高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案解析

数学《三角函数与解三角形》高考知识点
一、选择题
1．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）
A ．12+
B ．21-
C ．2
D ．2
【答案】A 【解析】
由题意，得()2
2sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+
π2sin 21214x ⎛
⎫=-+≤+ ⎪⎝
⎭；故选A.
2．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
1
2
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==
所以
tan tan tan tan()
1
tan tan
CAD EAD
BAC CAD EAD
CAD EAD
∠-∠
∠=∠-∠=
+∠⋅∠
31
4
22
317
1
22
-
==
+⨯
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
3．在三角形ABC中，给出命题:p“2
ab c
>”，命题:q“
3
C
π
<”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理将2c化为222cos
a b ab C
+-，整理后利用基本不等式求得12cos2
C
+>，求出C范围，即可判断充分性，取4
a=，7
b=，6
c=，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.
【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos
c a b ab C
=+-，
所以2
ab c
>，即222cos
ab a b ab C
>+-，
整理得，
22
12cos
a b
C
ab
+
+>，
由基本不等式，
2222
2
a b a b
ab ab
+
≥=，
当且仅当a b
=时等号成立，
此时，12cos2
C
+>，即
1
cos
2
C>，解得
3
C
π
<，
充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ） A
．
3
B
C
．
3
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---，
∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++
27tan 3
6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴
27tan 36tan 3
B B +≥=
，当且
仅当tan B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数
学运算的核心素养.
5．函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12
，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】
合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

【详解】
由cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 将它的图象向左平移
6
π
个单位， 可得函数2sin 22sin 2666y x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
的图象， 再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图
象. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换，考查了两角差的正弦公式，属于中档题。

6．已知π1
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )
A ．
725
B ．725
-
C ．
2325
D ．2325
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1
cos α25⎛⎫-=
⎪⎝⎭
，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
7．已知函数()3cos(
2)2
f x x π
=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟
成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1
C ．
1
2
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】
对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min
22
T
x x -=
=，故选D ． 【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
8．已知sin α，sin()10
αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．
512
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C
【解析】 【分析】 由题意，可得22
π
π
αβ-
<-<
，利用三角函数的基本关系式，分别求得
cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2
π.
又sin(α－β)，∴cos(α－β).
又sin αcos α ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝5×10
－5×⎛ ⎝⎭
＝2.∴β＝4π. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知
sin sin (sin cos )0B A C C +-=
，a =2，c ，则C =
A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1， ∵
π
2
＜A ＜π，
∴A=
3π4
， 由正弦定理可得
c sin sin a
C A
=， ∵a=2，
，
∴sinC=sin c A a
=12=22
， ∵a ＞c ， ∴C=
π6， 故选B ．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
10．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π
≠
∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调且存在020,3
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,
2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
C ．24,
33⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203
x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
上单调且存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫
∈+-= ⎪⎝⎭
，
，，即可得出结论． 【详解】
∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π
≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
3
2a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，
∴d 8
π
=
．
∴f （x ）8
π
=
cosωx ，
∵在203
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，上单调 ∴
23
ππω≥， ∴ω32
≤
； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭
，，， 所以f （x ）在（0，23
π
）上存在零点， 即
223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
故选D 【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
11．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，
F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设AE BF a ==，1
3
B EBF EBF V S B B '-'=
⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//
EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF
a a V a a '-+-⎡⎤
=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当3a a =-，即3
2
a =
时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=
，352AF =，2292
A F AA AF ''=+=，132
22
EF AC =
=
， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得2
2
2
81945
2424cos 93222222
A F EF A E A FE A F EF +-
''+-'∠=
=='⋅⋅⨯⨯， ∴4
A FE π
'∠=．
方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系，
则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴3,3,32A F ⎛⎫
'=-- ⎪⎝⎭
u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，
所以992
2cos ,92322
A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，
所以异面直线A F '与AC 所成的角为4
π． 故选：C
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
12．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，若方程()2
3
f x =
的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）
A ．
23
B ．
49
C D 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得2123
x x π
=
-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
求解即可． 【详解】
因为0＜x π＜，∴112666
x π
ππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，， 又因为方程()2
3
f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴
1223x x π+=，∴2123
x x π
=-， ∴()12112223
6sin x x sin x cos x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 因为122123
x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π
＜，
∴12662x π
ππ⎛⎫
-
∈- ⎪⎝⎭
，，
∴由()112263f x sin x π⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭，得126cos x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
∴()12sin x x -=，故()21sin x x -故选C ． 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．
13．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C
+=，
1a =，b =
c =（ ）
A B ．1
C
D 【答案】B 【解析】 【分析】
先由正弦定理将cos cos 2cos a B b A C
+=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6
C π
=，再利用余弦定理可求得结果.
【详解】
解：因为cos cos 2cos a B b A C
+=
，
所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=
所以sin()A B +=
sin 2cos C C C
=，
因为sin 0C ≠，所以cos 2
C =， 又因为(0,)C π∈，所以6
C π
=，
因为1a =，b =
所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B 【点睛】
此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.
14．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =
c =( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】
1sin A ===cos A =
,
所以2
22122
c c =
+-，整理得2
320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，00
30,60A C B ===不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出cos A =
00
30,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
15．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的一个零点为6x π= 【答案】D 【解析】 【分析】
先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6
x π
=代入
3f x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
判断D . 【详解】
()
sin f x x x = 23sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
()f x 周期22,1
T A π
π=
=正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，
25,
,,63
326
x x πππππ⎛⎫⎛⎫
∈∴+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，C 正确；
6
x π
=
时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 6x π
=
不是3f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中
档题.
16．化简
21
sin 352sin 20︒︒
-=（ ）
A ．
12 B ．12
-
C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】
依题意，原式1cos701
1cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--
==-⨯=-⨯=-
o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
17．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】
()()()sin tan cos tan f x x x =-，
()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，
所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；
当0,
4x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,
4x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，
所以π是()f x 的周期，所以③正确；
假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22
a k π
π=
+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于
2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】
本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
18．设2
α
是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案. 【详解】
∵
2
α是第一象限角，∴360903602k k α
︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，
∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B . 【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π
,43
BAC AP ∠=
=，
23AB AC ==，则三棱锥P ABC -
的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，
且1
22
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】
在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=
，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径
2323
π
2sin 2sin 6
AB r ACB =
==，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且1
22
GO AP =
=， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则222OA OG AG =+，即外接球半径()
2
2223
4R =
+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=. 故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π
个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4
x π
=
B ．3
x π
=
C ．56
x π=
D ．1912
x π
=
【答案】D 【解析】 【分析】
由三角函数的周期可得23
π
ω=
，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为2
44sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求其对称轴方程即可. 【详解】
解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是3π，则函数2
()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为
22
44sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=++=+
⎪ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=
+∈Z ，当1k =时，1912x π
=. 故选D. 【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。