最新人教版七年级(下册)二元一次方程组数学试卷培优试题

一、选择题
1．已知关于x 、y 的方程组22331x y k
x y k +=⎧⎨+=-⎩以下结论：①当0k =时，方程组的解也是方
程24-=-x y 的解；②存在实数k ，使得0x y +=；③当1y x ->-时，1k >；④不论k 取什么实数，3x y +的值始终不变，其中正确的是（ ） A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
2．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )
A ．21
28x y =⎧⎨=⎩
B ．9
8x y =⎧⎨=⎩
C ．7
14x y =⎧⎨=⎩
D ．9787x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
3．小敏和小捷两人玩“打弹珠”游戏，小敏对小捷说：“把你珠子的一半给我，我就有 30颗
珠子”．小捷却说：“只要把你的1
2给我，我就有 30 颗”，如果设小捷的弹珠数为 x 颗，小
敏的弹珠数为 y 颗，则列出的方程组正确的是( )
A ．230260x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．230230x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．260230x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．260260
x y x y +=⎧⎨+=⎩
4．若方程组435,
(1)8
x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中的x 的值比y 的值的相反数大1，则k 为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．2
D ．-2
5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A ．02x y =⎧⎨=⎩
B ．2
8x y y z +=⎧⎨+=⎩
C ．2
1xy y =⎧⎨=⎩
D ．210
3x x y ⎧-=⎨+=⎩
6．已知关于x ，y 的方程组34,53,x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩给出下列结论：①4,
1x y =⎧⎨=-⎩
是方程组的解；②
无论a 取何值，x ，y 的值都不可能互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程
4x y a +=-的解；④x ，y 的都为自然数的解有4对．其中正确的是（ ） A ．②③
B ．③④
C ．①②
D ．①②③④
7．已知关于x ，y 的二元一次方程组343x y a
x y a +=-⎧⎨-=⎩，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x ，y 的值互为相反数时，2a =-； ②当1a =时，方程组的解也是方程42x y a +=+的解； ③无论a 取什么实数，2x y +的值始终不变； ④若用x 表示y ，则32
2
x
y =-+； A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
8．若关于x、y的方程组
2
{
44
x y a
x y a
+=
-=
的解是方程3x2y10
+=的一个解，则a的值为（）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
9．已知
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
是二元一次方程组
21
23
ax by
ax by
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解，则3
a b
-的值为（）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
10．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，乙把ax-
by=7看成ax-by=1，求得一个解为
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则a，b的值分别为( )
A．
2
5
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
B．
5
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
C．
3
5
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
D．
5
3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
二、填空题
11．商场购进A、B、C 三种商品各100件、112件、60 件，分别按照25%、40%、60%的
利润进行标价,其中商品C的标价为80元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买A、B 商品各两件,就免费获赠三件C商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折.那么，商场购进这三种商品一共花了______元．.
