2020-2021学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学(文)试题

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2020-2021学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学（文）
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．在等比数列{}n a 中，34a =，则42a a =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8
答案：C
2
243a a a =，可得答案. 解：2
24316a a a ==
故选：C
2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()11f '=-，则()()
11lim x f x f x
∆→+∆-=∆（）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
答案：D
直接由导数定义可得答案.
解：由导数定义和()11f '=-，得()()
()0
11lim 11x f x f f x
∆→+∆-'==-∆.
故选：D. 3．命题2,310x x ax ∀∈++>R 的否定是（）
A ．2,310x x ax ∀∈++≤R
B ．∃x∈2,310R x ax ++<
C ．2,310x x ax ∃∈++>R
D ．2,
310x x ax ∃∈++≤R
答案：D
根据全称命题的否定形式，直接求解. 解：全称命题“2,310x x ax ∀∈++>R ”的否定是“x R ∃∈，2310x ax ++≤”.
故选：D
4．下列求导运算正确的是（）
A ．()1
e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭
B ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 2cos x x x x '=
D ．()
33x x '=
答案：A
根据求导公式和求导法则，逐一验证四个选项的正误，即可得正确选项.
解：对于选项A ：()11e ln e ln e =e ln x
x x x x x x x x ⎛⎫'=+⋅+ ⎪⎝⎭
，故选项A 正确；
对于选项B ：cos 0sin 33ππ'⎛⎫=≠- ⎪⎝
⎭，故选项B 不正确；
对于选项C ：()
22sin 2sin cos 2cos x x x x x x x x '=+≠，故选项C 不正确；
对于选项D ：()
33ln 33x x x '=≠，故选项D 不正确，
故选：A
5．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（） A ．||||a b > B ．
11
a b a
>- C ．
11a b
> D ．22a b >
答案：B
本题根据不等式的性质逐一判断即可.
解：A 选项：∵0a b <<，∴0a b ->->即||||a b >，∴A 选项正确； B 选项：∵0a b <<，∴0a a b <-<即11
a b a
<-，∴B 选项错误； C 选项：∵0a b <<，∴
11
a b
>，∴C 选项正确； D 选项：∵0a b <<，∴0a b ->->即22a b >，∴D 选项正确. 故选：B.
点评：本题考查不等式的性质，是基础题.
6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案. 解：由导函数得图象可得：0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减， 排除选项A 、B ，
当0x >时，()f x '先正后负，所以()f x 在()0,∞+先增后减， 因选项C 是先减后增再减，故排除选项C ， 故选：D.
7．“1a <”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件
答案：A
根据一元二次方程有实数根可得0∆≥，从而解得a 的取值范围；由推出关系可确定结果. 解：当方程230x x a -+=有实数根可得：940a ∆=-≥，解得：94
a ≤
91
4
a a <⇒≤
，94a ≤
1a <
∴“1a <”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的充分不必要条件
故选A
点评：本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够根据一元二次方程有实数根求得a 的取值范围.
8．已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为（）
A
．B
．C ．6 D ．8
答案：A
由于0a >，0b >且31a b +=
，则利用基本不等式可得28a b +≥=，从而可得答案
解：因为0a >，0b >且31a b +=，
则28a b +≥==，当且仅当1
32
a b ==即1
2
a =
，16b =时取等号，
所以28a b +
的最小值为故选：A ．
9．已知命题p ：若x y >，则sin sin x y >；命题q ：对任意,x y R ∈，都有22
2x y xy +≥.则下
列命题是假命题的是（） A ．p q ∨ B ．p q ∧
C ．q
D ．p ⌝
答案：B
利用正弦函数的性质推导出命题p 是假命题，利用基本不等式推出命题q 是真命题，再根据复合命题的真假逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 解：若56x π=
，3y π=，51sin sin 62x π==
，sin sin 3y π==此时x y >，但sin sin x y <，
所以命题p 是假命题，
由基本不等式可得对任意,x y R ∈，都有2
2
2x y xy +≥，所以命题q 是真命题， 对于选项A ：p q ∨一真则真，所以p q ∨是真命题，故选项A 不正确； 对于选项B ：p q ∧一假则假，所以p q ∧是假命题，故选项B 正确； 对于选项C ：q 是真命题，故选项C 不正确；
对于选项D ：命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题，故选项D 不正确， 故选：B.
10．若实数x ，y 满足不等式组10
1010x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．2-
B ．0
C ．4
D ．1-
答案：A
画出不等式组所表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义，利用数形结合的方法，即可求出结果.
解：作出约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域如下（阴影部分），
因为2z x y =+可化为2y x z =-+， 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，
由图象可得，当直线2y x z =-+过点A 时，其在y 轴的截距最小，
由1010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩可得10
x y =-⎧⎨=⎩，即()1,0A -， 因此()min 2102z =⨯-+=-. 故选：A.
