江苏省淮安市涟水县红日中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题

江苏省淮安市涟水县红日中学2021-2022学年九年级上学期
10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
A ．221x x ++
B ．2356x x -=
C ．610x +=
D ．2220x y += 2．一元二次方程2690x x ++=的一次项系数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．6
D ．9
3．已知⊙O 的半径为4，当OA =5时，点A 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．点A 在⊙O 上
B ．点A 在⊙O 外
C ．点A 在⊙O 内
D ．不能确定
4．若x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣3＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．﹣2 5．下列说法中，正确的是（ ）
A ．长度相等的弧是等弧
B ．三个点确定一个圆
C ．三角形外心到三边距离相等
D ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
6．用配方法解方程2610x x --=，方程应变形为（ ）
A ．2(3)8x -=
B ．2(3)10x -=
C ．2(6)10x -=
D ．2(6)8x -= 7．如图，O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，⊙A=42°，⊙APD=77°，则⊙B 的大小是( )
A ．34°
B ．35°
C ．43°
D ．44° 8．若一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为8cm ，则该圆的半径是（ ） A ．2.5cm 或6.5cm
B ．2cm
C ．6.5cm
D ．2cm 或6cm
二、填空题
9．将267x x =-化为一般形式为________．
10．如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙AOB ＝110°，则⊙C ＝_____度．
11．一元二次方程2410x x ++=的二次项系数、一次项系数及常数项之和为
______．
12．已知⊙O 的直径为6cm ，且点P 在⊙O 上，则线段PO =_________ .
13．若直角三角形两直角边的长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是______ 14．若1x =-是关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的一个根，则202322a b +-的值为 ___________
15．江苏省某县去年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，明年平均房价将达到每平方米5 500 元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，所列方程是_______________________
16．⊙O 的直径为10，弦AB=6，P 是弦AB 上一动点，则OP 的取值范围是
__________．
三、解答题 17．解方程
（1）2450x x -=+
（2）3(2)2(2)x x x -=-
（3）22213
x x +=． （4）2(1)4x -=．
18．关于x 的方程22210x x m -+-=有两个不相等的实数根，且m 为非负整数，求m 的值及此时方程的根．
19．某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A 、B 、C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？用直尺和圆规作出中学的位置呢？
20．小明在解方程251x x -=时出现了错误，解答过程如下：
1a =，5b =-，1c =，（第一步）
224(5)41121b ac ∴-=--⨯⨯=（第二步）
x ∴
1x ∴2x = （1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）第三步所使用的公式是 ．
（3）写出此题正确的解答过程．
21．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使CD ＝BC ，延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．
（1）求证：⊙E ＝⊙D ；
（2）若AB ＝5，BC －AC ＝1，求CE 的长．
22．某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件．
（1）若设每件童装降x 元，则销售量为 （用含x 的代数式表示）
（2）要想平均每天销售这种童装上盈利2400元，那么每件童装应定价多少元？ 23．如图，已知BD 、CE 是⊙ABC 的高，M 是BC 的中点，则点B ，C ，D ，E 是否在以点M 为圆心的圆上？为什么？
24．如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，另外三边的和为20米，⊥，AB：CD=5：4．设AB的长为5x米．
CD AD
（1）请求出AD的长(用含字母x的式子表示)；
（2）若该花圃的面积为40m2，且周长不大于30米，求AB的长．
⊥，AB=10 cm ，BC=8 cm一只蝉从点C沿CB方向以1 cm/ s 25．如图，已知AB BC
的速度爬行，一只蝗螂为了捕捉这只蝉，由点A沿AB方向以2 cm/s的速度爬行，一段时间后，它们分别到达了点M，N的位置．
（1）设运动时间为t s，则BM= ，BN= ．（用含t的代数式表示）（2）若此时⊙MNB的面积为282
cm，求它们爬行的时间．
（3）MN的长是否可能是2cm，如果能求出爬行时间．如果不能请说明理由．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程的定义一次进行判断即可．
【详解】
解：A 、221x x ++是代数式，所以A 选项错误，不符合题意；
B 、2356x x -=是一元二次方程，所以B 选项正确，符合题意；
C 、610x +=为一元一次方程，所以C 选项错误，不符合题意；
D 、2220x y +=含两个未知数，所以D 选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义：解题的关键是掌握含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
2．C
【解析】
【分析】
一元二次方程的一般式2a 0(0)x bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 是二次项的系数，bx 叫做一次项，b 是一次项的系数，c 叫做常数项．