12．三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B 比a多买7件商品．则先生C购买的商品数量是________．
13．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
14．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
15．若A
∠与B互为补角，并且B的一半比A
∠小30，则B的度数为_________．
16．若方程组
23 4.7
3519.4
a b
a b
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
4.3
1.3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，则方程组
2(1)3(1) 4.7
3(1)5(1)19.4
x y
x y
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
的解为
__________________
17．若关于x，y的方程组
4510
(1)8
x y
kx k y
+=
⎧
⎨
--=
⎩
中x的值比y的相反数大2，则k＝_____．
18．已知a，b满足方程组
22
24
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，则a-b的值为________．
19．某中学七年级在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛，按分数高低取前50名获奖，
原定一等奖5人，二等奖10人，三等奖35人，现调整为一等奖10人，二等奖15人，三等奖25人，调整后一等奖平均分降低5分，二等奖平均分降低3分，三等奖平均分降低1分，如果原来一等奖比二等奖平均分数多2分，则调整后二等奖比三等奖平均分数多______分．
20．若m 1，m 2，…，m 2021是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，且
m 1+m 2+…+m 2021=1530，(m 1-1)2+(m 2-1)2+…+(m 2021-1)2=1525，则在m 1，m 2，…，m 2021中，取值为2的个数为_________．
三、解答题
21．对a ，b 定义一种新运算T ，规定：T （a ，b ）＝（a +2b ）（ax +by ）（其中x ，y 均为非零实数）．例如：T （1，1）＝3x +3y ．
（1）已知T （1，﹣1）＝0，T （0，2）＝8，求x ，y 的值；
（2）已知关于x ，y 的方程组()()113028T a T a ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩
，
，，若a ≥﹣2，求x +y 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A （x ，y ）落在坐标轴上，将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O ′A ′，坐标轴上有一点B 满足三角形BOA ′的面积为9，请直接写出点B 的坐标． 22．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x 、y 满足35x y -=①，237x y +=②，求4x y -和75x y +的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得42x y -=-，由①+②×2可得7519x y +=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组27
28
x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -=_______，x y +=_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数x 、y ，定义新运算：*x y ax by c =++，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=_______．
23．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 点的坐标为()1A m n -,，B 点的坐
标为()0n -,，其中,m n 是二元一次方程组220
2m n m n +=⎧⎨-=-⎩的解，过点A 作x 轴的平行线交y 轴
于点C ．
（1）求点,A B 的坐标；
（2）动点P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO 的方向运动，连接PC ，设点P 的运动时间为t 秒，三角形OPC 的面积为()0S S ≠，请用含t 的式子表示S （不用写出相应的t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P 从点B 出发的同时，动点Q 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA 的方向运动．过点O 作直线PC 的垂线，点G 为垂足；过点Q 作直线
PC 的垂线，点H 为垂足．当2OG QH =时，求t 的值．
24．对于不为0的一位数m 和一个两位数n ，将数m 放置于两位数之前，或者将数m 放置
于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为(),F m n ．例如：当1m =，68n =时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为618168450-=，而4501530÷=，所以()1,6830F =． （1）计算：()2,17F ．
（2）若a 是一位数，b 是两位数，b 的十位数字为x （18x ≤≤，x 为自然数），个位数字
为8，当()()11
,509,862
F a F b +=时，求出所有可能的a ，b 的值．
25．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A(a ，0)，B(b ，0)，且a ，b 满足|a ＋b ﹣2|＋25a b -+＝0，现同时将点A ，B 分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点为C ，D ． （1）请直接写出A 、B 、C 、D 四点的坐标．
（2）点E 在坐标轴上，且S △BCE ＝S 四边形ABDC ，求满足条件的点E 的坐标．
（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在线段BD 上移动时（不与B ，D 重合）求：
DCP BOP
CPO
∠+∠∠的值．
26．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111
222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00x x y y =⎧⎨=⎩，关于x ，y
的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11
x x y y =⎧⎨=⎩，且满足1000.1x x
x -≤，1000.1y y y -≤，
则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组22
2104x y m x y m +=+⎧⎨
-=+⎩的解是方程组10
310x y x y +=⎧⎨+=-⎩
的模糊解，则m 的取值范围是________．
27．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为-3，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．
（1）由题意得：点A 是点B 的“追赶点”，AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =____________．
（2）在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ．
（3）若AM =BN ，MN =4
3
BM ，求m 和n 值．
28．阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以
11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ，由此继续推理，从而解决了这个问题.
（1）直接写出S 1= （用含字母a 的式子表示）. 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.
（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S △APE 与S △BPF 的比值. 29．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其 正整数解．
例：由2312x y +=，得：1222433
x x
y -=
=-，（x 、y 为正整数） ∴01220x x >⎧⎨->⎩
，则有06x <<．又243x y =-为正整数，则23x
为正整数．由2与3互质，
可知：x 为3的倍数，从而x=3，代入2423x
y =-=∴2x+3y=12的正整数解为32
x y =⎧⎨=⎩ 问题：
（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解： . （2）若
6
2
x -为自然数，则满足条件的x 值为 . （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
30．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)＝x 2＋3x －5，把x ＝某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x ＝－1时多项式x 2＋3x －5的值记为f(－1)＝(－1)2＋3×(－1)－5＝－7.
