高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业5 函数的单调性与最值(含解析)苏教版-苏教

课时作业5 函数的单调性与最值
一、选择题
1．(2020·某某质监)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( A ) A ．y ＝22－
x B ．y ＝x －1
1＋x
C ．y ＝log 12
1x
D ．y ＝－x 2＋2x ＋a
解析：A 中，y ＝22－x ，令t ＝2－x ，∵t ＝2－x 在(0，＋∞)上单调递减，∴t ∈(－∞，2)，y
＝2
t
在(－∞，2)上单调递增，∴y ＝22－x 在(0，＋∞)上单调递减．B
中，y ＝x －11＋x ＝1－2
x ＋1
，
令t ＝x ＋1，∵t ＝x ＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴t ∈(1，＋∞)，y ＝1－2
t 在(1，＋∞)上单调递
增，∴y ＝x －11＋x 在(0，＋∞)上单调递增．C 中，y ＝log 12 1
x ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增．D
中，y ＝－x 2＋2x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝1，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故选A.
2．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( A ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)
D ．a ∈(9,10)
解析：因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8.令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以a ∈(5,6)．故选A.
4．函数f (x )＝x
1－x 的单调递增区间是( C )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)，(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：因为f (x )＝－(1－x )＋11－x ＝－1＋11－x ，所以f (x )的图象是由y ＝－1
x 的图象沿x 轴向
右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到，而y ＝－1
x 的单调递增区间为(－∞，
0)，(0，＋∞)；所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.
5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( A )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
解析：因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．
6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值X 围是( B )
A.⎣⎡⎦⎤－11
3，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]
D ．[－4，－3]
解析：由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a
2
∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]．
7．函数y ＝2－x
x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值X 围是( D )
A ．(1,2)
B ．(－1,2)
C ．[1,2)
D ．[－1,2)
解析：函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3
x ＋1
－1，
且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0； 根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，所以－1≤m <2. 8．(2020·某某质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x >0，
当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值X 围是( B ) A ．(－∞，－4) B ．(－∞，－2) C ．(－2,2)
D ．(－∞，0)
解析：易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ＋4，x ≤0，
－x 3－x ＋5，x >0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )<f (x ＋m )在
x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x >x ＋m ，即2x <m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)<m ，解得m <－2，故选B.
9．(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f (－1π)，b ＝f (1e )，c ＝f (1
4)，则以下关系
成立的是( A )
A ．c <a <b
B ．c <b <a
C ．a <b <c
D ．a <c <b
解析：因为f (x )＝x ·ln 1＋x
1－x ＝x [ln(1＋x )－ln(1－x )]，所以f (－x )＝(－x )[ln(1－x )－ln(1＋x )]
＝x [ln(1＋x )－ln(1－x )]＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以a ＝f (－1π)＝f (1
π)．当0<x <1时，易知
f (x )为增函数．又1e >1π>14，所以f (1e )>f (1π)>f (1
4
)，
即b >a >c ，故选A. 二、填空题
10．函数f (x )＝3x ＋1
(x ∈[2,5])的最大值与最小值之和等于3
2.
解析：f (x )＝3x ＋1在[2,5]上是减函数，所以最大值为f (2)＝1，最小值为f (5)＝1
2，f (2)＋f (5)
＝3
2
. 11．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋a ，x <1，
2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值X 围是[3，＋∞)．
解析：当x ≥1时，f (x )≥2，当x <1时，f (x )>a －1.由题意知a －1≥2，所以a ≥3. 12．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 21
5，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为a >b >c .
解析：∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 21
5＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .
13．(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－2ax ＋9，x ≤1，x ＋4x ＋a ，x >1，
若f (x )的最小值为f (1)，则实数a 的取值X 围是[2，＋∞)．
解析：由题意可知要保证f (x )的最小值为f (1)，需满足⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥1，
f (2)≥f (1)，解得a ≥2.
三、解答题
14．已知函数f (x )＝1a －1
x (a >0，x >0)．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2，求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫
1a －1x 1
＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2
>0， 所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤
12，2上是单调增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25. 15．(2020·某某某某月考)设函数
f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (x )，x >0，－f (x )，x <0.
(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，某某数k 的取值X 围． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.
由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0， ∴a ＝1，b ＝2.
从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2
，x <0.
(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，
由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k
2≥2，得k ≤－2或k ≥6.
即实数k 的取值X 围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
16．(2020·某某某某八校联考)如果定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”．下列函数为“H 函数”的是( D )
A ．f (x )＝sin x
B ．f (x )＝e x
C ．f (x )＝x 3－3x
D ．f (x )＝x |x |
解析：根据题意，对于任意的不相等实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数．对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝e x 为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x
为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x ≥0，－x 2
，x <0为奇函
数且在R 上为增函数，符合题意．故选D.
17．(2020·某某质量预测)设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2<x <2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)>0成立的x 的取值X 围是( B )
A ．(－1,1)
B ．(1
2，1)
C ．(1
4
，1)
D ．(14，54
)
解析：因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2<x <2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x ＋
x 2＋1＋3x 3]
＋[2ln(－x ＋
(－x )2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋
x 2＋1)]＝2ln1＝0，所以
f (x )为奇函数．易得f (x )在(－2,2)上单调递增．所以f (2x )＋f (4x －3)>0可转化为f (2x )>－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
－2<2x <2，－2<3－4x <2，
2x >3－4x ，
解得1
2
<x <1.故选B.
18．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a
x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；
(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值X 围． 解：(1)由x ＋a
x －2>0，得x 2－2x ＋a x
>0，
当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}； 当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－
1－a 或x >1＋
1－a }．
(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2
－a
x
2>0恒成立，
所以g (x )＝x ＋a
x －2在[2，＋∞)上是增函数．
所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a
x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋a
x －2>1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立．
所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，
而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋9
4在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2. 即a 的取值X 围为(2，＋∞)．。