【详解】
解：一元二次方程2690x x ++=的一次项系数是6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式，注意，找方程中的项和项的系数时，要带着前面的符号．
3．B
【解析】
【分析】
利用点A 到圆心的距离与半径的大小关系解题：d >r ，点在圆外，d <r ，点在圆内，d =r ，点
在圆上，据此解题．
【详解】
解：由题意得，OA =5>4,
即d >r ，点在圆外，
故选：B ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到130m --=，然后解关于m 的方程即可．
【详解】
解：1x =是关于x 的一元二次方程230x mx --=的一个解，
130m ∴--=，解得2m =-．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．D
【解析】
【分析】
根据等弧的定义对A 进行判断；根据三角形外心的定义对C 进行判断；根据确定圆的条件对,B D 进行判断．
【详解】
解：A 、能够完全重合的弧叫等弧，所以A 选项错误，不符合题意；
B 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以B 选项错误，不符合题意；
C 、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以C 选项错误，不符合题意；
D 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以D 选项正确，符合题意．
故选：D ．
本题考查了圆的认识，三角形的外心，等弧的定义，解题的关键是掌握圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，掌握与圆有关的概念．
6．B
【解析】
【分析】
根据配方法即可求解．
【详解】
解：222
---=
6+3310
x x
2
x--=
(3)100
2
x-=
(3)10
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
由⊙A=42°结合⊙D=⊙A可得⊙D=42°，再结合⊙APD=⊙B+⊙D，即可求得⊙B的度数．【详解】
解：⊙⊙D=⊙A，⊙A=42°，
⊙⊙D=42°，
又⊙⊙APD=⊙B+⊙D=77°，
⊙⊙B=77°-42°=35°
故选B．
【点睛】
本题考查熟悉“在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”和“三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和”是解答本题的关键．
8．D
【解析】
分两种情况讨论：当点在圆内或点在圆外．
【详解】
解：当点在圆内时，圆的直径为4+8=12，圆的半径为6；
当点在圆外，圆的直径为8-4=4，圆的半径为2，
即该圆的半径为2cm 或6cm
故选：D ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，分类讨论是解题关键．
9．2670x x -+=
【解析】
【分析】
移项，将方程右边化为0
【详解】
解：267x x =-化为一般形式为2670x x -+=
故答案为：2670x x -+=．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，一元二次方程的一般式：
20(0)ax bx c a ++=≠．
10．55
【解析】
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
⊙⊙C 与⊙AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，⊙AOB ＝110°，
⊙⊙ACB ＝1
2⊙AOB ＝55°．
故答案为：55．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解答此题的关键．
11．6
【解析】
【分析】
确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．
【详解】
根据题意可得，一元二次方程2410x x ++=的二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为1；
⊙和为1416++=．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和算出算式是解题关键．
12．3cm
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系得出：点P 在⊙O 上，则PO r =即可得出答案．
【详解】
⊙⊙O 的直径为6cm ，
⊙⊙O 的半径为3cm ，
⊙点P 在⊙O 上，
⊙3cm =PO ．
故答案为：3cm ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：点P 在⊙O 外，则PO r >，点P 在⊙O 上，则PO r =，点P 在⊙O 内，则PO r <．
13．6.5
【解析】
【分析】
由勾股定理解得直角三角形的斜边长为13，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及三角形外接圆的性质解题．
【详解】
，
直角三角形的外接圆的半径是13÷2=6.5，
故答案为：6.5．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质、勾股定理、三角形外接圆的性质，掌握直角三角形外接圆半径等于斜边的一半是解题关键．
14．2025
【解析】
【分析】
把1x =-代入方程即可求得-a b 的值，然后将其整体代入所求的代数式求解即可.
【详解】
把1x =-代入方程210+-=ax bx 得：1a b -=，
20232220232()2023212025a b a b ∴+-=+-=+⨯=.
故答案为：2025.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是熟练掌握计算法则. 15．4000（1+x ）2=5500
【解析】
【分析】
根据去年及明年的平均房价，列出关于x 的一元二次方程即可解题．
【详解】
解：设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意得，
4000（1+x ）2=5500
故答案为：4000（1+x ）2=5500
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
16．4≤OP≤5.
【解析】
【详解】
试题分析：如图，因为⊙O 的直径为10，所以半径为5，则OP 的最大值为5，OP 的最小值就是弦AB 的弦心距的长，所以，过点O 作弦AB 的弦心距OM ，利用勾股定理，求出OM=4，即OP 的最小值为4，所以4≤OP≤5．
故答案为4≤OP≤5.