(1)已知g(x)＝－2x 2－3x ＋1，分别求出g(－1)和g(－2)；
(2)已知h(x)＝ax 3＋2x 2－ax －6，当h(1
2
)＝a ，求a 的值；
(3)已知f(x)＝2+3kx a －6
x bk -－2(a ，b 为常数)，当k 无论为何值，总有f(1)＝0，求a ，b 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
①把k=0代入方程组求出解，代入方程检验即可；②方程组消元k 得到x 与y 的方程，检验即可；③表示出y-x ，代入已知不等式求出k 的范围，判断即可；④方程组整理后表示出x+3y ，检验即可． 【详解】
解：①把k=0代入方程组得：20
231x y x y +=⎧⎨+=-⎩
，
解得：2
1
x y =-⎧⎨=⎩，
代入方程得：左边=-2-2=-4，右边=-4， 左边=右边，此选项正确； ②由x+y=0，得到y=-x ，
代入方程组得：31x k
x k -=⎧⎨-=-⎩
，即k=3k-1，
解得：12
k =
， 则存在实数1
2
k =
，使x+y=0，本选项正确； ③22331x y k x y k +=⎧⎨+=-⎩，
解不等式组得：321x k y k =-⎧⎨=-⎩，
∵1y x ->-， ∴1(32)1k k --->-， 解得：1k <，此选项错误； ④x+3y=3k -2+3-3k=1，本选项正确； ∴正确的选项是①②④； 故选：B. 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为111222
3
277
327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即
可； 【详解】
解：111
222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，
111222
3277327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，
设3
727
x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
1112
22a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩， 方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，
∴方程组111222
a t
b s
c a t b s c +=⎧⎨
+=⎩的解为3
4t s =⎧⎨=⎩，
3
37247
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 解得：714
x y =⎧⎨=⎩．
故选C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题中的等量关系：①把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子；
②把小敏的1
2给小捷，小捷就有30颗.列出二元一次方程组即可.
【详解】
解：根据把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子，可表示为y+2
x
=30，化简得
2y+x=60；根据把小敏的12
给小捷，小捷就有30颗.可表示为x+y
2=30，化简得2x+y=60.
故方程组为：260
260x y x y +=⎧⎨+=⎩
故选：D. 【点睛】
本题首先要能够根据题意中的等量关系直接表示出方程，再结合答案中的系数都是整数，运用等式的性质进行整理化简.
4．A
解析：A 【分析】
所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．解出方程组的解，再列出关于两解的等式，求出k ． 【详解】 解：由题意， 解得x ＝
519
74
k k +-，y ＝53274k k --，
∵x 的值比y 的值的相反数大1， ∴x ＋y ＝1，即51974
k k +-＋53274k k --＝1， 解得k ＝3， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组和它的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键．
5．A
解析：A 【分析】
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】
A 、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；
B 、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误；
C 、第一个方程式的xy 是二次的，故本选项错误；
D 、x 2是二次的，故本选项错误． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键.
