福建省厦门双十中学2017届高三上学期期中考试理数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{|12},{|0A x x B x x =-<<=<<，则A B =（ ）A ．(1,3)-
B ．(1,0)-
C ．(0,2)
D ．(2,3) 【答案】A 【解析】
试题分析：并集是所有元素，故(1,3)A B =-.
考点：集合并集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.已知
11a
bi i
=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ）
A ．3
B ． 2
C ．5
D 【答案】D 【解析】
考点：复数的概念及运算.
3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）
A ．18
B ．36
C ．54
D ．72 【答案】D 【解析】
试题分析：4518a a +=，()18
84584722
a a S a a +=⋅=+=. 考点：等差数列的基本概念.
4.设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）
A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥
B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥
C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b α
D ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥ 【答案】C 【解析】
考点：空间点线面位置关系.
5.已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32q :,1x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】
试题分析：当1x =-时，
11
23
>，故p 为假命题.由于3x 在第一象限是增函数，21x -在第一象限是减函数，故有一个交点，所以命题q 为真命题.
考点：含有逻辑连接词命题真假性判断、全称命题与特称命题.
6.已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>的图像与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等
于π，则()f x 的单调减区间是（ ）
A ．2[,]()63k k k Z π
πππ+
+
∈ B ．[,]()36k k k Z ππ
ππ-+∈
C ．4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈
D ．5[2,2]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈
【答案】A 【解析】
试题分析：()2sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，最大值为2，故与直线2y =-的交点距离为一个周期，所以2,2T π
πωω=
==，()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得函数的减区间为2[,]()63
k k k Z π
π
ππ+
+
∈. 考点：三角函数图象与性质.
7.如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD AB k AC λ=+，则
k λ+=（ ）
A ．1．2．2 D ．
2【答案】A 【解析】
考点：向量运算.
8.已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记
0.52(log 3),(log 5),c (2)a f b f f m ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ． c a b <<
D ．c b a << 【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
由
于
函
数
为
偶
函
数
，
故
m =，
()21x
f x =-.()()0.52(lo
g 3)log 3,c (2)0a f f f m f ====，由于函数()f x 在()0,+∞上为
增函数，且222log 1log 2log 5<<，所以c a b <<. 考点：函数的奇偶性、比较大小.
9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A B
D ．(4π+ 【答案】C 【解析】
试题分析：由三视图可知几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为
21111122233(6
24ππ⋅⋅⋅⋅⋅+=. 考点：三视图.
10.已知函数21
()(0)2
x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a
的取值范围是（ ）
A ．(
-∞ B ．(-∞ C ．(
D ．(
【答案】B 【解析】
考点：函数的奇偶性、对称性.
11.已知函数()sin 2sin cos f x x x x =++，以下说法中不正确的是（ ） A ．()f x 周期为2π B ．()f x 最小值为54
- C ．()f x 为单调函数 D ．()f x 关于4
x π
=对称
【答案】C 【解析】
()f x 关于4
x π
=
对称.
考点：三角函数图象与性质.
【思路点晴】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图象与性质.函数表达式中，有二倍角sin 2x ，有单倍角sin cos x x +，注意到这两者之间的联系()2
sin cos 1sin 2x x x +=+，由此考虑用换元法来求最值和单调区间.换元后利用二次函数配方法来求最值.对于函数的周期性，只需验证()()f x T f x +=即可.对于函数的对称轴，则需验证()2f x f x π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
. 12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上取一点P ，以A 为球心，AP 为
半径作一个球，设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图像最有可 能的是（ ）
【答案】B 【解析】
试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当1x =；（2）当1
2
x =；
（
3
）
当
x =.
考点：函数图象.
【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当1x =；（2）当1
2
x =；
（3）当x =
其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数()f x 的最大值，根据图形的
相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知向量,a b 夹角为60，且||1,|2|7a a b =-=，则||b =_______. 【答案】3 【解析】
试题分析：对|2|7a b -=两边平方得2
2
447a a b b -⋅+=，即2
230b b --=，解得
3b =.
考点：向量运算.
14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2,x f x =则4(log 9)f 的值为
_______.
【答案】1
3
- 【解析】
试题分析：由于函数为奇函数，故()41log 944411(log 9)log 9log 293f f f ⎛
⎫=--=-=-=- ⎪⎝
⎭.
考点：函数的奇偶性、分段函数求值.
15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n π，已知11212,2048m m m m a a a π-+-⋅==，则
m =_______.
【答案】6 【解析】
考点：等比数列.
【思路点晴】本题主要考查等比数列的性质，考查新定义数列的理解，考查指数运算和指数相等的概念. 在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a =,特殊地，错误！未找到引用源。

时，则错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的等比中项. 若数列{}n a 是等比数列，且公比不为1-，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列.
16.如右图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量
该山
坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得
45DBC ∠=，根据以上数据计算可得cos θ=_______.
1 【解析】
试题分析：在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB BD ADB BAD
=∠∠
，即
50
12
=
，所以
25
BD =，在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD
DBC BCD
=∠
∠
，即25sin BCD
=∠.
所以sin 1BCD ∠=，所以
(
)cos sin sin 1BCD BCD θπ=-∠=∠=.
考点：解三角形.