考点：垂径定理；勾股定理．
17．（1）15x =-，21x =；（2）123x =，2
2x =；（3）1x =2x （4）13x =，21x =- 【解析】
【分析】
（1）由十字相乘法化为(5)(1)0x x +-=求解即可；
（2）先移项得3(2)2(2)0x x x ---=，提公因式得(32)(2)0x x --=，即可求解； （3）把方程化为22630x x +-=，由公式法求解即可得出答案；
（4）由直接开方法即可得出答案．
【详解】
（1）2450x x -=+，
(5)(1)0x x +-=，
解得：15x =-，21x =；
（2）3(2)2(2)x x x -=-，
移项得：3(2)2(2)0x x x ---=，
⊙(32)(2)0x x --=， 解得：123x =，22x =；
（3）22213
x x +=， 整理得：22630x x +-=，
⊙2a =，6b =，3c =-，
2642(3)600∆=-⨯⨯-=>，
⊙x =
=
⊙1x =2x （4）2(1)4x -=，
12x ∴-=±，
解得：13x =，21x =-．
【点睛】
本题考查求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求法是解题的关键．
18．120,1,1m x x ==．
【解析】
【分析】
由题意得到根的判别式8+80m ∆=->，然后解此不等式得到1m <，再根据m 为非负整数，得到m 的值为0，代入原方程，得到方程为2210x x --=，再解此一元二次方程即可．
【详解】
解：根据题意得，1,2,21a b c m ==-=-
2444(21)8+8b ac m m ∆=+=--=-
因为方程22210x x m -+-=有两个不相等的实数根，
所以8+80m ∆=->
1m ∴<
m 为非负整数，
=0m
此时方程为2210x x --=
22111=0x x -+--
2(1)=2x -
1=x ∴-
121,1x x ∴=．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，0∆>，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0∆，一元二次方程有两个相等的实数根；∆<0，一元二次方程没有实数根．
19．答案见解析
【解析】
【分析】
连接AB ，AC ，做AB 和AC 的中垂线垂足为E 和F ，AB 和AC 的中垂线相交点O 即为学校．
【详解】
连接AB ，AC ，分别以A 、B 为圆心，大于12
AB 长度为半径上下画弧，连接两交点，直线为AB 中垂线，垂足为E ，同理可画出AC 中垂线，垂足为F ，AB 中垂线与AC 中垂线相交于点O
由中垂线性质可知BE =AE ，⊙BEO =⊙AEO ，EO =EO ，
⊙BEO AEO ≅△△（SAS ）
⊙BO =AO
又由中垂线性质可知CF =AF ，⊙AFO =⊙CFO ，FO =FO ，
⊙AFO CFO ≅△△（SAS ）
⊙CO =AO
⊙CO =BO =AO
【点睛】
本题考查了尺规作图以及全等三角形的判定，将点O 到A 、B 、C 距离相等转化为三角形全等则对应边相等是解题的关键．
20．（1）一，1a =，
5b =-，1c =-；（2）x ；（3）见解析 【解析】
【分析】 （1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案；
（2）根据求根公式即可得出；
（3）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）原方程化为：2510x x --=，
1a ，5b =-，1c =-，
故答案为：一，1a =，5b =-，1c =-；
（2）利用求根公式：x =，
故答案是：x =； （3）1a =，5b =-，1c =-，
224(5)41(1)290b ac ∴-=--⨯⨯-=>．
x ∴，
1x ∴，2x = 【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法中的公式法． 21．（1）证明见解析；（2）CE =4
【解析】
【分析】
（1）因为⊙AEC 和⊙ABC 都是AC 的圆周角，故⊙AEC =⊙ABC ，因为AB 为直径，故⊙ACB =90°，则ACD ACB ≅（SAS ），则⊙ADC =⊙ABC ，则⊙E ＝⊙D ．
（2）由（1）可知ACB △为直角三角形，故由勾股定理有222AB AC BC =+，解得AC =3，BC =4，则DC =4，又因为⊙E ＝⊙D ，故CD =CE =4．
【详解】
（1）⊙AB 为直径，故⊙ACB =90°，CD ＝BC ，AC =AC
⊙ACD ACB ≅（SAS ）
⊙⊙D =⊙B
又⊙⊙E =⊙B
⊙⊙E ＝⊙D
（2）由（1）可知ACB △为直角三角形，故有222AB AC BC =+
即22125AC AC ++=（）
解得AC =3，BC =4
则DC =4
又⊙⊙E ＝⊙D ，
故CD =CE =4
【点睛】
本题考查了圆与三角形的综合问题，运用圆内角相关性质：同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角等于90°是解题的关键．