6．D
解析：D 【分析】
①将x =4，y =-1代入检验即可做出判断；
②将x 和y 分别用a 表示出来，然后求出x +y =3来判断； ③将a =1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； ④有x +y =3得到x 、y 都为自然数的解有4对． 【详解】
解：①将4,1x y =⎧⎨=-⎩代入34,
53,x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩，解得3a =；且满足题意，故①正确；
②解方程
3453x y a x y a +=-⎧⎨
-=⎩
①
②
-①②得：8y =4-4a
解得：12
a
y -=
， 将y 的值代入①得：5
2
a x +=
， 所以x +y =3，故无论a 取何值，x 、y 的值都不可能互为相反数，故②正确． ③将a =1代入方程组得：
33
53x y x y +=⎧⎨
-=⎩
， 解此方程得：30
x y =⎧⎨=⎩，
将x =3，y =0代入方程x +y =3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确． ④因为x +y =3，所以x 、y 都为自然数的解有
30x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，0
3x y =⎧⎨=⎩．故④正确． 则正确的选项有①②③④． 故选：D ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
7．C
解析：C 【分析】
根据方程组的解法可以得到x +y ＝2+a ，①令x +y ＝0，即可求出a 的值，验证即可，②由①得x +y ＝0，而x +y ＝4+2a ，求出a 的值，再与a ＝1比较得出答案，③解方程组可求出方程组的解，再代入x +2y 求值即可，④用含有x 、y 的代数式表示a ，进而得出x 、y 的关系， 【详解】
解：关于x ，y 的二元一次方程组343x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩①②，
①+②得，2x +2y ＝4+2a ， 即：x +y ＝2+a ，
（1）①当方程组的解x ，y 的值互为相反数时，即x +y ＝0时，即2+a ＝0， ∴a ＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x +y ＝2+a ， 当a ＝1时，x +y ＝3，
而方程x +y ＝4+2a 的解满足x +y ＝6， 因此②不正确，
（3）方程组343x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩
①②，解得，211x a y a =+⎧⎨=-⎩， ∴x +2y ＝2a +1+2-2a ＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组343x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩①②
， 由方程①得，a ＝4﹣x ﹣3y 代入方程②得，
x -y ＝3（4-x -3y ）， 即；322x y =-+，
因此④是正确的，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键． 8．A
解析：A
【详解】
(1)−(2)得：6y=−3a ，
∴y=−2
a ， 代入(1)得：x=2a ，
把y=−2
a ，x=2a 代入方程3x+2y=10， 得：6a−a=10，
即a=2.
故选A.
9．A
解析：A
【分析】
把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2123ax by ax by +=⎧⎨-=⎩
并解方程组，再把a,b 代入3a b -． 【详解】
把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2123ax by ax by +=⎧⎨-=⎩
，得 2123
a b a b -=⎧⎨+=⎩ 解得11a b =⎧⎨=⎩
所以3a b -＝-2
故选：A
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 10．B
解析：B
【解析】
把甲的解代入ax -by =7可得a +b =7，把乙的解代入可得a -2b =1，由它们构成方程组可得721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解方程组得52a b =⎧⎨=⎩
，故选B ． 二、填空题
11．31800
【分析】
先求出商品的进价为50元．再设商品、的进价分别为元，元，表示出商品的标价为，商品的标价为元，根据“如果同时购买、商品各两件，就免费获赠三件商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五
解析：31800
【分析】
先求出商品C 的进价为50元．再设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，表示出商品A 的标价为54
x ，商品B 的标价为75y 元，根据“如果同时购买A 、B 商品各两件，就免费获赠三件C 商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五件商品各打七五折”列出方程，进而求出1001126050x y ++⨯的值．
【详解】
解：由题意，可得商品C 的进价为：80(160%)50÷+=（元)．
设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，则商品A 的标价为5(125%)4x x +=（元)，商品B 的标价为7(140%)5y y +=（元)， 由题意，得57572()[2()380]0.754545x y x y +=++⨯⨯， ∴5736045