【思路点晴】本题主要考查解三角形应用问题.在ABD ∆中，有正弦定理求出BD ，在B C D ∆中，由正弦定理解出sin BCD ∠，则(
)cos sin sin 1BCD BCD θπ=-∠=∠=.应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）
在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为
(3,)2
π
，点B 的
极坐标为(6,)6
π
，曲线22:(1)1C x y -+=．
（1）求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；
（2）过点O 的射线l 交曲线C 于M 点，交直线AB 于N 点，若||||2OM ON =，求射线l 所在直线的直角 坐标方程.
【答案】（1）2cos ρθ=,sin 3ρθ=；（2）3y x =. 【解析】
曲线C 化为极坐标为2cos ρθ=…………4分
(2)设射线:l θα=，代入曲线C 得2cos M ρα=,代入直线AB 得：3
sin M ρα
=…………6分 依题意得
3
2cos 2tan 3sin ααα
⋅=⇒=.…………8分 所以射线l 所在直线的直角坐标方程为3y x =…………10分 考点：坐标系与参数方程. 18.（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)
2
n n n S +=，数列{b }n 的前n 项和为n T ，且2n n n
a b =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在*,m n N ∈，使得n m T a =，若存在，求出所有满足题意的,m n ，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）n a n =；（2）1,2m n ==. 【解析】
由于2n T <，又2
212
n n m m +-
=∴=，解得2n =.…………12分 考点：数列求通项、数列求和. 19.（本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C B =+．
（1）若2,a b ==c ；
（2）设函数230)2sin (15)y A C ---，求y 的取值范围. 【答案】（1）3c =；（2）(1,1]y ∈-. 【解析】
试题分析：（1）用正弦定理化简cos sin a b C B =+
得3
B π=，再由余弦定理求得3c =；
（2）化简60)1y A --，由于三角形为锐角三角形，所以(30,90)A ∈，由此求得
(1,1]y ∈-.
考点：解三角形，三角恒等变换. 20.（本小题满分12分）
如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中
点，且2BC CA ==．
（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；
（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57
-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高.
【答案】（1）证明见解析；（2【解析】
试题分析：（1）取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ，所以1B M AC ⊥，结合AC BC ⊥有AC ⊥平面11B C CB ，从而有平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）以CA 为ox 轴，CB
为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系，设1B M t =，利用二面
角11B AB C --的余弦值为57
-和向量法建立方程，求得t = 试题解析：
考点：空间向量与立体几何. 21.（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，上顶点为A ，短轴长为2，O 为原点，直
线AF 与椭圆
C 的另一个交点为B ，且AOF ∆的面积是BOF ∆的面积的3倍．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,P Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使OPRQ 为平行四边形，求m 取值范围.
【答案】（1）2212x y +=；（2）11(,][,)22
-∞-+∞. 【解析】
试题分析：（1）依题意有1b =，根据面积比求得B 点的坐标，代入椭圆方程求得2a =，
2a =，所以椭圆方程为2
212
x y +=；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，利用平行四边形对角线可求得R 点的坐标，代入椭圆方程化简得222
1212(12)()8()82k x x km x x m +++++=，联立2212
x y +=，y kx m =+消去y 写出韦达定理，代入上式化简得221241k m +=>，解得
11
(,][,)22
m ∈-∞-+∞.
又221241k m +=≥，解得12m ≥或12m ≤-，则m 取值范围是11
(,][,)22
-∞-+∞.…………12分
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系.第一问探究椭圆的标准方程，由题意容易得到1b =，题目另一个条件给的是面积的比，利用面积的比可以得到边长的比，进而得到B 点的坐标，代入椭圆方程建立等式，由此解出2a =.第二问需要借助平行四边形的几何性质，
求出R 点坐标后代入椭圆方程，再利用韦达定理就可以求得m 的范围. 22.已知函数1()(0)1ax
x f x e a x
-+=
>-． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1
2
x =处的切线方程； （2）讨论方程()10f x -=根的个数. 【答案】（1）22
y x e e
=
+；
（2）当02a <≤时，方程()10f x -=有一个根，当2a >时，方程()10f x -=有三个根.
【解析】
试题分析：（1）2a =时，函数表达式已知，先求出切点的坐标，利用导数求得斜率，用点斜式写出切线方程；（2）方程()10f x -=即()1f x =，()f x 的定义域为(,1)
(1,)-∞+∞.当
11x x <->或时，易知()0f x <，故方程()10f x -=无解，故只需考虑11x -≤<的情况.此时
构造函数()()1g x f x =-，利用导数分类讨论()g x 的零点个数.
(1)10g -=-<，()g x 在(递减(g(0)0g ∴>=
又()g x 在[1,-递增，()0g x ∴=在[1,-有一个根
()g x 在(递减(g(0)0g(0)0g g ∴>=<=，
()0g x ∴=在(有一个根0
g(0)0,1,()g x g x <=→→+∞，又()g x 在递增
考点：函数导数与零点问题.
【方法点晴】本题主要考查导数与切线，考查导数与零点问题.有关切线的题目首先看清楚是切点还是曲线外的点，其实把握住切点坐标和斜率，主要关注的是切点的横坐标，因为斜率也是由切点的横坐标球出来的.第二问研究函数的零点，首先求出定义域，然后分成两个部分，其中一个部分恒小于零，没有根，另一个部分需要构造函数，利用导数来分类讨论根的个数.。