22．（1）404x +；（2）每件童装应定价20元或30元
【解析】
【分析】
（1）设每件童装应降价x 元，根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件，列出销售量；
（2）设利润为y ，列出y 与x 的二次函数解析式，令2400y =，求解即可．
【详解】
解：（1）设每件童装应降价x 元，
根据题意得销售量：404x +，
故答案是：404x +；
（2）根据题意得：利润(40)(404)y x x =-+，
由题意得：(40)(404)2400x x -+=，
整理得：2302000x x -+=，即(20)(10)0x x --=，
解得：20x 或10x =，
则每件童装应降价20元或10元，
答：那么每件童装应定价20元或30元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出相应的式子．
23．解：点B，C，D，E在以点M为圆心的圆上，理由见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME=MD=MC=MB，可证得结论．
试题解析：点B、C、D、E四个点在以点M为圆心的同一个圆上，理由如下：
如图所示，连接EM、DM；
⊙BD、CE是△ABC的高，
⊙⊙BCE、△BCD是直角三角形；
⊙⊙BCE、△BCD是直角三角形，M是BC的中点，
⊙EM=DM=1
2
BC=BM=CM，
⊙点B、C、D、E四个点在以点M为圆心的同一个圆上.
点睛：本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到EM=DM =BM=CM是解题的关键.
24．（1）206x
-；（2）10
AB=米．
【解析】
【分析】
（1）作BE AD
⊥于点E，可以得出BE CD
=，在t R ABE中由勾股定理解出AE的长，由BC DE
=可以推出AD的长；
（2）由（1）中的结论结合梯形的面积公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范围即可解题．
【详解】
解：（1）作BE AD
⊥于点E，
90AEB DEB ∴∠=∠=︒
CD AD ⊥
90ADC ∴∠=︒
//BC AD
90EBC ∴∠=︒
∴ 四边形BCDE 是矩形，
,BE CD BC DE ∴==
:5:4,5AB CD AB x ==
4CD x ∴=
4BE x ∴=
Rt ABE △中，由勾股定理解得
3AE x =
2054209BC x x x =--=-
209DE x ∴=-
2093206AD x x x ∴=-+=-；
（2）30AB BC CD DA +++≤，
5209420630x x x x ∴+-++-≤
53
x ∴≥ ()402
BC AD CD += (209206)4402
x x x -+-⋅∴= 23840x x ∴-+=
(32)(2)0x x ∴--=
122,23
x x ∴==
53
x ≥ 2x ∴=
5210AB ∴=⨯=
答：AB 的长为10米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、梯形面积、梯形的周长、一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
25．（1）102,8t t --；（2）1秒；（3）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设运动时间为t s ，根据路程公式，分别解得AM ，CN 的长，继而可解得BM ，BN 的长；
（2）设它们爬行的时间为t s ，由（1）中102,8BM t BN t =-=-,根据⊙MNB 的面积为282cm ，即可列出关于t 的一元二次方程，用因式分解法解方程即可；
（3）设MN 的长是2cm ，根据勾股定理222MN BN BM =+，得到关于t 的一元二次方程25561600t t -+=，判定此方程有无解即可解答．
【详解】
解：（1）根据题意得，AM =2t ,CN =t
102,8BM t BN t ∴=-=-
故答案为：102,8t t --；
（2）⊙MNB 的面积为282cm ，
1(102)(8)282
t t ∴--= 整理得，213120t t -+=
(1)(12)0t t ∴--=
121,12t t ∴==（不符合题意，舍去）
1t ∴=
答：⊙MNB 的面积为282cm 时，它们爬行的时间为1s ．
（3）MN 不能为2cm ，理由如下：
设MN 的长是2cm ，
则在t R BMN中，222
=+
MN BN BM
222
t t
∴=-+-
2(8)(102)
整理得，2
-+=
t t
5561600
2
∴-+=
5561600
t t
==-=
a b c
5,56,160
22
∆=-=-⨯⨯=-<
45645160640
b ac
方程无解，即MN不能为2cm．
【点睛】
本题考查一元二次方程的综合题，涉及列代数式、解一元二次方程、根的判别式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．。