
（
1）依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出；（2）观察（1）中角度的关系，合情推理出一般结论，然后利用两角和的正弦公式即可证明．
【详解】 （1）
cos 2cos88cos 2sin 2sin 45cos 2cos 45sin 2)47sin 47sin133sin 47sin 47sin 47sin 47︒︒︒︒
︒︒︒+︒︒
+
=+===︒︒︒︒︒︒
同理可得，
cos5cos85sin 5cos550sin 50
sin130sin 50sin 50︒︒
︒+︒︒
+===︒︒︒︒
cos12cos78sin12cos1257sin 57sin123sin 57sin 57︒︒︒+︒
︒+===︒︒︒︒
（2）由（1）知，可以猜出：()()()
cos 45cos 135sin sin 180θθθ
θ-︒︒-+
=︒-
证明如下：
()()()
()()cos 45cos 135cos 45sin 45sin sin 180
sin sin θθθθθ
θθ
θ
-︒︒--︒
-︒+
=
+
︒-
()()45cos 45cos 45sin 45]
sin sin θθθ
θ
θ
︒︒-︒+-︒=
=
= 【点睛】
本题主要考查学生合情推理论证能力，以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用，意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力．
23．（1）见解析； （2）见解析. 【分析】
（1）通过分析法，将所证不等式变为证明：2
0>成立，通过已知条件得到
此式成立，从而证得结论；（2）按照数学归纳法的步骤，先验证1n =时成立，再假设
n k =时成立，利用假设证得1n k =+时成立，从而证得结果．
【详解】 （1）要证
()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
，
12x x f 2+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，()1f x =()2f x =，
<
12
x x 2
+<
，
即证12x x +>12x x 0+->，
即为2
0>，
由于1x ，[
)2x 0,∞∈+，且12x x ≠，上式显然成立， 以上均可逆，故
()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
； （2）①当n 1=时，2n 1n 233323235+++=+=，能被7整除； ②假设n k =时，2k 1k 232+++能被7整除，
那么当n k 1=+时，2k 3k 32k 1k 22k 12k 1k 2329322732322++++++++=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅
()
2k 12k 1k 273232+++=⋅+⋅+，
由于2k 1k 232+++能被7整除，2k 173+⋅能被7整除， 可得2k 3k 332+++能被7整除，
即当n k 1=+时，2k 3k 332+++能被7整除； 综上可得当*n N ∈时，2n 1n 232+++能被7整除 【点睛】
本题考查不等式的证明方法．分析法和归纳法是证明不等式的常用方法．要注意的是在利用数学归纳法证明问题时，n k =时的假设在证明1n k =+成立时，必须得到应用． 24．（1）见解析；（2）见解析． 【解析】
分析：（1）利用分析法进行证明；
（2）利用常数代换法应用基本不等式即可证明.
详解：证明：（1）要证0>；即证，
只要证(2
2
>
，只要证42a a >+，
只要证a 1a >，只要证221a a >-，
最后一个不等式显然成立，所以0>； （2）因为0a b ab +-=，0a >，0b >，所以
11
1a b
+=， ()112
233a b
a b a b b a ⎛⎫++=++≥+
⎪⎝⎭
，
当且仅当
2a b
b a
=，即a =时，等号成立，所以23a b +≥+. 点睛：利用分析法证明时应注意的问题
(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．
(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写． 25．(1) 11S =,243S =,332S =,48
5S =,21
n n S n =+. （2）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据2
2
n a n n
=+，求出1234,,,,a a a a ，从而可求出1S ，2S ，3S ，4S ，观察规律，可猜测21n n S n =
+；（2）首先验证当1n =时，121
111
S ⨯=
=+，等式成立，然后假设当n k =时，等式成立，即21
k k
S k =
+，只需证明当1n k =+时，()
()112111
k k k k S S a k +++=+=
++即可.
试题 （1）112
12S a ==
=， 21224163
S S a =+=+
=， 323413362S S a =+=+=， 4343282105
S S a =+=
+=， 猜测21
n n
S n =
+．。