高中高一数学下学期期中试题 文-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年度油田高中第二学期高一期中考试
数学试题（文科）
2016.05
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分为150分．答题时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．)310
sin(π-
的值等于 ( ) A ．－21B ．2
1 C ．－
2
3
D ．
23
2. 0
150sin 15sin 30cos 75sin -的值等于 () A ．1 B ．
2
1
C ．22 D.23
3．向量a,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ）
Ａ．45︒ Ｂ．60︒ Ｃ．90︒ Ｄ．120︒
4.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数
为( )
A ．①③④
B ．②④
C ．①③
D ．①②③
5.已知tan(π－α)＝12，则sin α＋cos α
2sin α－cos α
＝( )
A.14 B ．－14 C .12 D ．－12
6.已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )
A ．ω＝2，θ＝π2
B ．ω＝12，θ＝π2
C ．ω＝12，θ＝π4
D ．ω＝2，θ＝π
4
7. 函数)42sin(log 2
1π
+=x y 的单调减区间为（ ）
A )(],4
(Z k k k ∈-
ππ
π
B ．)(]
8
,8(Z k k k ∈+-
π
ππ
π
C )(]8
,83(Z k k k ∈+-π
πππ
D ．)(]8
3
,8(Z k k k ∈++
πππ
π
8已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →
＝1，
CE →·CF →
＝－2
3
，则λ＋μ＝( )
A .12
B .56
C .23
D .712
9执行如图的程序框图，若输入[]x ππ∈- ， ，则输出y 的取值X 围是（） A 2[1]2- ，B [11]- ，
C [01] ，
D 2
[1]2
- ，
10．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →
，则点
O 是△
ABC 的( )．
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
11.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )
A ．向右平移π4个单位
B ．向左平移π
12个单位
C ．向右平移π12个单位
D ．向左平移π
4
个单位
12在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足
CD
CN BC
BM
=
，则AN
AM ⋅的取值X 围是( )
A ［1，4］
B (1 ,4)
C ［1, 4)
D ( 1, 4］
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分.
13设0<θ<π
2
，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．
14．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是. 15.已知向量a ＝(2，3)，向量b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 .
16下面有五个命题：
①终边在y 轴上的角的集合是{β|β＝2k π＋π
2，k ∈Z}．
②函数y ＝sin 4
x －cos 4
x 的最小正周期是2π.
③设一扇形的弧长为4 cm ，面积为4 cm 2
，则这个扇形的圆心角的弧度数是2.
④为了得到y ＝3sin2x 的图象只需把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π
6个单位长度．
⑤函数y ＝tan(－x －π)在⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2上是增函数．
所有正确命题的序号是_________．(把你认为正确命题的序号都填上) .
三、解答题：本大题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
求值 3sin(－20
3π)
tan 113
π
－cos 134π·tan(－35
4π)．；
18．（本小题满分12分）
已知向量a ＝(1，2)，b ＝(cos α，sin α)，设c ＝a －tb (t 为实数)．
(1)当t ＝1，若c ∥b ，求2cos 2
α－sin 2α的值； (2)若α＝π
4，求|c |的最小值．
19．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →
→
<⋅≤设→AB 和→
AC 的夹角为θ． （1）求θ的取值X 围； （2）求函数θθπ
θ2cos 3)4
(sin 2)(2
-+=f 的值域．
20．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点
的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．
21.（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0,0<φ<π
2)的部分图象，如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值X 围．
22．（本小题满分12分）
已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 、b 满足关系|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)． (1)求a 与b 的数量积用k 表示的解析式f (k )．
(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值． (3)求a 与b 夹角的最大值．
2015-2016学年度第二学期高一期中考试
数学试题（文科答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分, 共60分 1 D 2C3 C 4 D 5 B 6 A 7 B 8B 9 A10 D 11 C12 A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分
13． 1214．3π
8
15． 13 16 ③.④
三、解答题：本大题共4小题, 共40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17 （本小题满分10分）
23
+2
2 18（本小题满分12分）
解：(1)当t ＝1时，c ＝(1－cos α，2－sin α)．
∵c ∥b ，∴cos α(2－sin α)－sin α(1－cos α)＝0，∴tan α＝2，……3分
2cos 2
α－sin 2α＝2cos 2
α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2－2tan α1＋tan 2
α＝－25
. ……6分 (2)当α＝π
4
时，|c |＝
＝t 2
－3 2t ＋5，……9分
当t ＝3 22时，|c |min ＝22
. …… 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：
2sin 2
1
=θbc ，4cos 0≤<θbc ， ……4分 可得1tan ≥θ，所以：)2
,4[
π
πθ∈． ……6分 （2）2π()2sin 324f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 2322θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
(1sin 2)32θθ=+πsin 23212sin 213θθθ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． ……8分
)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭∴≤≤．
即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π
4
θ=时，min ()2f θ=．
所以：函数)(θf 的值域是]3,2[……12 20．（本小题满分12分）
解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝
2. ……2分
又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π
2
，k ＝0，±1，±2，….
因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π
6
. ……6分
(2)由(1)得ƒ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142
＝154. ……9分 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6＝sincos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋15
8
. ……12分 21．（本小题满分12分）
解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4×⎝
⎛⎭⎪⎫7π6
－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.
`方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π
3
，
所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.方法二 由图象知f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋
φ＝k π，k ∈Z.∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3.
(2)方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝
⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，在图
中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，
f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，1∪(－1,0)． 22．19．（本小题满分12分）
[解] (1)由已知|a |＝|b |＝1.∵|ka ＋b |＝3|a －kb |，∴(ka ＋b )2
＝3(a －kb )2
，∴k 2
|a |2
＋2ka ·b ＋|b |2
＝
3(|a |2
－2ka ·b ＋k 2
|b |2
)，∴8ka ·b ＝2k 2
＋2，∴a ·b ＝k 2＋1
4k
(k >0)．
(2)∵a ·b ＝f (k )>0，∴a 与b 不可能垂直．若a ∥b ，由a ·b >0知a 、b 同向，于是有a ·b ＝|a ||b |cos0＝|a ||b |
＝1，即k 2＋1
4k
＝1，解之得k ＝2± 3.∴当k ＝2±3时，a ∥b .
(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b ＝k 2＋14k (k >0)，∴cos θ＝14(k ＋1k )＝14[(k )2
＋(1k
)2]＝14[(k
－1
k
)2
＋2]，∴当k ＝
1
k
即k ＝1时，cos θ取到最小值为1
2.又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°。