2020届二轮(理科数学) 选考部分 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）选考部分专题卷（全国通用） (2) 1不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()
A.{x|-3≤x<2}
B.R
C.⌀
D.{x|x<-3或x>2}
f(x)=|x+3|+|x-2|={-2x-1,x<-3,
5,-3≤x<2,
2x+1,x≥2,
则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为
⌀.故原不等式的解集是⌀.
2某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9
n
,则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼
n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9
n ≥2√9=2×3=6,当且仅当n=9
n
,
即n=3时,等号成立.
3设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1
+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则 ()
A.S1>S2
B.S1<S2
C.S1≥S2
D.S1≤S2
,得顺序和≥反序和,即S1≤S2.
4已知m,n∈R,则1
m >1
n
成立的一个充要条件是()
A.m>0>n
B.n>m>0
C.m<n<0
D.mn(m-n)<0
>1
n ⇔1
m
−1
n
>0⇔n-m
mn
>0⇔mn(n-m)>0⇔mn(m-n)<0.
5已知a,b∈R,且a>b,下列不等式:
①b
a
>
b-1
a-1
;②(a+b)2>(b+1)2;③(a−1)2>(b−1)2.
其中不成立的是.
6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.
(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,所以f(x)>g(x).
(x)>g(x)
7若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为:
l g(1+a+b
2)1
2
[lg(1+a)+lg(1+b)].
+a)+lg(1+b)]
=1
2
lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]12,
l g(1+a+b
2)=lg(a+b+2
2
).
∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.
∴[(a+1)(1+b)]1
2≤
a+1+b+1
2
=a+b+2
2
,
当且仅当a=b时,等号成立.
∴l g(1+a+b
2
)≥lg[(1+a)(1+b)]12,
即l g(1+a+b
2)≥1
2
[lg(1+a)+lg(1+b)].
8已知a>0,b>0,且a+b=1,则1
a +1
b
+1
ab
与8的大小关系是.
a>0,b>0,且a+b=1,
所以1=a+b≥2√>0,
ab ≥2,于是得1
ab
≥4.
又1
a +1
b
+1
ab
=a+b+1
ab
=2
ab
=2·1
ab
≥8,
故1
a +1
b
+1
ab
≥8.
+1
b +1
ab
≥8
9(用分析法证明)已知a>6,求证:√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.
√a-3−√a-4<√a-5−√a-6,
只需证√a-3+√a-6<√a-4+√a-5,
只需证√<√,
只需证(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),
只需证a2-9a+18<a2-9a+20,
只需证18<20,
显然成立,所以当a>6时,√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.
能力提升1已知实数a,b,c满足a<b,且c≠0,则下列不等式一定成立的是()
A.1
a >1
b
B.a2>b2
C.ac<bc
D.a
c2<b
c2
a,b,c满足a<b且c≠0,
对于选项A,取a=-2,b=1,可知不成立.
对于选项B,取a=1,b=2,可知不成立.
对于选项C,取a=-2,b=1,c=-1,可知不成立.
由c2>0,知a
c2<b
c2
.故D成立.
2已知0<a<1
b ,且M=1
1+a
+1
1+b
,N=a
1+a
+b
1+b
,则M,N的大小关系是
.
方法一)M-N
=1
+
1
−
a
−
b
=
1-a
1+a
+
1-b
1+b
=
2(1-ab)
(1+a)(1+b)
.
由已知可得a>0,b>0且ab<1, ∴1-ab>0.∴M-N>0,即M>N.
(方法二)M
N =2+a+b
a+b+2ab
.
∵0<a<1
b
,∴0<ab<1.∴0<2ab<2,∴0<a+b+2ab<a+b+2.
∴
2+a+b
a+b+2ab
>1.
又M>0,N>0,∴M>N.
3若a>b>0,m>0,n>0,则a
b ,b
a
,b+m
a+m
,a+n
b+n
按由小到大的顺序排列为.
a>b>0,m>0,n>0,知b
a <b+m
a+m
<1,且b
a
<b+n
a+n
<1,所以a
b
>a+n
b+n
>1,即1<a+n
b+n
<
a b .
<b+m
a+m <a+n
b+n
<a
b
★4若-1<a<2,-2<b<1,则a-|b|的取值范围是.
-2<b<1,∴0≤|b|<2.
∴-2<-|b|≤0.
∵-1<a<2,∴-3<a-|b|<2.
-3,2)
5若x∈R,试比较(x+1)(x2+x
2+1)与(x+1
2
)(x2+x+1)的大小.
(x+1)(x2+x
2+1)=(x+1)(x2+x+1-x
2
)
=(x+1)(x2+x+1)−x
2
(x+1),
(x +12)(x2+x +1)=(x +1-12
)(x2+x +1) =(x+1)(x 2+x+1)−12(x2+x +1),
∴(x+1)(x 2+x 2+1)−(x +12)(x2+x +1)
=(x+1)(x 2+x+1)−x 2(x +1)−(x +1)(x2+x +1)+12(x2+x +1)
=12(x2+x +1)−12(x2+x)=12
>0. ∴(x+1)(x 2+x 2+1)>(x +12)(x2+x +1).
6若已知二次函数y=f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围.
二次函数y=f (x )的图象过原点,
∴可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0).
∴{f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴{a =12[f (1)+f (-1)],b =1[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).
∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,
∴6≤f (-2)≤10,
即f (-2)的取值范围是[6,10].
★7已知x ,y ∈R . (1)比较(13x +23y)2与13x2+23y2的大小;
(2)当p ,q 都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy )2与px 2+qy 2的大小.
)(13x +23y)2−(13x 2+2
3y 2)
=−29x2−29y2+49xy
=−29(x2+y2−2xy)=−29(x −y)2≤0,
所以(1
3x+2
3
y)
2
≤1
3
x2+2
3
y2.
(2)(px+qy)2-(px2+qy2)
=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.
因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.
所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.
因为p,q为正数,
所以-pq(x-y)2≤0.
所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.。