文科数学数列通项公式的求法

文科数学数列通项公式的求法 类型1 )(1n f a a n
n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n
n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n
a a n 111-=- 211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

解：由条件知
1
1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n
a a n 11=⇒又321=a ，n
a n 32=∴ （2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1
___n a ⎧=⎨⎩ 12
n n =≥
解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得
当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，
n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-1
3423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .
故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23
311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或
1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q
a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n
b （其中n n
n q a b =），得：q
b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

例5:已知数列{}n a 中，651=
a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2211+∙=∙++n n n n a a 令n n n a b ∙=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3
2(23-=所以n n n
n n b a )31(2)21(32-==
类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与
)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和221
4---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式
n a .
解：（1）由2214--
-=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是)21
21
()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n
n n a a 21211+=⇒+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由
12
14121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}
n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=⇒n n n a 类型6 )
()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例：已知数列｛a n ｝满足：1,1
3111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：取倒数：11113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列， 3)1(111
⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n 类型7周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例：若数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．23。