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点为F 2.若F 到双曲线的一条渐近
线的距离为2，则双曲线的方程为（）
A ．22
184
x y -=
B ．22
144x y -=
C ．22
188x y -=
D ．22
148
x y -=
答案：B
利用焦点到渐近线的距离可解得b ，再根据离心率2
21b e a
=+可解得a ，则可得出双曲线的方程.
解：由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为b
y x a
=
，即0bx ay -=，由点到线距离公式得：22
2bc
b a b
==+，又22
224122c a b e a a +===+=2a =，
所以双曲线的方程为：22
144
x y -=.
故选：B.
点评：本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单. 12．已知数列{}n a 满足112
a =
，*
11()2n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单
调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．(,1)-∞ B ．3
(1,)2
-
C ．3(,)2
-∞
D ．(1,2)-
答案：C 由*11()2
n n a a n N +=
∈可知数列{}n a 是公比为12的等比数列，12n n a =，得
2(2)2n n n
n b n a λ
λ-=
=-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈恒成立，参变分离后即可得解．
解：由*11()2
n n a a n N +=
∈可知数列{}n a 是公比为1
2的等比数列，
所以1111
()222
n n n a -==，
2(2)2n n n
n b n a λ
λ-=
=- ∵数列{n b 是单调递增数列，
∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈恒成立， 即1
(12)2
(2)2n n n n λλ++->-，整理得：2
2
n λ+<
32
λ∴＜，
故选：C.
点评：本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 二、填空题
13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，1c =，则ABC 的面积为________.
直接利用面积公式可得答案.
解：11sin 212222
ABC
S
bc A ==⨯⨯⨯=
故答案为：
2
14．已知拋物线2
2y px =（0p >）上一点()1,A m 到其焦点的距离为3，则p =________.
答案：4
先利用抛物线的方程求得准线方程，根据点到抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为3，利用132
p
+
=求得p ． 解：根据抛物线方程可知准线方程为2
p x =-
， ∵抛物线2
2y px =（0p >）上的点()1,A m 到焦点的距离为3，
∴根据抛物线的定义可知其到准线的距离为3， ∴132
p
+
=， ∴4p =． 故答案为：4．
点评：关键点点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线
22y px =（0p >）上一点(),P x y 到其焦点F 的距离为2
p x -
，抛物线2
2x py =（0p >）上一点(),P x y 到其焦点F 的距离为2
p
y +
，等等. 15．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第一实验室的设备费用为3万元，第三实验室的设备费用为12万元.则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为________万元. 答案：93
设第n 个实验室的设备费用为n a ，公比为q ，根据已知条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式计算前5项的和即可求解.
解：设第n个实验室的设备费用为n a，公比为q，则0
q>，
由题意可得1
33 12
a a =
⎧
⎨
=⎩，即1
2
1
3
12
a
a q
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得1
3
2
a
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以改建这五个实验室投入的设备费用为
()()
55
1
1312
93
112
a q
q
--
==
--
，
故答案为：93.
16．如图，椭圆C：()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>的左､右焦点分别为1F､2F，B为椭圆C的上顶点，若12
BF F
△的外接圆的半径为
2
3
b
，则椭圆C的离心率为________.
答案：
1
2
由题意可得12
BF F
△的外接圆的圆心在线段OB上，
1
OF c
=，
1
2
3
b
MF BM
==，可得
1
3
OM b
=，在
1
OMF
△中，由勾股定理可得：222
11
MF OM OF
=+，即
22
2
2
33
b b
c
⎛⎫⎛⎫
=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，结合222
b a c
=-即可求解.
解：
由题意可得：12
BF F
△的外接圆的圆心在线段OB上，
1
OF c
=，
设圆心为M，则
21
33
OM OB BM b b b
=-=-=，
在1OMF △中，由勾股定理可得：2
2
2
11MF OM OF =+，即22
2
233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以223b c =，即2223a c c -=，所以2a c =，所以12
c e a ==， 故答案为：
12
. 点评：方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a
=
；
（2）利用变形公式e =；
（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解. 三、解答题 17．解下列不等式： （1）2340x x --≥； （2）
3
01
x x +≤-. 答案：（1）(][),1
4,-∞-+∞；
（2）[)3,1-. （1）不等式左边因式分解，然后由二次函数的性质得出二次不等式的解； （2）把分式不等式变形后转化为整式不等式，然后得出结论． 解：（1）不等式2340x x --≥可化为()()140x x +-≥， 解得:1x ≤-或4x ≥； 所以原不等式的解集为(][),1
4,-∞-+∞.
（2）不等式
3
01x x +≤-可转化成()()31010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩
，
解得31
1x x -≤≤⎧⎨≠⎩
，所以31x -≤<，
所以原不等式的解集为[)3,1-.
18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，71a =，432S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值.
答案：（1）213n a n =-；（2）最小值36-.