x y +=，
5710011280()803602880045x y x y ∴+=+=⨯=， 100112605031800x y ∴++⨯=（元)．
答：商场购进这三种商品一共花了31800元．
故答案为：31800．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，分别表示出商品A 与商品B 的标价，找到等量关系列出方程是解题的关键．本题虽然设了两个未知数，但是题目只有一个等量关系，根据问题可知不需要求出x 与y 的具体值，这是本题的难点．
12．7件．
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y
解析：7件．
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答．
【详解】
解：设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品．
则有x 2-y 2=48，即（x 十y ）（x-y ）=48．
∵x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，
又∵x+y ＞x-y ，48=24×2=12×4=8×6，
∴242x y x y +⎧⎨-⎩＝＝或124
x y x y +⎧⎨-⎩＝＝或86x y x y +⎧⎨-⎩＝＝． 解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．
符合x-y=9的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件．
同时符合x-y=7的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件．
∴C 买了7件，c 买了11件．
故答案为：7件．
【点睛】
此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．
13．30
【分析】
设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k ，a ，b ，c 都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框
解析：30
【分析】
设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得可列方程k =9a +7=7b +4=5c +2(k ，a ，b ，c 都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得：
k =9a +7=7b +4=5c +2(k ，a ，b ，c 都是正整数)
∴9a +7=5c +2，
∴9a =5(c -1)，
∴a 是5的倍数．
不妨设a =5m (m 为正整数)，
∴k =45m +7=7b +4，
∴b =4533(1)677
m m m ++=+， ∵b 和m 都是正整数，
∴m 的最小值为6．
∴a =5m =30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
14．95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知
解析：95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组
14101036x y x y y x +=⎧⎨+--=⎩，求解即可得95x y =⎧⎨=⎩
，即这个两位数为95． 故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
15．【分析】
根据与互为补角，并且的一半比小，然后根据题意列出关于、的二元一次方程
组，求解即可．
【详解】
解：根据题意得，
①-②得，，
解得，
把代入①得，，
解得．
∴，
故答案为：100°．
解析：100︒
【分析】
根据A ∠与B 互为补角，并且B 的一半比A ∠小30，然后根据题意列出关于A ∠、B 的二元一次方程组1801302A B A B ∠+∠=︒⎧⎪⎨∠-∠=︒⎪⎩
①②，求解即可． 【详解】 解：根据题意得1801302A B A B ∠+∠=︒⎧⎪⎨∠-∠=︒⎪⎩
①②， ①-②得，31502
B ∠=︒，
解得100B ∠=︒，
把100B ∠=︒代入①得，100180A ∠+︒=︒，
解得80A ∠=︒． ∴80100A B ∠=︒⎧⎨∠=︒
⎩， 故答案为：100°．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组在几何中运用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 16．x=5.3，y=0.3
【分析】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．
【详解】
方程组 的解是 ，
中，，
解得，
方程组的解为，
故答案为：x=5.3，y=0.3．【点睛】
本题考
解析：x=5.3，y=0.3
【分析】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到
1 4.3
1 1.3
x a
y b
-==
⎧
⎨
+==
⎩
，即可求解．
【详解】
方程组
23 4.7
3519.4
a b
a b
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
4.3
1.3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴
2(1)3(1) 4.7
3(1)5(1)19.4
