2020年辽宁省大连市第十五中学高一数学理上学期期末试题含解析

2020年辽宁省大连市第十五中学高一数学理上学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的值域为（）
A、B、C、
D、
参考答案：
C
略
2. 已知 是第四象限的角，并且cosα=，那么tanα的值等于（）
A. B. C.–
D. –
参考答案：
D
3. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）
A． B． C．2 D．
参考答案：
B
略
4. 在中，，，则k的值为（）
A．5 B．C．
D．
参考答案：
D
∵，∴，得，∴选“D”．
5. 下列关系式中正确的是（）
A. sin11°＜cos10°＜sin168°
B. sin168°＜sin11°＜cos10°
C. sin11°＜sin168°＜cos10°
D. sin168°＜cos10°＜sin11°
参考答案：
C
6. 将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）
A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；
再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，
所得函数图象的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7. （5分）如果扇形圆心角的弧度数为2，圆心角所对的弦长也为2，那么这个扇形的面积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：扇形面积公式．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值，再求扇形的面积即可．
解答：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO=，
从而弧长为α?r=，面积为××=
故选A．
点评：本题考查扇形的面积、弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
8. 对任意实数规定取三个值中的最小值，则
（）
.有最大值，最小值.有最大值，无最小值
.有最大值，无最小值.无最大值，无最小值
参考答案：
B
略
9. 偶函数满足，且当时，，若函数
有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
10. 下列函数中，在R上单调递增的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
选项A：定义域上为偶函数，在对称区间上单调性相反，故A错误;
选项B，定义域为，故B错误；
选项C，定义域上单调递增，故C正确；
选项D，定义域上单调递减，故D错误.
故选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数x，y满足xy=1，则x2+3y2的最小值为．
参考答案：
2
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵实数x，y满足xy=1，则x2+3y2的≥2xy=2，当且仅当=±时取等号．
因此最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 若等差数列满足，，则当时，
的前项
和最大.
参考答案：
试题分析：由等差数列的性质得，，所以，且，所以等差数列的前八项都大于零，从第九项开始都小于零，则当时，数列的前项和最大.
考点：等差数列的前项和．
13. （4分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积
为 cm2．
参考答案：
2π
考点：扇形面积公式．
专题：计算题．
分析：根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．
解答：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，
∴半径r=，
∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．
故答案为：2π
点评：本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．
14. 幂函数，当时为减函数，则实数的值是
_____．
参考答案：
2
15. 比较sin1，sin2与sin3的大小关系为．
参考答案：
sin3＜sin1＜sin2
【考点】三角函数线．
【分析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到（0，）上的正弦值，借助
正弦函数在（0，）的单调性比较大小．
【解答】解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．
∴sin1≈sin57°，
sin2≈sin114°=sin66°．
sin3≈171°=sin9°
∵y=sinx在（0，90°）上是增函数，
∴sin9°＜sin57°＜sin66°，
即sin3＜sin1＜sin2．
故答案为 sin3＜sin1＜sin2．
16. 已知幂函数的图像经过点，则的解析式为
参考答案：
17. 已知等腰三角形的底角的正弦值等于，则该三角形的顶角的余弦值
为
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对排放量超过的型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行排放量检测，记录如下(单位：).
经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为．
（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合排放量的概率是多少？
（Ⅱ）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性．ks5u
参考答案：
解：（Ⅰ）从被检测的辆甲类品牌车中任取辆，共有种不同的排放量结果：；；；；；
；；；；
…………2分
设“至少有一辆不符合排放量”为事件，则事件包含以下种不同的结果：
；；；；；；………4分所以，
………6分
（Ⅱ）由题可知，，………7分
……………………9分
，
，
………………10分，，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好. ………12分略
19. 已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）由，代入求解即可
（2）原式分母化为，进而分子分母同时除以化简为关于的代数式，代入求解即可.
【详解】解：（1）；
（2）
.
【点睛】本题考查了齐次式的运用，将分母1化为是解题的关键.
20. 已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）﹣f（x）﹣f （y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减，求实数k的取值范围．
参考答案：
考点：抽象函数及其应用．
专题：综合题．
分析：（1）f（x+y）=f（x）?f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2中，令x=y=0，再验证即可求
出f（0）=2．设x＜0，则﹣x＞0，利用结合x＞0时，f（x）＞2，再证明．
（2）设x1＜x2，将f（x2）转化成f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f
（x1）+2=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2，得出了f（x2）与f（x1）关系表达式，
且有f（x2﹣x1）＞2，可以证明其单调性．
（3）结合（2）分析出x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0，k大于 f（x）的最大值即可．
解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）?f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2令x=y=0，
f（0）=f（0）?f（0）﹣f（0）﹣f（0）+2
∴f2（0）﹣3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1
若 f（0）=1
则 f（1）=f（1+0）=f（1）?f（0）﹣f（1）﹣f（0）+2=1，
与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）
=2 （1分）
设x＜0，则﹣x＞0，那么f（﹣x）＞2
又2=f（0）=f（x﹣x）=f（x）?f（﹣x）﹣f（x）﹣f（﹣x）+2
∴
∵f（﹣x）＞2
，∴，从而1＜f（x）＜2（3分）
（2）函数f（x）在R上是增函数
设x1＜x2则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2
f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2
=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2
∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）﹣1＞0，又f（x2﹣x1）＞2
∴f（x2﹣x1）?[f（x1）﹣1]＞2f（x1）﹣2
f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2＞f（x1）
即f（x2）＞f（x1）
∴函数f（x）在R上是增函
数
（3分）
（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数
∴函数y=f（x）﹣k在R上也是增函数
若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减
则x∈（﹣∞，0）时，g（x）=|f（x）﹣k|=k﹣f（x）
即x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0，
∵x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分）
点评：本题是抽象函数类型问题．解决的办法是紧紧抓住题目中给出的抽象函数的性质，对字母灵活准确地赋值，一般可求出某一函数值，f（x）与f（﹣x）的关系式，在探讨单调性时，可将区间上的实数x1，x2，写成x2 =（x2﹣x1 ）+x1或x2 =（x2÷x1 ）×x1建立f（x2）与f（x1）关系式，结合前述性质证明．
21. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．
参考答案：
(1)∵PA⊥底面ABCD，EC?平面ABCD
∴CE⊥PA，
又∵AB⊥AD，CE∥AB.∴CE⊥AD.
又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD.
(2)由(1)知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE＝CD cos45°＝1，CE＝CD sin45°＝1.
又∵AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．
∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋CE·DE
＝1×2＋×1×1＝．
又PA⊥底面ABCD，PA＝1
所以V四棱锥p－ABCD＝×S四边形ABCD×PA＝××1＝．
22. 我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为__________．
参考答案：
略。