新人教A版必修32020学年高中数学第1章算法初步1_3_1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法学案

第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程．
2．理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．
1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法
①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
②辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
(2)更相减损术的算法步骤
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
(3)辗转相除法和更相减损术的区别与联系
(1)秦九韶算法简介
①秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值．
②秦九韶算法的特点
通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n次多项式的求值问题归结为重复计算n个一次多项式的值的问题．
③秦九韶算法的原理
将f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为：
f(x)＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0
＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，再由内向外逐层计算一次多项式v k的值．
(2)秦九韶算法的操作方法
①算法步骤如下
第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数a n和x的值．
第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.
第三步，输入i次项的系数a i.
第四步，v＝vx＋a i，i＝i－1.
第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.
②程序框图如图所示
③程序如下
INPUT “n＝”；n
INPUT “an＝”；a
INPUT “x＝”；x
v＝a
i＝n－1
WHILE i＞＝0
INPUT “ai＝”；a
v＝v*x＋a
i＝i－1
WEND
PRINT v
END
1．实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？
[提示] 先判断a，b是否为偶数，若是，都除以2再进行．
2．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．( )
(2)求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．( )
(3)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．( )
[提示] (1)√(2)×(3)√
题型一辗转相除法和更相减损术的应用
【典例1】用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．[思路导引] 将612作为大数，468作为小数，执行辗转相除法和更相减损术的步骤即可.
[解] 用辗转相除法：
612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，
即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验：
612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，
所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
求最大公约数的两种方法步骤
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
[针对训练1] 用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．[解] 80＝36×2＋8，
36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，
即80与36的最大公约数是4.
验证：
80÷2＝40,36÷2＝18；
40÷2＝20,18÷2＝9；
20－9＝11,11－9＝2；
9－2＝7,7－2＝5；
5－2＝3,3－2＝1；
2－1＝1,1×2×2＝4；
所以80与36的最大公约数为4.
题型二求三个正整数的最大公约数
【典例2】求325,130,270三个数的最大公约数
[思路导引] 求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．
[解] 解法一(辗转相除法)：因为325＝130×2＋65,130＝65×2，所以325和130的最大公约数为65.
因为270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2,
所以65和270的最大公约数为5,
故325,130,270三个数的最大公约数为5.
解法二(更相减损术)：325－130＝195,195－130＝65,130－65＝65.
所以325和130的最大公约数是65.
270－65＝205,205－65＝140,140－65＝75,75－65＝10,65－10＝55,55－10＝45,45－10＝35,35－10＝25,25－10＝15,15－10＝5,10－5＝5.
所以65和270的最大公约数为5，故325,130,270三个数的最大公约数为5.
理解辗转相除法的实质，从计算结果上看，辗转相除法是以相除余数为零而得到结果的.
[针对训练2] 求三个数175,100,75的最大公约数.
[解] 先求175与100的最大公约数：
175＝100×1＋75,100＝75×1＋25,75＝25×3,
∴175与100的最大公约数是25.
再求25与75的最大公约数：
75－25＝50,50－25＝25,
∴75和25的最大公约数是25.
∴175,100,75的最大公约数是25.
题型三秦九韶算法
【典例3】已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.
[思路导引] 可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．[解] 将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：
v0＝4；
v 1＝4×5＋2＝22； v 2＝22×5＋3.5＝113.5； v 3＝113.5×5－2.6＝564.9； v 4＝564.9×5＋1.7＝2826.2； v 5＝2826.2×5－0.8＝14130.2.
所以当x ＝5时，多项式的值等于14130.2.
(1)用秦九韶算法求多项式f (x )当x ＝x 0的值的思路为： ①改写．
②计算⎩
⎪⎨
⎪⎧
v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n ).
③结论f (x 0)＝v n .
(2)应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题 ①要正确将多项式的形式进行改写． ②计算应由内向外依次计算．
③当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
[针对训练3] 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2
＋6x 4
＋5x 5
＋3x 6
在x ＝－4时的值时，v 3的值为( )
A ．－144
B ．－136
C ．－57
D ．34
[解析] 根据秦九韶算法多项式可化为f (x )＝(((((3x ＋5)x ＋6)x ＋0)x －8)x ＋35)x ＋12.
由内向外计算v 0＝3；
v 1＝3×(－4)＋5＝－7； v 2＝－7×(－4)＋6＝34； v 3＝34×(－4)＋0＝－136.
[答案] B
课堂归纳小结
1.求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗
转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．
2.秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．
1．辗转相除法可解决的问题是( )
A．求两个正整数的最大公约数
B．多项式求值
C．求两个正整数的最小公倍数
D．排序问题
[解析] 辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.
[答案] A
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )
A．4 B．3
C．5 D．6
[解析] 120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.