x y
x y
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
中，
1 4.3
1 1.3
x a
y b
-==
⎧
⎨
+==
⎩
，
解得
5.3
0.3 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴方程组的解为
5.3
0.3 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故答案为：x=5.3，y=0.3．【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出
1 4.3
1 1.3
x a
y b
-==
⎧
⎨
+==
⎩
是解
题的关键．
17．-3
【分析】
由题意得：x＝﹣y+2，代入方程组中的第一个方程可求得y的值，再求出x的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k的值．
【详解】
解：∵方程组中x的值比y的相反数大2，
∴x＝﹣y
解析：-3
【分析】
由题意得：x＝﹣y+2，代入方程组中的第一个方程可求得y的值，再求出x的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k的值．
【详解】
解：∵方程组
4510
(1)8
x y
kx k y
+=
⎧
⎨
--=
⎩
中x的值比y的相反数大2，
∴x＝﹣y+2，
∴4（﹣y+2）+5y＝10，解得：y＝2，
把y ＝2代入4x +5y ＝10中，得：4x +10＝10，
解得：x ＝0，
则方程组的解是x=0y=2⎧⎨⎩
， ∴﹣（k ﹣1）×2＝8，
解得：k ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是理解题意，求出方程组的解． 18．-2
【分析】
把方程组中的两个方程相减即可得解；
【详解】
∵，
∴①-②得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键．
解析：-2
【分析】
把方程组中的两个方程相减即可得解；
【详解】
∵2224a b a b +=⎧⎨+=⎩
①②， ∴①-②得：2a b -=-；
故答案是：2-．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键．
19．9
【分析】
先设原一等奖平均分为x 分，原二等奖平均分为y 分，原三等奖平均分为z 分，由于总分不变，列出方程组，求出原二等奖比三等奖平均分多的分数，最后根据调整后二等奖平均分降低3分，三等奖平均分降低
解析：9
【分析】
先设原一等奖平均分为x 分，原二等奖平均分为y 分，原三等奖平均分为z 分，由于总分不变，列出方程组，求出原二等奖比三等奖平均分多的分数，最后根据调整后二等奖平均
分降低3分，三等奖平均分降低1分，列出代数式，即可求出答案．
【详解】
解：设原一等奖平均分为x 分，原二等奖平均分为y 分，原三等奖平均分为z 分，由于总分不变，得：
510351051532512x y z x y z x y ++=-+-+-⎧⎨=+⎩
（）（）（）①② 由①得：x+y -2z =24 ③
将②代入③得：y +2+y -2z =24
解得：y-z =11，
则调整后二等奖比三等奖平均分数多=（y -3）-（z -1）=（y-z ）-2=11-2=9（分）． 故答案为：9．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程组． 20．517
【分析】
设0有a 个，1有b 个，2有c 个，由（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，可得，由m1+m2+…+m2021=1530，可得，再由数字总个数为2021，即可列出方程求
解析：517
【分析】
设0有a 个，1有b 个，2有c 个，由（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，可得1525a c +=，由m 1+m 2+…+m 2021=1530，可得21530b c +=，再由数字总个数为2021，即可列出方程求解．
【详解】
解：设0有a 个，1有b 个，2有c 个，
∵（m 1-1）2+（m 2-1）2+…+（m 2021-1）2=1525，
∵m 1，m 2，…，m 2021是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，
∴1525a c +=
∵m 1+m 2+…+m 2021=1530，
∴21530b c +=，
∴2021215301525a b c b c a c ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
， 解得1008496517a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， 故取值为2的个数为517个，
故答案为：517．
【点睛】
此题考查了三元一次方程的应用，有理数的乘方和有理数的加法运算，解题的关键在于能够找到等量关系列出方程求解．
三、解答题
21．（1）x =1，y =1；（2）9x y +≥-；（3）(12,0)或(12,0)-或(0,9)或(0,9)-或(0,18)或(0,18)-
【分析】
（1）根据新运算T 定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
（2）应用新运算T 定义建立方程组，解关于x 、y 的方程组可得23x a y a =-⎧⎨=⎩
，进而得出(23)33x y a a a +=-+=-，再运用不等式性质即可得出答案；
（3）根据题意得(23,)A a a -，由平移可得(21,)A a a '-，根据点(23,)A a a -落在坐标轴上，且2a -，分类讨论即可．