（1）由条件可得1161
43
4322a d
a d +=⎧⎪
⎨⨯+=-⎪⎩
，解出即可得答案； （2）求出n S ，然后可得答案. 解：（1）
71a =，432S =-，
1161
434322a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=-⎪⎩
，得111a =-，2d =， ∴数列{}n a 的通项公式为11(1)2213n a n n =-+-⨯=-.
（2）22(1)
11212(6)362
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. ∴当6n =时，n S 取得最小值36-.
19．已知ABC 中，3AB =
，D 是边BC 上一点，2AD =，3
ADC π
∠=
，512
DAC π∠=
.
（1）求AC 的长； （2）求BD 的长.
答案：（1）3AC =（2）62
BD -=
. （1）在ADC 中，利用正弦定理直接求解AC ； （2）在ABD △中，用余弦定理解得BD . 解：解：（1）由已知得4
ACD π
∠=
， 在ADC 中，
sin sin AC AD
ADC ACD
=∠∠，
22
=
AC=
（2）ABD
△中，由余弦定理得2222cos
AB BD AD BD AD ADB
=+-⋅∠，
又AB=
AD=
2
3
ADB ADC
π
π
∠=-∠=，
∴222
2
2cos
3
BD BD
π
=+-，
解得BD=.
点评：解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 20．已知函数()()
331
f x x ax a R
=--∈.
（1）当1
a=时，求函数()
f x的极大值；
（2）讨论函数()
f x的单调性.
答案：（1）极大值为1；（2）答案见解析.
（1）利用导数分析函数()
f x的单调性，由此可求得函数()
f x的极大值；
（2）求得()233
f x x a
'=-，分0
a≤、0
a>两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()
f x的单调区间.
解：（1）当1
a=时，()331
f x x x
=--，该函数的定义域为R，且2
33
f x x，
令()0
f x
'>，得1
x<-或1
x>；令()0
f x
'<，得11
x
-<<，
()
f x
∴在()
,1
-∞-，()
1,+∞上递增，在()
1,1
-上递减，
故()
f x的极大值为()11
f-=；
（2）()()
22
333
f x x a x a
'=-=-.
①当0
a≤时，()0
f x
'≥在R上恒成立，()
f x
∴在R上单调递增；
②当0a >时，令()0f x '>，得x <x >
令()0f x '<，得x <<
所以，函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. 点评：方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：
（1）求函数()f x 的定义域；
（2）求导数()f x '；
（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.
21．已知函数()e x
a f x x =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在区间[)0,+∞上的零点个数；
（2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.
答案：（1）有1个零点；（2）(,)e +∞.
（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解；
（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解.
解：（1）当1a =-时，()1e x f x x =-
， 则()110e x
f x =+>'， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递增，
又(0)10f =-<，1(1)10e
f =->， 故0(0,1)x ∃∈，使得()00f x =，
∴函数()f x 在区间[0,)+∞上有1个零点；
（2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立，
即e (2)x
a x >-恒成立，
令()e (2)x g x x =-，则()e (1)x g x x '=-，
令()0g x '>，得1x <；
令()0g x '<，得1x >.
∴()g x 在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，
∴max [()](1)e g x g ==，
∴a 的取值范围为(e,)+∞.
点评：方法点睛：
不等式恒成立问题解决思路：一般参变量分离、转化为最值问题.
22．若椭圆2212:1(02)4x y C b b +=<<抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点在椭圆1C 的顶点上.
（1）求抛物线2C 的方程；
（2）若过()1,0M -的直线l 与抛物线2C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥时，求直线l 的方程.
答案：（1）2
4x y =；（2）10x y -+=.
（1）由椭圆的离心率的公式和椭圆中,,a b c 的关系，可以求出b 的值，最后可以求出抛物线2C 的方程；
（2）设出直线l 的方程，设出E 、F 两点坐标，把抛物线方程变成函数解析式形式，对函数进行求导，求出过E 、F 的抛物线2C 的切线1l 、2l 的斜率，将直线l 的方程与抛物线方程联立，消y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，结合两直线垂直它们的斜率的关系进行求解即可.
解：（1）已知椭圆的长半轴长为2a =，半焦距c ，
由离心率22
c e a ===得1b =， ∴椭圆的上顶点为()0,1，即抛物线的焦点为()0,1，2p ∴=，
因此，抛物线的方程为2
4x y =；
（2）由题知直线l 的斜率存在且不为零，
则可设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,E x y 、()22,F x y ，
抛物线的函数解析式为214y x =，求导得12y x '=，∴切线1l 、2l 的斜率分别为112x 、212x ， 当12l l ⊥时，
1211221x x ⋅=-，即124x x =-， 由()
214y k x x y
⎧=+⎨=⎩，得2440x kx k --=， 由()()24440k k ∆=-⨯->-，解得1k <-或0k >.
又1244x x k =-=-，得1k =.
因此，直线l 的方程为10x y -+=.
点评：本题考查了椭圆离心率公式的应用，考查了利用导数求抛物线的切线的斜率，考查了求抛物线的标准方程，考查了数学运算能力，属于中等题.。