[答案] B
3．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．
[解析] ∵36与134都是偶数，∴第一步应先除以2，得到18与67.
[答案] 先分别除以2，得到18与67
4．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________.
[解析] f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.
[答案] 19
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1397.
所以当x＝2时，多项式的值为1397.
算法案例在实际生活中的应用
通过算法案例的学习，知道算法的核心是一般意义上的解决问题的策略的具体化．对于一个实际问题，我们在分析、思考后可将之转化为数学问题，从而获得解决它的基本思路.
【典例】现有长度为2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批棱上无接点的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？
[思路导引] 要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋截成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使得每种规格的钢筋截取后没有剩余，因此截取的长度应为2.4与5.6的公约数；为使得正方体的体积最大，因此截取的长度应为2.4与5.6的最大公约数.
[解] 用更相减损术来求2.4与5.6的最大公约数：
5．6－2.4＝3.2,
3．2－2.4＝0.8,
2．4－0.8＝1.6,
1．6－0.8＝0.8,
因此2.4与5.6的最大公约数为0.8.
所以使得正方体的棱长为0.8 m时，正方体的体积最大且不浪费材料.
[针对训练] 甲，乙，丙三种溶液的质量分别为147 g，343 g，133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装多少？
[解] 由题意，每个小瓶中装入的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．
先求147与343的最大公约数：
343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数：
133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14,35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，
所以147,343,133的最大公约数为7，即每瓶最多装7 g.
课后作业(八)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间25分钟)
1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是( )
A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了做乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑
结构简单
B．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度
C．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度
D．秦九韶算法避免了对自变量x单独做幂的计算，而且与系数一起逐次增长幂次，从而提高计算的精度
[解析] 秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度，故选项C错误．
[答案] C
2．下列说法中正确的个数为( )
①辗转相除法也叫欧几里得算法；
②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；
③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；
④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①、②、④正确，③错误．
[答案] C
3．利用秦九韶算法求f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋6x5当x＝2时的值时，下列说法正确的是( )
A．先求1＋2×2
B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4
C．f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解
D．以上都不对
[解析] 利用秦九韶算法应先算a n x＋a n－1，再算(a n x＋a n－1)x＋a n－2，故选B.
[答案] B
4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
[解析] 该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．
由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C.
[答案] C
5．用更相减损术求117和182的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] ∵182－117＝65,117－65＝52,65－52＝13,52－13＝39,39－13＝26,26－13＝13，∴13是117和182的最大公约数，需做减法的次数是6.
[答案] C
6．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值，求f(x0)需要乘方、乘法、加法的次数分别为( )
A.n(n＋1)
2
，n，n B．n,2n，n
C．0,2n，n D．0，n，n
[解析] 因为f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以乘方、乘法、加法的次数分别为0，n，n.
[答案] D
7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4的值时，其中v1的值为________．
[解析] ∵f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6，∴v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7.
[答案] －7
8．378和90的最大公约数为________．
[解析] 378＝90×4＋18,90＝18×5＋0，
∴378与90的最大公约数是18.
[答案] 18
9．求1356和2400的最小公倍数．
[解] 2400＝1356×1＋1044，
1356＝1044×1＋312，
1044＝312×3＋108，
312＝108×2＋96，
108＝96×1＋12，
96＝12×8.
所以1356与2400的最大公约数为12.
则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12＝271200.
10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[解] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)·x，所以v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2369，
v6＝2369×3＋1＝7108，
v7＝7108×3＝21324.
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.
应试能力等级练(时间20分钟)
11．下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同( )
A．1120,735 B．385,350
C．385,735 D．1855,325
[解析] ∵(1855,1120)→(735,1120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，
∴1855与1120的最大公约数是35，
由以上计算过程可知选D.
[答案] D
12．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
[解析] 根据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A.
[答案] A
13．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r≤b)成立的q 和r的值分别为________．
[解析] 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24的商为13，余数是21.
∴q＝13，r＝21.
[答案] 13,21
14．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．
[解析] 多项式变形为
f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1
＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋12＝0，
v2＝0×(－4)＋6＝6，
v3＝6×(－4)＋10＝－14，
v4＝－14×(－4)－8＝48，
所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.
[答案] 62
15．用辗转相除法和更相减损术两种方法求三个数72,120,168的最大公约数．
[解] (辗转相除法)：
先求120,168的最大公约数．
因为168＝120×1＋48，
120＝48×2＋24,48＝24×2，
所以120,168的最大公约数是24.
再求72,24的最大公约数．
因为72＝24×3，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.
(更相减损术)：
先求120,168的最大公约数．
168－120＝48,120－48＝72，
72－48＝24,48－24＝24，
所以120,168的最大公约数为24.
再求72,24的最大公约数．
72－24＝48,48－24＝24，
所以72,24的最大公约数为24，
即72,120,168的最大公约数为24.。