【详解】
解：（1）根据新运算T 的定义可得：
(112)()0(022)(02)8x y x y -⨯⋅-=⎧⎨+⨯⋅⋅+=⎩
， 解得：11x y =⎧⎨=⎩
； （2）由题意得：()3448x y a y a
--=-⎧⎨⨯=⎩， 解得：23x a y a =-⎧⎨=⎩
， (23)33x y a a a ∴+=-+=-，
2a -，
36a ∴-，
339a ∴--，
9x y ∴+-；
（3）由（2）知，23x a y a
=-⎧⎨=⎩， (23,)A a a ∴-，
将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O A ''，
(21,)A a a ∴'-，
点(23,)A a a -落在坐标轴上，且2a -，
230a ∴-=或0a =，
32
a ∴=或0a =；
①当32
a =时，3(2,)2A '， 若点B 在x 轴上，1
3922BOA S OB ∆'=⨯⨯=，
12OB ∴=，
(12,0)B ∴或(12,0)-；
若点B 在y 轴上，1
292
BOA S OB ∆'=⨯⨯=， 9OB ∴=，
(0,9)B ∴或(0,9)-；
②当0a =时，(1,0)A '-；
∴点B 只能在y 轴上，1192
BOA S OB ∆'=⨯⨯=，
18OB ∴=， (0,18)B ∴或(0,18)-；
综上所述，点B 的坐标为(12,0)或(12,0)-或(0,9)或(0,9)-或(0,18)或(0,18)-．
【点睛】
本题考查了新运算T 定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算T 定义是解题关键．
22．（1）1-；5；（2）购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元；（3）11-．
【分析】
（1）利用①−②可得x －y 的值，利用()13
+①②可得出x +y 的值； （2）设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，记事本的单价为p 元，根据“买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①-②可得m n p ++的值，再乘5即可求得结果；
（3）根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a b c ++的值，从而可求得结果．
【详解】
（1）2728x y x y +=⎧⎨+=⎩
①② 由①−②可得：x －y ＝－1，由()13
⨯+①②可得x +y ＝5 故答案为：1-；5．
（2）设水笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，记事本的单价为p 元，
依题意，得：203235395362m n p m n p ++=⎧⎨++=⎩
①②， 由2⨯-①②可得8m n p ++=，
6666848m n p ∴++=⨯=．
故购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元．
（3）依题意得：35154728a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩
①② 由3×①−2×②可得：11a b c ++＝－
即1*111=－
故答案为：11-．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x -y ，x +y 的值；（2）（3）找出等量关系，正确列出三元一次方程组．
23．（1） ()6,7A ()8,0B -；（2）2814(02)1428(2)
t t S t t -≤<⎧=⎨->⎩；（3）43或4． 【分析】
（1）先求出是二元一次方程组2202m n m n +=⎧⎨-=-⎩
的解，然后代入A 、B 的坐标即可解答； （2）先求出OC 的长，分点P 在线段OB 上和OB 的延长线上两种情况，分别利用三角形面积公式计算即可；
（3）分两种情况解答：①当点P 在线段OB 上时，连接PQ ，过点M 作PM ⊥AC 交AC 的延长线于M ，可得OP =2CQ ，构建方程解答即可；②当点P 在BO 的延长线上时，同理可解．
【详解】
解：（1）解二元一次方程组2202m n m n +=⎧⎨-=-⎩，得：68m n =⎧⎨=⎩
∴A （6,7），B （-8,0）；
（2） ①当点P 在线段OB 上时，BP =4t ，OP =8-4t ，
∴11(84)7281422
S OP OC t t =⋅⋅=⋅-⨯=- ②当点P 在OB 延长线上时，
11(48)7142822
S OP OC t t =⋅⋅=⋅-⨯=- 综上所述2814(02)1428(2)t t S t t -≤<⎧=⎨->⎩
； （3）①当点P 在线段OB 上时，
如图：连接PQ ，过点M 作PM ⊥AC 交AC 的延长线于M
1122OPC S OP OC PC OG ∆=⋅=⋅， 1122
PCQ S CQ PM PC HQ ∆=⋅=⋅ 又2OG QH =
2OPC PCQ S S ∆∆∴=
2OP CQ ∴=
842t t ∴-=
43
t ∴=； ②当P 在线段BO 延长线上时 同理可得：4t =．
综上，满足题意t 的值为43
或4． 【点睛】
本题主要考查了三角形的面积、二元一次方程组等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题以及利用面积法解决线段之间的关系成为解答本题的关键．
24．(1) (2,17)F =6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.
【分析】
(1) (2,17)F =(217-127)÷15=6；
(2)分1≤a ＜5，a=5，5＜a≤9三种情形讨论计算.
【详解】
(1) 当2m =，17n =时，可以得到217，127．较大三位数减去较小三位数的差为21712790-=，而90156÷=，
∴()2,176F =．
(2)当m a =，50n =时，可以得a50，5a0．三位数分别为100a+50,500+10a ，
当1≤a ＜5时，（500+10a ）-（100a+50）=450-90a ，而(45090)15306a a -÷=-， ∴(),50F a =306a -， ∴()1,506
F a =5a -； 当a=5时，（500+10a ）-（100a+50）=0，而0150÷=，
∴(),50F a =0， ∴()1,506
F a =0； 当5＜a≤9时，（100a+50）-（500+10a ）=90a-450，而(90450)15630a a -÷=-， ∴(),50F a =630a -， ∴()1,506
F a =a-5； 当9m =，n b =时，可以得900+10x+8，100x+98．
∵18x ≤≤，
∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x ，而(81090)15546x x -÷=-，
∴()9,F b =546x -，，
∴()19,2
F b =273x -； 当1≤a ＜5时，5-a+27-3x=8,
∴a+3x=24,
∴当a=1时，x=233
（舍去），当a=2时，x=223（舍去）， 当a=3时，x=7，当a=4时，x=
203（舍去）， ∴a=3，b=78；
当a=5时，则27-3x=8,
∴x=193
（舍去）， 当5＜a≤9时，则a-5+27-3x=8,
∴3x-a=14,
∴当a=6时，x=
203（舍去），当a=7时，x=7， 当a=8时，x=223（舍去），当a=9时，x=233
（舍去）， ∴a=7，b=78；
综上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.
【点睛】
本题考查了新定义问题和二元一次方程的整数解，准确理解新定义的意义，灵活运用分类思想和枚举法是解题的关键.
25．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，2)，D(4，2)；（2）220,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，100,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭，(﹣5，0)，(11，0)；（3）1
【分析】
（1）根据非负数的性质求出a 、b 的值得出点A 、B 的坐标，再由平移可得点C 、D 的坐标，即可知答案；
（2）分点E 在x 轴和y 轴上两种情况，设出坐标，根据BCE ABDC S S ∆=四边形列出方程求解可得；
（3）作//PF AB ，则//PF CD ，可得DCP CPF ∠=∠、BOP OPF ∠=∠，进而得到∠DCP ＋∠BOP ＝∠CPO ，即求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：225a b a b +=⎧⎨-=-⎩
， 解得：a ＝﹣1，b ＝3．
所以A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，2)，D(4，2)，
（2）∵AB ＝3﹣（﹣1）＝3＋1＝4，
∴S 四边形ABDC ＝4×2＝8；
∵S △BCE ＝S 四边形ABDC ，
当E 在y 轴上时，设E(0，y)， 则12•|y ﹣2|•3＝8，
解得：y ＝﹣103或y ＝223， ∴22100,0,33E ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭； 当E 在x 轴上时，设E(x ，0)，
则1
2•|x ﹣3|•2＝8，
解得：x ＝11或x ＝﹣5，
∴E(﹣5，0)，(11，0)；
（3）由平移的性质可得AB ∥CD ，
如图，过点P 作PF ∥AB ，则PF ∥CD ，
∴∠DCP ＝∠CPF ，∠BOP ＝∠OPF ，
∴∠CPO ＝∠CPF ＋∠OPF ＝∠DCP ＋∠BOP ，
即∠DCP ＋∠BOP ＝∠CPO ，
所以比值为1．
【点睛】
本题主要考查非负数的性质、二元一次方程的解法、坐标与平移及平行线的判定与性质，根据非负数性质求得四点的坐标是解题的根本，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
26．9
52m ≤≤
【分析】
根据已知条件，先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m 的取值范围便可．
【详解】
解：解方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩得 ：422x m y m +⎧⎨-⎩
＝＝， 解方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩
得 ：2010x y ⎧⎨-⎩＝＝， ∵关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩
的模糊解，。